專項素養(yǎng)綜合全練(三)相似三角形的判定的模型模型一“A”字型1.(2023湖北恩施州中考)如圖,在△ABC中,DE∥BC分別交AC,AB于點D,E,EF∥AC交BC于點F,AEBEA.1652.(2023北京房山二模)如圖,△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥AC交BC于點E.若AC=5,DE=3,則BE=.(M9227004)

3.(2021廣東深圳光明模擬)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O.過點O作BD的垂線,交BA的延長線于點E,交AD于點F,交BC于點N,若EF=OF,∠CBD=30°,BD=63.(1)求證:EF=13(2)求AF的長.模型二“8”字型4.【新考法】(2022江蘇揚州高郵期末)如圖,在下列四個條件:①∠B=∠C,②∠ADB=∠AEC,③AD∶AC=AE∶AB,④PE∶PD=PB∶PC中,隨機抽取一個,能使△BPE∽△CPD的概率是(M9227004)()A.0.25B.0.5C.0.75D.15.(2023湖南株洲荷塘模擬)如圖,在?ABCD中,點E在AD上,且BE平分∠ABC,交AC于點O,若AB=3,BC=4,則AOOC=模型三“K”字型(一線三等角模型)6.【方程思想】(2022四川達州中考)如圖,點E在矩形ABCD的AB邊上,將△ADE沿DE翻折,點A恰好落在BC邊上的點F處,若CD=3BF,BE=4,則AD的長為(M9227004)()A.9B.12C.15D.187.【新考法】(2023浙江嘉興期末)如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,點P是BC邊上的動點(不與B、C重合),連接AP,作∠APE=∠B交AC邊于點E,若設(shè)BP=x,AE=y,則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是.

模型四旋轉(zhuǎn)型8.(2023浙江寧波余姚期末)如圖,在△ABC中,AB<AC,將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,點D在BC邊上,DE交AC于點F,則下列結(jié)論中錯誤的是(M9227004)()A.△AFE∽△DFCB.AD=AFC.DA平分∠BDED.∠CDF=∠BAD9.【手拉手模型】(2023四川遂寧射洪一中期中)如圖,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE.求證:(1)AB·AE=AC·AD;(2)△ABC∽△ADE.模型五母子型10.(2023上海徐匯模擬)如圖所示,給出下列條件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③ACCD=ABBC;④AC2=AD·AB,其中能夠判定△ABCA.1B.2C.3D.411.(2022遼寧鞍山立山一模)如圖,在△ABC中,點D在邊AB上,滿足∠ADC=∠ACB,若AC=2,AD=1,則DB=.

模型六雙垂型12.(2023黑龍江綏化期末)如圖,AD,BC是△AOB的兩條高,AD=2OD,連接CD,下列結(jié)論:①BC=2OC;②△AOB∽△DOC;③ABCD=5A.0B.1C.2D.313.(2021湖南常德漢壽月考)如圖,AD為直角三角形ABC斜邊上的高,DE⊥AB于點E,圖中相似三角形共有對.

答案全解全析1.A∵DE∥BC,EF∥AC,∴四邊形EFCD是平行四邊形,∴DE=CF,設(shè)DE=CF=x,∵BF=8,∴BC=BF+CF=8+x,∵DE∥BC,∴△AED∽△ABC,∴AEAB=DEBC,∵AE2.9解析∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCE,∵DE∥AC,∴∠ACD=∠CDE,∴∠CDE=∠DCE,∴DE=CE=3,∵DE∥AC,∴△BDE∽△BAC,∴BEBC3.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AO=OC,BO=OD,∴∠DAO=∠BCO.在△AOF與△CON中,∠∴△AOF≌△CON(ASA),∴OF=ON.又∵EF=OF,∴EF=13(2)∵EF⊥BD,∴∠BON=90°.∵∠OBN=30°,BO=12∴BN=2ON,根據(jù)勾股定理可得ON=3,BN=6.∵AF∥BN,∴△EAF∽△EBN,∴AFBN=EF4.C本題綜合考查了相似三角形的判定與概率的求解.①∵∠B=∠C,∠EPB=∠DPC,∴△BPE∽△CPD;②∵∠ADB=∠AEC,∴∠PDC=∠PEB,又∵∠DPC=∠EPB,∴△CPD∽△BPE;③由AD∶AC=AE∶AB和題圖中條件無法得出△BPE∽△CPD(由AD∶AB=AE∶AC和題圖中條件才能得出△BPE∽△CPD);④∵PE∶PD=PB∶PC,∠EPB=∠DPC,∴△BPE∽△CPD,∴在四個條件中,隨機抽取一個,能使△BPE∽△CPD的概率是0.75.故選C.5.3解析∵在?ABCD中,AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=3,∵AD∥BC,∴△AOE∽△COB,∴AOOC6.C∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠A=∠B=∠C=90°.∵將矩形ABCD沿DE翻折,∴AD=DF=BC,∠A=∠DFE=90°,∴∠BFE+∠DFC=∠BFE+∠BEF=90°,∴∠BEF=∠CFD,∴△BEF∽△CFD,∴BFCD=BECF,∵CD=3BF,∴CF=3BE=12,設(shè)BF=x,則CD=3x,DF=BC=x+12,∵∠C=90°,∴Rt△CDF中,CD2+CF2=DF2,∴(3x)2+122=(x+12)27.y=15解析本題綜合考查相似三角形的判定與性質(zhì)及確定函數(shù)解析式.∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠BAP+∠B,∠APE=∠B,∴∠EPC=∠BAP.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△ABP∽△PCE,∴ABCP8.B∵將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠E=∠C,∴∠B=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE,∴DA平分∠BDE,故C正確;∵∠AFE=∠CFD,∠E=∠C,∴△AFE∽△DFC,故A正確;∵△AFE∽△DFC,∴∠CDF=∠CAE,∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,∴∠CDF=∠BAD,故D正確;沒有條件可以證明∠ADF=∠AFD,即不能判定AD=AF.故選B.9.證明(1)∵∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,∴△ABD∽△ACE,∴ABAC∴AB·AE=AC·AD.(2)∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,即∠BAC=∠DAE,∵ABAC∴△ABC∽△ADE.模型解讀手拉手模型:頂角相等且頂角的頂點重合的兩個等腰三角形組成手拉手全等模型(如圖1);一對對應(yīng)角頂點重合的兩個相似三角形組成手拉手相似模型(如圖2).10.C①∵∠B=∠ACD,∠DAC=∠BAC,∴△ABC∽△ACD,故①符合題意;②∵∠ADC=∠ACB,∠DAC=∠BAC,∴△ABC∽△ACD,故②符合題意;③ACCD=ABBC,但∠ACD和∠ABC不一定相等,因此不能判定△ABC∽△ACD,故③不符合題意;④∵AC2=AD·AB,∴ACAD=ABAC,又∵∠DAC=∠BAC,∴△ABC11.3解析在△ACD和△ABC中,∵∠ADC=∠ACB,∠A是公共角,∴△ACD∽△ABC,∴ADAC=ACAB,∵AC=2,AD=1,12.D∵AD,BC是△AOB的兩條高,∴∠ADO=∠BCO=90°,又∵∠AOD=∠BOC,∴△AOD∽△BOC,∴ADBC=ODOC=OAOB,∴ADOD=BCOC=2,∴BC=2OC,故①正確;∵OAOB=ODOC,∴OAOD