信號與系統主講：嚴國志信號與系統

課程目錄第1章緒論第2章連續時間信號與系統的時域分析第3章連續時間信號與系統的頻域分析第4章連續時間信號與系統的復頻域分析第5章離散時間信號與系統的時域分析第6章離散時間信號與系統的頻域分析第7章離散時間信號與系統的Z域分析2024/10/162第二章

連續時間信號與系統的時域分析

第2章連續時間信號與系統的時域分析2.1引言2.2典型連續時間信號及其基本特性2.3連續時間信號的基本運算2.4連續時間系統的數學模型及其求解經典解法零輸入響應和零狀態響應2.5單位沖激響應和單位階躍響應2.6卷積積分及其性質2.7單位沖激響應表示的線性時不變系統的特性2.2典型連續時間信號及其基本特性典型普通信號

正弦信號

實指數信號

虛指數信號

復指數信號抽樣信號奇異信號

單位階躍信號

單位沖激信號

符號函數沖激偶信號2.2典型連續時間信號及其基本特性對時間的微、積分仍是同頻率正弦正弦信號是周期信號，其周期T與角頻率和頻率f滿足下列關系式：（1）正弦信號：一、典型普通信號2.2典型連續時間信號及其基本特性（2）指數信號---實指數信號指數信號一般形式實指數信號，即2.2典型連續時間信號及其基本特性（2）指數信號---虛指數信號復指數信號的周期：復指數信號的基波周期：2.2典型連續時間信號及其基本特性（2）指數信號---復指數信號2.2典型連續時間信號及其基本特性例：試畫出f=50Hz,,的電力系統常見暫態波形t=0:0.0001:0.2;U=1;tao=0.1;f=50;w0=2*pi*f;ut=U*sqrt(2)*exp(-1/tao*t).*cos(w0*t);plot(t*1000,ut)xlabel('t/ms')ylabel('u(t)')

2.2典型連續時間信號及其基本特性抽樣信號Sa(t)

（3）抽樣信號

抽樣函數的性質注意MATLAB中的sinc函數定義為2.2典型連續時間信號及其基本特性例：t=-10:0.01:10;xt=sinc(t);plot(t,xt)xlabel('t')ylabel('x(t)')title('抽樣信號')2.2典型連續時間信號及其基本特性（4）單位階躍信號1）定義2.2典型連續時間信號及其基本特性2）單位階躍信號的性質：可以方便地表示某些信號

2.2典型連續時間信號及其基本特性用階躍函數表示信號的作用區間2.2典型連續時間信號及其基本特性微積分

2.2典型連續時間信號及其基本特性（5）單位沖激信號

1)定義

單位沖激信號又可稱為沖激函數、狄拉克函數等，記為δ(t)。單位沖激信號反映一種持續時間極短、函數值極大的信號類型。如：單位階躍信號加在電容兩端，流過電容的電流可用沖激信號表示。2.2典型連續時間信號及其基本特性時移性單位沖激函數為偶函數2)沖激信號的性質2.2典型連續時間信號及其基本特性抽樣特性

把沖激函數與連續時間函數的乘積在整個時間范圍內積分，可以得到沖激時刻的連續時間信號的取值，即“抽樣”。所以，沖激函數具有抽樣（檢測）特性。為一個在t=0處連續且處處有界的信號，則2.2典型連續時間信號及其基本特性乘積特性

連續時間信號x(t)與單位沖激信號相乘，等于將沖激時刻t0的信號值x(t0)“篩分”出來賦給沖激函數做沖激強度2.2典型連續時間信號及其基本特性尺度特性證明：分析：用兩邊與f(t)的乘積的積分值相等證明，分a>0、a<0兩種情況

兩邊相等2.2典型連續時間信號及其基本特性

兩邊相等2.2典型連續時間信號及其基本特性微積分特性沖激函數與階躍函數互為微積分關系2.2典型連續時間信號及其基本特性例：2.2典型連續時間信號及其基本特性2.2典型連續時間信號及其基本特性注意（1）在沖激信號的取樣特性中，其積分區間不一定都是（-∞，+∞），但只要積分區間不包括沖激信號δ(t-t0)的t0時刻，則積分結果必為0.

2.2典型連續時間信號及其基本特性（6）符號信號符號函數也可以用階躍函數來表示，即2.2典型連續時間信號及其基本特性（7）單位斜變信號單位斜變函數與階躍函數ε(t)互為微積分關系，即：2.2典型連續時間信號及其基本特性（8）沖激偶信號2.2典型連續時間信號及其基本特性沖激偶的重要性質若x(t)在t=0點(或)連續，則

例2.2典型連續時間信號及其基本特性沖激偶的重要性質

沖激偶信號的另一個性質是，它所包含的面積等于零，這是因為正、負兩個沖激的面積相互抵消。

沖激偶信號為奇函數，即2.2典型連續時間信號及其基本特性四種奇異信號的關系2.3連續時間信號的基本運算信號相加、乘信號的時移信號的翻轉信號的尺度變換信號的微分、積分信號的分解和合成2.3連續時間信號的基本運算1、信號的相加2.3連續時間信號的基本運算2、信號的相乘2.3連續時間信號的基本運算3、信號的時移時移：將信號x(t)的自變量t用t-t0替代表示信號右移t0單位表示信號左移t0單位2.3連續時間信號的基本運算4、信號的翻轉翻轉：將信號x(t)的自變量t用-t替代2.3連續時間信號的基本運算5、信號的尺度變換尺度變換：將信號x(t)的自變量t用at替代若0<a<1,則x(at)是x(t)的擴展若a>1,則x(at)是x(t)的壓縮2.3連續時間信號的基本運算例：已知x(t)的波形如圖所示，試畫出x(-2t+4)的波形2.3連續時間信號的基本運算6、信號的微、積分140130tttt101340-12.3連續時間信號的基本運算6、信號的微、積分2.3連續時間信號的基本運算結論：（1）信號經過微分運算后突出顯示了它的變化部分，起到了銳化的作用；（2）信號經過積分運算后，使得信號突出變化部分變得平滑了，起到了模糊的作用；利用積分可以削弱信號中噪聲的影響。2.3連續時間信號的基本運算連續信號的微分與積分例：已知三角波x(t)，畫出其微分與積分的波形2.3連續時間信號的基本運算dt=0.001;t=-2:dt:2;y1=diff(triwave(t))/dt;subplot(311)plot(t,triwave(t))xlabel('t/s');title('x(t)');subplot(312)plot(t(1:length(t)-1),y1)xlabel('t/s');title('dx(t)/dt');forx=1:length(t)y2(x)=integral(@triwave,0,t(x));endsubplot(313)plot(t,y2)xlabel('t/s');title('integralofx(t)');2.3連續時間信號的基本運算8、連續時間信號的合成和分解一個信號的平均功率等于直流功率與交流功率之和。信號的平均值即為信號的直流分量，去掉直流分量即得交流分量（1）任意信號分解為直流分量與交流分量之和2.3連續時間信號的基本運算2.3連續時間信號的基本運算(2)奇偶分解

對任何實信號而言：信號的平均功率=偶分量功率+奇分量功率2.3連續時間信號的基本運算例：將信號分解為奇、偶分量的實例。2.3連續時間信號的基本運算矩形窄脈沖序列此窄脈沖可表示為(3)沖激信號2.3連續時間信號的基本運算出現在不同時刻的不同強度的沖激函數的和。2.4連續時間系統的數學模型連續時間系統用N階常系數微分方程描述2.4連續時間系統的數學模型連續時間LTI系統的響應經典時域分析方法零輸入響應和零狀態響應卷積法微分方程的完全解應為微分方程的齊次解與特解之和

2.4.2經典時域分析方法齊次方程為（1）當特征方程存在n個不同的單根時（單根中包括實根也包含共軛復根），其解為

為待定常數，由系統初始條件確定（2）當特征方程存在r個重根λ，n-r個單根

2.4.2經典時域分析方法

2.4.2經典時域分析方法常用激勵對應的特解形式2.4.2經典時域分析方法例2-6：已知某二階線性時不變連續時間系統的動態方程初始條件y(0)=4,y’(0)=-6,輸入信號，求系統的齊次解、特解、完全解解：1）求齊次方程的齊次解特征方程為特征根為齊次解為2.4.2經典時域分析方法2）求非齊次方程的的特解由輸入的形式，設方程的特解為將特解帶入原微分方程即可求得常數3）求方程的全解解得2.4.2經典時域分析方法齊次解的函數形式僅與系統本身的特性有關，而與激勵x(t)的形式無關，稱為系統的固有響應或自由響應；特解的函數形式由激勵確定，稱為強迫響應。自由響應強迫響應2.4.2經典時域分析方法討論1）若初始條件不變，輸入信號改變，系統的完全響應2）若輸入信號不變，初始條件改變，系統的完全響應2.4.2經典時域分析方法經典法不足之處若微分方程右邊激勵項較復雜，則難以處理。若激勵信號發生變化，則須全部重新求解若初始條件發生變化，則須全部重新求解這種方法是一種純數學方法，無法突出系統響應的物理概念系統的響應可以分為零輸入響應和零狀態響應之和。零輸入響應是當外加激勵為零時，僅由系統初始條件產生的響應。它與激勵無關，其數學模型是齊次微分方程。零狀態響應是不考慮起始時刻系統儲能的作用，由系統外加激勵信號所產生的響應。2.4.3零輸入響應和零狀態響應2.4.3零輸入響應和零狀態響應1.零輸入響應是當外加激勵為零時，僅由系統初始條件產生的響應。它與激勵無關，其數學模型是齊次微分方程。數學模型求解方法根據微分方程的特征根確定零輸入響應的形式再由初始條件（0-時刻）確定待定系數2.4.3零輸入響應和零狀態響應

求的基本步驟

①求系統的特征根，寫出的通解表達式。

③將確定出的積分常數C1，C2，…，Cn代入通解表達式，即得。

②由于激勵為零，所以零輸入的初始值：

確定積分常數C1，C2，…，Cn2.4.3零輸入響應和零狀態響應例2-7：已知某二階線性時不變連續時間系統的動態方程系統的初始狀態為，求系統的零輸入響應解：特征方程為特征根為解得2.4.3零輸入響應和零狀態響應2.零狀態響應是不考慮起始時刻系統儲能的作用，由系統外加激勵信號所產生的響應。求解方法1）直接求解初始狀態為0的微分方程2）卷積法：

利用信號分解和線性時不變系統的特性求解2.4.3零輸入響應和零狀態響應（1）即求解對應非齊次微分方程的解（2）求解基本步驟①求系統的特征根，寫出的通解表達式。②根據

的形式，確定特解形式，代入方程解得特解③求全解，若方程右邊有沖激函數（及其各階導數）時，根據沖激函數匹配法求得，確定積分常數C1，C2，…，Cn④將確定出的積分常數C1，C2，…，Cn代入全解表達式，即得。

2.4.3零輸入響應和零狀態響應沖激平衡法原因：如果微分方程右邊包含δ（t）及其各階導數，那么（0＋）時刻的值不一定等于（0－）時刻的值。方法：2.4.3零輸入響應和零狀態響應沖激平衡法由于t>0+后，方程右端為零，故當n>m時當n≤m時，為使方程兩邊平衡，h(t)應含有沖激及其高階導數，即

2.4.3零輸入響應和零狀態響應例2-8：描述某系統的微分方程為已知y(0-)=2，y’(0-)=0，。求該系統的全響應，零輸入響應和零狀態響應。

解：

（2）零狀態響應滿足

2.4.3零狀態響應對于方程1，根據沖激平衡法，n>m，所以將零狀態響應方程分為2.4.3零狀態響應

則2.4.3零狀態響應對于方程2：其特解為B，帶入方程2，則2B=6，即B=3方程2的解為

則總的零狀態響應：全響應：暫態分量穩態分量2.4.3零狀態響應求零狀態響應方法還可以用以下方法：

2.4.3零輸入響應和零狀態響應自由響應＋強迫響應

(Natural+forced)零輸入響應＋零狀態響應

(Zero-input+Zero-state)暫態響應+穩態響應

(Transient+Steady-state)3．系統響應劃分2.4.3零輸入響應和零狀態響應零輸入響應是自由響應的一部分，零狀態響應由自由響應的一部分和強迫響應構成。自由響應強迫響應零輸入響應零狀態響應2.4.3零輸入響應和零狀態響應

可求得

2.4.3零輸入響應和零狀態響應

2.4.3零輸入響應和零狀態響應

連續時間系統零狀態響應的求解

y=lsim(sys,s,t)

t:表示計算系統響應的抽樣點向量x:是系統輸入信號向量sys:是LTI系統模型，借助tf函數獲得

sys=tf(b,a)

b和a分別為微分方程右端和左端各項的系數向量a=[a3,a2,a1,a0];b=[b3,b2,b1,b0];sys=tf(b,a)2.4.3零輸入響應和零狀態響應

連續時間系統零輸入響應的求解2.4.3零輸入響應和零狀態響應例2-10：描述某系統的微分方程為已知y(0-)=2，y’(0-)=0，。求該系統的全響應，零輸入響應和零狀態響應。

%零輸入響應ts=0;te=5;dt=0.01;t=ts:dt:te;a=[1,3,2];b=[2,6];p=roots(a);%求出特征根V=rot90(vander(p));y0=[2,0];C=V\y0';fork=1:length(p)

y_ji(k,:)=exp(p(k)*t);endyzit=C.'*y_ji;figuresubplot(311);plot(t,yzit)xlabel('t/s');ylabel('yzi(t)');title('零輸入響應')%%%%%ezplot(dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=2,Dy(0)=0'),t)%零狀態響應sys=tf(b,a);x=ones(1,length(t));yzst=lsim(sys,x,t);subplot(312);plot(t,yzst)xlabel('t/s');ylabel('yzs(t)')title('零狀態響應')yt=yzit+yzst';subplot(313)plot(t,yt)xlabel('t/s');ylabel('y(t)')title(全響應')2.4.3零輸入響應和零狀態響應2.5單位沖激響應和單位階躍響應連續時間系統單位沖激響應的定義沖激平衡法求系統的單位沖激響應連續時間系統的單位階躍響應2.5.1連續時間系統單位沖激響應在系統初始狀態為零的條件下，以單位沖激信號激勵系統所產生的輸出響應，稱為系統的單位沖激響應，以符號h(t)表示N階連續時間LTI系統的沖激響應h(t)滿足2.5.1連續時間系統單位沖激響應

---沖激平衡法由于t>0+后，方程右端為零，故當n>m時當n≤m時，為使方程兩邊平衡，h(t)應含有沖激及其高階導數，即將h(t)帶入微分方程，使方程兩邊平衡，確定系數Ci，Aj2.5.1連續時間系統單位沖激響應例2-11：已知某線性時不變連續時間系統的動態方程試求系統的單位沖激響應解：當x(t)=δ(t)時，y(t)=h(t)，即動態方程式的特征根λ=-5，且n>m，故h(t)的形式為

解得C=22.5.1連續時間系統單位沖激響應例2-12：已知某線性時不變連續時間系統的動態方程試求系統的單位沖激響應解：當x(t)=δ(t)時，y(t)=h(t)，即動態方程式的特征根λ1=-2，λ2=-1且n=m，故h(t)的形式為

解得A=-2，B=42.5.1連續時間系統單位沖激響應沖激平衡法小結1)由系統的特征根來確定ε(t)前的指數形式2)由動態方程右邊δ(t)的最高階導數與方程左邊h(t)的最高階導數確定δ(j)(t)項求解方法1．求解微分方程2．利用沖激信號與階躍信號的關系求解

系統在單位階躍信號作用下的零狀態響應，稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，一般用g(t)表示。2.5.2連續時間系統單位階躍響應2.5.2連續時間系統單位階躍響應例2-13：求系統的單位階躍響應g(t)解：系統的單位沖激響應為

利用單位沖激響應與單位階躍響應的關系，可得2.5單位沖激響應和單位階躍響應連續時間系統沖激響應和階躍響應的求解

y=impulse(sys,t)連續時間系統沖激響應可用impulse函數直接求出，其調用形式為連續時間系統階躍響應可用step函數直接求出，其調用形式為

y=step(sys,t)

t:表示計算系統響應的抽樣點向量sys:是LTI系統模型2.5單位沖激響應和單位階躍響應例2-14：求以下系統的沖激響應和階躍響應a=[1,3,2];b=[2,6];subplot(211)impulse(b,a);subplot(212)step(b,a)2.6卷積積分及其性質卷積積分的定義及計算卷積積分的性質

交換律、分配律、結合律、位移特性展縮特性零狀態響應的卷積法求解

2.6.1卷積積分的定義和計算卷積積分的定義卷積積分的計算步驟1）將x1(t)和x2(t)中的自變量由t改為τ，τ稱為函數的自變量2）把其中一個信號翻轉、平移3）將x1(τ)與x2(t-τ)相乘，對乘積后的圖形積分2.6.1卷積積分的定義和計算例2-15：計算2.6.1卷積積分的定義和計算a)-∞<t≤0b)0<t≤12.6.1卷積積分的定義和計算c)1<t≤2d)2<t≤32.6.1卷積積分的定義和計算d)3<t2.6.2卷積積分的性質卷積代數性質交換律分配律結合律2.6.2卷積積分的性質1)微分：2)積分卷積微分和積分性質2.6.2卷積積分的性質3)微積分性則若：特別地：注：應用微積分性質的條件是必須成立即必須有否則不能應用。可推導：2.6.2卷積積分的性質由卷積的第二種形式，同理可證證：交換運算次序微分性質的證明2.6.2卷積積分的性質與奇異信號的卷積1）2）微分性質可推導2.6.2卷積積分的性質3）積分性質

任意函數與卷積，相當信號通過一個積分器，如圖所示4）微積分性質2.6.2卷積積分的性質解例2-16:、如圖所示，用微、積分性質求10210E如圖所示。和階躍響應激勵導數2.6.2卷積積分的性質21/2100(E)(-E)2.6.2卷積積分的性質2.6.2卷積積分的性質卷積的時移

已知

則展縮2.6.2卷積積分