經典控制伺服系統設計在經典控制理論中，我們通常按前饋傳遞函數中的積分器數目來劃分系統的類型，如0型系統、I型系統等。I型系統在前饋通道中有一個積分器，且此系統的階躍響應不存在穩態誤差。本節將討論I型伺服系統的極點配置方法，此時，將假定系統只有一個純量控制輸入u和一個純量輸出y，即僅考慮單輸入單輸出線性定常系統。所謂伺服系統是用來控制被控對象的某種狀態，使其能自動地、連續地、精確地復現輸入信號地變化規律，通常是閉環控制系統。下面首先討論針對I型被控對象(被控對象含積分器)的I型閉環伺服系統的設計問題，然后討論針對0型被控對象(被控對象不含積分器)的I型閉環伺服系統的設計問題。1被控系統具有積分器的I型閉環伺服系統 考慮由下式定義的線性定常系統 (5.89) (5.90)式中，。如前所述，假設控制輸入u和系統輸出y均為純量。選擇一組適當的狀態變量，例如可以選擇輸出量等于其中的一個狀態變量，這里假定輸出量y等于x1。圖5.9給出了被控系統具有一個積分器時I型伺服閉環系統的一般結構。這里，假設y=x1。在分析中，假設參考輸入r是階躍函數。圖5.9被控系統具有一個積分器的I型閉環伺服系統在此系統中，采用如下的狀態反饋控制規律(5.91)式中假設在t=0時施加參考輸入（階躍函數）。因此t>0時，該系統的動態特性由式（5.89）和（5.91）描述，即(5.92)設計I型閉環伺服系統，使得閉環極點配置在期望的位置。這里設計的將是一個漸近穩定系統，y()趨于常值r(r為階躍輸入)，u()趨于零。在穩態時， (5.93)注意，r（t）是階躍輸入。對t>0，有r()=r(t)=r(常值)。用式（5.92）減去（5.93），可得 (5.94)定義因此，式（5.94）成為 (5.95)式（5.95）描述了誤差動態特征。因此，I型閉環伺服系統的設計轉化為：對于給定的任意初始條件e(0),設計一個漸近穩定的調節器系統，使得e(t）趨于零。如果由式（5.89）確定的系統是狀態完全能控的，則對矩陣A-BK，通過指定的期望特征值μ1，μ2，…,μn，可由5.2節介紹過的極點配置方法來確定線性反饋增益矩陣K。x(t)和u(t)的穩態值求法如下：在穩態（）時，由式（5.92）可得由于A-BK的期望特征值均在s的左半平面，所以矩陣A-BK的逆存在。從而，x()可確定為同樣，u()可求得為------------------------------------------------------------------------------[例5.7]考慮被控系統傳遞函數具有一個積分器時的I型閉環伺服系統的設計。假設被控系統的傳遞函數為試設計一個I型閉環伺服系統，使得閉環極點為。假設該系統的結構與圖5.9所示相同，參考輸入r是階躍函數。[解]定義狀態變量x1,x2和x3為，，則該被控系統的狀態空間表達式為(5.96) (5.97)式中參見圖5.9并注意到n=3，則控制輸入u為(5.98)式中此時，就可用極點配置方法確定狀態反饋增益矩陣K。現檢驗系統的能控性矩性。由于的秩為3。因此，該系統是狀態完全能控的，并且可任意配置極點。將式（5.98）代入式（5.96），可得 (5.99)式中的r為階躍函數。因此，當t趨于無窮時，x(t)趨于定常向量x()。在穩態時， (5.100)從式（5.99）減去式（5.100），可得定義那么 (5.101)式（5.101）確定了誤差的動態特性。給定被控系統的特征方程為因此由于A-BK的期望特征值為所以期望的特征方程為因此為了利用極點配置方法來確定矩陣K，采用式（5.13），將其重寫為(5.102)由于式（5.96）已是能控標準形，所以P=I。因此該系統的階躍響應容易由計算機仿真求得。由于由式（5.99），可得此閉環反饋系統的狀態方程為(5.103)輸出方程為(5.104)當r為單位階躍函數時，求解式（5.103）和（5.104），即可得到y(t)對t的單位階躍響應曲線。利用MATLABProgram5.9，將可輕松地求出單位階躍響應。相應的單位階躍響應曲線如圖5.10所示。 注意到，因此由式（5.100），可得MATLABProgram5.9%------Unit-stepresponse------%*****EnterthestatematrixA,controlmatrixB,outputmatrixC，%anddirecttransmissionmatrixD*****A=[010;001;-160-56-14];B=[0;0;160];C=[100];D=[0];%*****Enterstepcommandandplotcommand*****t=0:0.01:5;y=step(A,B,C,D,1,t);plot(t,y)gridtitle(‘Unit-StepResponse’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘Outputy’)圖5.10例5.7設計的系統之y(t)對t的單位階躍響應曲線由于所以顯然，。在階躍響應中沒有穩態誤差。注意，由于所以即在穩態時，控制輸入u為零。------------------------------------------------------------------------------2被控系統中不含積分器時的I型閉環伺服系統的設計 如果被控系統中沒有積分器（0型被控系統），則設計I型閉環伺服系統的基本原則是在誤差比較器和系統間的前饋通道中插入一個積分器，如圖5.11所示（當不含積分器時，圖5.11所示方塊圖是I型閉環伺服系統的基本形式）。由圖中可得(5.105)(5.106)(5.107)(5.108)式中，。假設由式（5.105）定義的系統是狀態完全能控的。該系統的傳遞函數為圖5.11I型閉環伺服系統為了避免插入的積分器在系統原點處與零點有相約的可能，假設在原點處沒有零點。 假設在t=0時施加參考輸入（階躍函數），則對t>0，該系統的動態特性可由式（5.105）和（5.108）的組合來描述，即(5.109)試設計一個漸近穩定系統，使得、和分別趨于常值。因此，在穩態時，，并且。注意，在穩態時(5.110)其中r(t)為階躍輸入，從而對t>0，r()=r(t)=r（常值）。從式（5.109）中減去式（5.110），可得(5.111)定義則式（5.111）可改寫為(5.112)式中(5.113)由定義一個新的n+1維誤差向量e(t)，因此式（5.112）成為(5.114)式中且式（5.113）成為(5.115)這里設計I型閉環伺服系統的基本思想是設計一個穩定的n+1階調節器系統，對于給定的任意初始條件e(0)，使新的誤差向量e(t)趨于零。式（5.114）和（5.115）描述了該n+1階調節器系統的動態特征。如果由式（5.114）定義的系統狀態完全能控，則通過指定該系統的期望特征方程，利用在5.2節中介紹的極點配置方法，即可確定矩陣。x(t)、ξ(t)和u(t)的穩態值可確定如下：在穩態（）時，由式（5.105）和（5.108）可得將上述兩式合并為如下向量-矩陣方程為如果由 (5.116)定義的矩陣的秩為n+1，則其逆存在，并且同樣地，由式（5.107）可得因此注意，如果由式（5.116）給出的矩陣的秩為n+1，則由式（5.114）定義的系統狀態完全能控（參見例5.15），該問題的解可利用極點配置方法求得。狀態誤差方程可通過將式（5.115）代入式（5.114）得到，即(5.117)如果矩陣的期望特征值（即期望閉環極點）