第4章冪函數、指數函數和對數函數4.5.2形形色色的函數模型課標要求1.在實際情境中,會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.2.體會如何借助函數刻畫實際問題,感悟數學模型中參數的現實意義.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點一常見的函數模型(1)一次函數模型y=kx+b(k,b為常數,k≠0)(2)二次函數模型y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)(3)指數函數模型y=bax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0,且a≠1)(4)對數函數模型y=mlogax+n(m,a,n為常數,m≠0,a>0,且a≠1)(5)冪函數模型y=axn+b(a,b為常數,a≠0)(6)分段函數模型

過關自診某城市現有人口數為100萬,如果20年后該城市人口總數不超過120萬,那么該市年人口自然增長率大約應控制在多少?解

設該市年人口自然增長率為x,依題意得100×(1+x)20≤120,所以(1+x)20≤1.2,兩邊取常用對數,得20lg(1+x)≤lg

1.2,即lg(1+x)≤

lg

1.2,解得x近似小于或等于0.9%.所以該市年人口自然增長率大約應控制在0.9%.知識點二擬合函數模型數學建模的步驟:(1)正確理解并簡化實際問題;(2)建立數學模型;(3)求得數學問題的解;(4)將求解時分析計算的結果與實際情形進行比較,驗證模型的準確性、合理性和適用性.過關自診某商場在空調銷售旺季的4天內的利潤如下表所示:時間1234利潤/千元23.988.0115.99現構建一個銷售這種空調的函數模型,應是下列函數中的(

)A.y=log2x

B.y=2xC.y=x2

D.y=2xB重難探究·能力素養速提升探究點一指數函數模型【例1】

一片森林原來的面積為a,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護生態環境,森林面積至少要保留原面積的

,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的

.(1)求每年砍伐面積的百分比.(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?規律方法

1.本題涉及平均增長率的問題,求解可用指數函數模型表示,通常可以表示為y=N·(1+p)x(其中N為原來的基礎數,p為增長率,x為時間)的形式.2.在實際問題中,有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題,都常用到指數函數模型.變式訓練1為落實國家“精準扶貧”政策,讓市民吃上放心蔬菜,某企業于2020年在其扶貧基地投入100萬元研發資金,用于蔬菜的種植及開發,并計劃今后十年內在此基礎上每年投入的資金比上一年增長10%.(1)寫出第x年(2021年為第一年)該企業投入的資金數y(單位:萬元)與x的函數關系式,并指出函數的定義域;(2)該企業從第幾年開始(2021年為第一年),每年投入的資金數將超過200萬元?(參考數據:lg0.11≈-0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301)解

(1)第一年投入的資金數為100(1+10%)萬元,第二年投入的資金數為100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2萬元,第x年(2021年為第一年)該企業投入的資金數y(單位:萬元)與x的函數關系式為y=100(1+10%)x,其定義域為{x∈N+|x≤10}.即企業從第8年開始(2021年為第一年),每年投入的資金數將超過200萬元.探究點二對數函數模型【例2】

科學研究表明:人類對聲音有不一樣的感覺,這與聲音的強度I(單位:瓦/平方米)有關.在實際測量時,常用L(單位:分貝)來表示聲音強弱的等級,它與聲音的強度I滿足關系式:L=(a是常數),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如風吹落葉沙沙聲的強度I=1×10-11瓦/平方米,它的強弱等級L=10分貝.(1)已知生活中幾種聲音的強度如下表:聲音來源風吹落葉沙沙聲輕聲耳語很嘈雜的馬路強度I/(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3強弱等級L/分貝10m90求a和m的值.(2)為了不影響正常的休息和睡眠,聲音的強弱等級一般不能超過50分貝,求此時聲音強度I的最大值.規律方法

1.基本類型:有關對數函數模型的應用題一般都會給出函數解析式,然后根據實際問題再求解.2.求解策略:首先根據實際情況求出函數解析式中的參數,或給出具體情境,從中提煉出數據,代入解析式求值,然后根據數值回答其實際意義.變式訓練2大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產地產卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數為Q,研究中發現v與

成正比,且當Q=900時,v=1.(1)求出v關于Q的函數解析式;(2)計算一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數;(3)一條鮭魚要想把游速提高1m/s,其耗氧量的單位數應怎樣變化?探究點三擬合函數模型的應用題【例3】

為了估計山上積雪融化對下游灌溉的影響,在山上建立了一個觀察站,測量最大積雪深度xcm與當年灌溉面積yhm2.現有連續10年的實測資料,如下表所示:年序最大積雪深度x/cm灌溉面積y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描出灌溉面積yhm2隨積雪深度xcm變化的數據點(x,y);(2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數模型y=f(x),并作出其圖象;(3)根據所建立的函數模型,若今年最大積雪深度為25cm,則可以灌溉的土地面積是多少?解

(1)數據點分布如圖1所示.

(2)從圖1中可以看到,數據點大致落在一條直線附近,由此,我們假設灌溉面積y

hm2和最大積雪深度x

cm滿足線性函數模型y=a+bx(a,b為常數,b≠0).取其中的兩組數據(10.4,21.1),(24.0,45.8),解得a≈2.4,b≈1.8.這樣,我們得到一個函數模型y=2.4+1.8x.作出函數圖象如圖2,可以發現,這個函數模型與已知數據的擬合程度較好,這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關系.(3)由(2)得當x=25時,y=2.4+1.8×25=47.4,即當最大積雪深度為25

cm時,可以灌溉土地47.4

hm2.規律方法

對于此類實際應用問題,關鍵是先建立適當的函數關系式,再解決數學問題,然后驗證并結合問題的實際意義作出回答,這個過程就是先擬合函數再利用函數解題.函數擬合與預測的一般步驟是:(1)能夠根據原始數據、表格,描出數據點.(2)通過數據點,畫出“最貼近”的直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線.如果所有實際點都落到了擬合直線或曲線上,滴“點”不漏,那么這將是個十分完美的事情,但在實際應用中,這種情況一般是不會發生的.因此,使實際點盡可能地均勻分布在直線或曲線兩側,得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了.(3)根據所學函數知識,求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式.(4)利用函數關系式,根據條件對所給問題進行預測和控制,為決策和管理提供依據.變式訓練3某籃球運動員為了測試自己的投籃最佳距離,他在每個測試點投籃30次,得到投籃命中數量y(單位:個)與測試點投籃距離x(單位:米)的部分數據如下表:x3568y25292820為了描述球員在測試點投籃命中數量y與投籃距離x的變化關系,現有以下三種y=f(x)函數模型供選擇:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)選出你認為最符合實際的函數模型并說明理由,同時求出相應的函數解析式;(2)在第(1)問的條件下,若函數f(x)在閉區間[0,m]上的最大值為29,最小值為4,求m的取值范圍.解

(1)由表中數據可知,f(x)先單調遞增后單調遞減,∵f(x)=ax3+b與f(x)=abx都是單調函數,∴不符合題意;∵f(x)=-x2+ax+b先單調遞增后單調遞減,∴符合題意.∴f(x)=-x2+10x+4.

(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故對稱軸為直線x=5,∴f(x)在(-∞,5]上單調遞增,在(5,+∞)上單調遞減,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4時,x=0或10,∴m≤10.綜上所述,5≤m≤10,故m的取值范圍是[5,10].學以致用·隨堂檢測促達標123451.一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖象如圖所示,則圖象所對應的函數模型是(

)A解析

由題圖知,在不同的時間段內,對應的圖象不同,故對應函數模型應為分段函數.A.分段函數 B.二次函數C.指數函數 D.對數函數123452.有一組實驗數據如表所示:

t1.93.04.05.16.1v1.54.07.512.018.0現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律,其中最接近的一個是(

)B12345解析

(方法1)從圖表數據可知,隨著t的變大,v變大,則函數單調遞增,且增加速度越來越快.∵A選項為線性增加的函數,C選項為遞減函數,D選項為比線性增加較為緩慢的函數,∴排除選項A,C,D.故選B.(方法2)取t=4,對于A選項,v=2×4-2=6,故選項A錯誤;對于C選項,v=log0.5t=-2,故選項C錯誤;對于D選項,v=log3t=log34,故選項D錯誤;當t=5.1時,v=12.505,當t=6.1時,v=18.105,故以上只有B選項最接近.故選B.

123453.某工廠一年中第十二個月的產量是第一個月產量的a倍,那么該工廠這一年的月平均增長率