第1講實數、數的開方（練習）夯實基礎一、單選題1．下列各數：，0，，，0.3030030003，中，無理數個數為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據無理數的定義：“無限不循環的小數是無理數”逐一判斷即可得．【詳解】解：在所列實數中，無理數有這2個，故選：A．【點睛】本題考查的是無理數的定義，掌握無理數的定義是解題的關鍵．2．下列說法中正確的是（）A．無限小數都是無理數B．無理數都是無限小數C．無理數可以分為正無理數、負無理數和零D．兩個無理數的和、差、積、商一定是無理數【答案】B【分析】根據無理數的定義：無理數是無限不循環小數，即可判斷．【詳解】解：A、無限不循環小數是無理數，故A錯誤；B、無理數是無限不循環小數，是無限小數，故B正確；C、零是有理數，不是無理數，故C錯誤；D、兩個無理數的和、差、積、商不一定是無理數，故D錯誤；故選擇：B.【點睛】本題主要考查了無理數的定義，無理數就是無限不循環小數，注意兩個無理數的和，差，積，商不一定還是無理數．3．下列說法正確的是（）A．任意一個數算術平方根是正數 B．只有正數才有算術平方根C．因為3的平方是9，所以9的平方根是3 D．1是1的平方根【答案】D【分析】根據算術平方根以及平方根的定義對各選項分析判斷后利用排除法．【詳解】解：A.正數的算術平方根是正數，0的算術平方根是0，故A選項錯誤；

B.0也有算術平方根，是0，故B選項錯誤；

C.應為3是9的平方根，所以9的平方根是±3，故C選項錯誤；

D.1是1的平方根，故D選項正確．

故選D．【點睛】本題考查了算術平方根以及平方根的定義，是基礎題，需要熟練掌握．4．下列計算錯誤的是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據算術平方根依次化簡各選項即可判斷.【詳解】A：，故A錯誤，符合題意；B：正確，故B不符合題意；C：正確，故C不符合題意；D：正確，故D不符合題意.故選：A.【點睛】此題考查算術平方根，依據，進行判斷.5．下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據平方根、有理數的乘方運算逐項判斷即可．【詳解】A、，此項正確B、，此項錯誤C、，無意義，此項錯誤D、，此項錯誤故選：A．【點睛】本題考查了平方根、有理數的乘方運算，熟記運算法則是解題關鍵．6．下列說法中，不正確的是（）A．的平方根是 B．8的立方根是2C．64的立方根是 D．的平方根是【答案】C【分析】根據平方根和立方根的定義進行計算，再逐一判斷即可【詳解】解：A.的平方根是，原選項不合題意B.8的立方根是2，原選項不合題意C.64的立方根是，原選項符合題意D.的平方根是，原選項不合題意故選：C【點睛】本題考查了平方根和立方根的概念，熟練掌握相關知識是解題的關鍵7．下列說法正確的是（）A．81的平方根是9 B．的平方根是C． D．一定是負數【答案】D【分析】根據平方根的性質、算術平方跟的性質進行逐一分析判斷．【詳解】解：A、因為負數沒有平方根，故本選項錯誤；

B、∵=9，∴的平方根是±，即±3，故本選項錯誤；

C、∵，∴x+=2x或0，故本選項錯誤；

D、∵a2+1＞0，∴＜0，故本選項正確．故選：D.【點睛】此題考查了平方根的性質以及算術平方根的性質；正數有兩個平方根，它們互為相反數，負數沒有平方根，0的平方根是0．8．下列說法中正確的是（）A．的平方根是2 B．負數沒有立方根C．零沒有平方根 D．任意一個實數都有立方根【答案】D【分析】分別根據平方根及立方根的定義對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：A、的平方根是2，故本選項錯誤；

B、負數沒有平方根，但有立方根，故本選項錯誤；C、0的平方根是0，故本選項錯誤；

D、符合立方根的性質，故本選項正確．

故選：D．【點睛】本題考查了平方根和立方根的定義，熟知平方根及立方根的定義是解答此題的關鍵．二、填空題9．下列各數、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之間每一個間隔就多一個0）、、0.451452453454，其中無理數的個數是_____________________。【答案】2個【分析】根據無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環小數，③含有π的數，找出無理數的個數．【詳解】解：=1，=1，=2，所以無理數有：、0.1010010001…，共2個．

故答案為：2個．【點睛】本題考查了無理數的知識，解答本題的關鍵掌握無理數的三種形式：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數．10．如圖，數軸上表示數的點是．【答案】B【解析】首先估算的大小，再利用實數與數軸的關系可得答案．解：因為實數≈1.732，所以應介于1與2之間且比較靠近2，根據圖示可得表示數的點是點B．故答案為B．11．1000的立方根是________．【答案】10【分析】根據立方根的定義求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查對立方根的理解，熟練掌握立方根的意義是解答本題的關鍵．正數有一個正的立方根，負數有一個負的立方根，0的立方根是0．12．若一個數的立方根就是它本身，則這個數是________．【答案】±1，0【分析】根據立方根的定義求解即可.【詳解】∵13=1，(1)3=1，03=0，∴1的立方根是1，1的立方根是1，0的立方根是0，∴一個數的立方根就是它本身，則這個數是±1，0.故答案為±1，0.【點睛】本題主要考查對立方根的理解，如果一個數x的立方等于a，即x3=a，那么這個數x就叫做a的立方根，也叫做三次方根.正數有一個正的立方根，負數有一個負的立方根，0的立方根是0.13．計算：＝_____．【答案】10．【分析】先算乘方，再算加法，最后根據算術平方根的定義化簡即可【詳解】解：（1）；故答案為：10．【點睛】本題主要考查的是實數的運算，熟悉相關性質是解題的關鍵．14．＝_____．【答案】2【分析】根據立方根的性質進行求解即可；【詳解】解：＝﹣2．故答案為：﹣2．【點睛】本題主要考查了立方根的計算，準確計算是解題的關鍵．15．計算：______．【答案】0.75【分析】根據立方根的運算即可得．【詳解】故答案為：．【點睛】本題考查了立方根的運算，熟記運算法則是解題關鍵．16．是25的平方根，則為____________．【答案】或【分析】已知是25的平方根，根據平方根的概念，可得=5或=5，即可求出m值．【詳解】∵是25的平方根∴=5或=5∴m=4或m=6故答案為：或【點睛】本題考查了平方根的概念：如果一個數的平方等于，那么這個數叫做的平方根．表示方法：正數a的平方根表示為，讀作“正、負根號a”．17．計算：__________．【答案】【分析】運用乘方運算和開方運算的互逆關系求解即可.【詳解】解：∵，∴，故答案為：2【點睛】本題主要考查乘方運算和開方運算的互逆關系，常常借助乘方運算求數的開方運算.能力提升一、單選題1．下列運算中正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】A、B、C按照算術平方根，D按照指數冪的運算法則運算即可．【詳解】A.，故此項錯誤；B.，故此項正確；C.，故此項錯誤；D.，故此項錯誤．故答案選B．【點睛】本題考查了算術平方根，指數冪的運算法則,熟悉法則是解答此題的關鍵．2．下列說法正確的是（）A．是0.5的平方根B．正數有兩個平方根，且這兩個平方根之和等于0C．的平方根是7D．負數有一個平方根【答案】B【分析】根據0.5是0.25的一個平方根可對A進行判斷；根據一個正數的平方根互為相反數可對B進行判斷；根據平方根的定義對C、D進行判斷．【詳解】A、0.5是0.25的一個平方根，所以A選項錯誤；B、正數有兩個平方根，且這兩個平方根之和等于0，所以B選項正確；C、72的平方根為±7，所以C選項錯誤；D、負數沒有平方根．故選B．【點睛】本題考查了平方根：若一個數的平方定義a，則這個數叫a的平方根，記作±（a≥0）；0的平方根為0．3．下列說法中，錯誤的是A．一個正數的兩個平方根的和為零 B．任意一個實數都有奇次方根C．平方根和立方根相等的數只有零 D．mm＞0的4次方根是【答案】D【分析】根據平方根、立方根、開方的定義和性質對每一項分別進行分析即可．【詳解A．一個正數的兩個平方根的和為零，故本選項正確；B．任意一個實數都有奇次方根，故本選項正確；C．平方根和立方根相等的數只有零，故本選項正確；D．m（m＞0）的4次方根是±4m故選D．【點睛】本題考查了實數，用到的知識點是平方根、立方根、開方，熟練掌握課本中的有關定義和性質是本題的關鍵．4．下列說法中，正確的是（）A．1的任何次方根都是1； B．0的任何次方都是0； C．負數沒有方根； D．正數的平方根互為相反數【答案】D【分析】依據方根的定義和性質求解即可．【詳解】A.1的平方根是±1，故此選項錯誤；B.0沒有0次方，故此選項錯誤；C.負數有立方根，故此選項錯誤；D.正數有一個兩個平方根，而且這兩個平方根互為相反數，故此選項正確.故選D.【點睛】本題主要考查的是方根的性質，熟練掌握方根的性質是解題的關鍵．5．下列說法正確的是()A．的平方根是±3B．的算術平方根是5C．負數沒有立方根D．是5的算術平方根【答案】D【分析】分別根據算術平方根以及平方根和立方根的定義分析得出即可．【詳解】A、=3，3平方根是±，故此選項錯誤；B、（5）2的算術平方根是5，故此選項錯誤；C、負數有一個負立方根，故此選項錯誤；D、是5的算術平方根，此選項正確．故選D．【點睛】此題主要考查了算術平方根以及平方根和立方根的定義，熟練掌握它們的定義得出是解題關鍵．6．下列說法正確的是()A．平方根是本身的數只有0; B．立方根是本身的數只有0和1;C．絕對值是本身的數只有0和1; D．相反數是本身的數只有0和1.【答案】A【分析】分別根據平方根，立方根，絕對值，相反數的定義即可得出答案.【詳解】解：平方根是本身的數有O，故A正確；立方根是本身的數只有0、1和1，故B錯誤；絕對值是本身的數是非負數，故C錯誤；相反數是本身的數只有0，故D錯誤.故答案為A.【點睛】本題考查了平方根，立方根，絕對值，相反數的定義，靈活運用定義是解題的關鍵.7．–27的立方根與的平方根之和是A．0 B．–6C．0或–6 D．6【答案】C【分析】根據立方根的定義求得27的立方根是3，根據平方根的性質，的平方根是±3，由此即可得到它們的和．【詳解】∵27的立方根是3，而=9，9的平方根是±3，所以它們的和為0或6．故選C．【點睛】此題主要考查了立方根的定義，求一個數的立方根，應先找出所要求的這個數是哪一個數的立方．由開立方和立方是互逆運算，用立方的方法求這個數的立方根．注意一個數的立方根與原數的性質符號相同．8．下列各數：0，32，(－5)2，－4，－|－16|，π，其中有平方根的個數是()A．3個B．4個C．5個D．6個【答案】B【分析】由于負數沒有平方根，先計算所給的數，再根據平方根的定義即可判斷．【詳解】∵（5）2=25＞0，4＜0，|16|=16＜0，題中數據非負數有0，32，（5）2=25，π，共4個．故選B．【點睛】本題主要考查了平方根定義的運用．如果x2=a（a≥0），則x是a的平方根．若a＞0，則它有兩個平方根并且互為相反數，我們把正的平方根叫a的算術平方根．若a=0，則它有一個平方根，即0的平方根是0，0的算術平方根也是0，負數沒有平方根．9．下列說法正確的是（）A．﹣81平方根是﹣9B．的平方根是±9C．平方根等于它本身的數是1和0D．一定是正數【答案】D【分析】根據一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根進行分析即可．【詳解】A、﹣81沒有平方根，故A選項錯誤；B、＝9的平方根是±3，故B選項錯誤；C、平方根等于它本身的數是0，故C選項錯誤；D、一定是正數，故D選項正確，故選D．【點睛】本題主要考查了平方根，解題的關鍵是掌握平方根的性質．二、填空題10．的立方根是___________．【答案】2【分析】的值為8，根據立方根的定義即可求解．【詳解】解：，8的立方根是2，故答案為：2．【點睛】本題考查算術平方根和立方根的定義，明確算術平方根和立方根的定義是解題的關鍵．11．的值是_________；的立方根是_________．【答案】16【分析】根據平方根和立方根的定義進行解答．【詳解】∴的立方根是故答案為：16；．【點睛】本題考查了平方根和立方根的問題，掌握平方根和立方根的定義是解題的關鍵．12．下列各式中：①；②；③；④期中正確的有____________.（填寫序號）【答案】④.【分析】根據立方根，合并同類項，完全平方公式，進行計算即可；【詳解】①，故錯誤；②，不是同類項不能合并，故錯誤；③，故錯誤；④，故正確；故答案為：④.【點睛】此題考查立方根，合并同類項，完全平方公式，解題關鍵在于掌握運算法則.13．已知且，則_________.【答案】±3【分析】由可得xy=1，代入可得x2+y2=7，利用完全平方公式可得(x+y)2=9，根據平方根的定義即可得答案.【詳解】∵，∴xy==1，∵，∴x2+y2=7，∴x2+y2+2xy=7+2=9，即(x+y)2=9，∴x+y=±3.故答案為：±3【點睛】本題考查了完全平方公式及平方根的定義，一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數.熟練掌握完全平方公式是解題關鍵.14．若___________.【答案】36.【分析】根據非負數的性質列出關于x、y的方程，再求出x、y的值，然后代入所求代數式進行計算即可求解.【詳解】解：由題意得：x+4=0，y－5=0，解得x=－4，y=5，所以.故答案為36.【點睛】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0.15．已知那么______.【答案】17.03【分析】根據題意，利用算術平方根性質即可確定出結果．【詳解】∵，∴17.03．故答案為：17.03．【點睛】本題考查了算術平方根，熟練掌握算術平方根性質是解答本題的關鍵．16．一個數的兩個不同的平方根是＋和2a－6b＋10，那么這個數是________.【答案】100【分析】根據一個數的平方根互為相反數可得出a,b的值,代入后即可得出這個數.．【詳解】解：由題意可知：a2+b2+2a6b+10=0，∴(a+1)2+(b3)2=0,∴a=1,b=3,∴這個數是(a2+b2)2=(1+9)2=100,

故答案為：100.【點睛】本題考查了平方根及解一元一次方程的知識,難度一般,解題的關鍵是掌握：一個數的兩個不同的平方根有兩個,且互為相反數.17．一個棱長為1dm的正方體，要使它保持正方體形狀但體積增加1倍，則這個新正方體的棱長是______dm.【答案】【分析】首先根據題意求出正方體的體積，再求立方根即可得出結果．【詳解】∵2×13=2(dm3)，∴新正方體的棱長是dm3．故答案為.【點睛】本題考查了正方體的體積、立方根；熟練掌握立方根的概念，根據題意求出正方體的體積是解決問題的關鍵．18．學校要圍一個占地面積144平方米的正方形花圃，需要準備竹籬笆的長度為_______.【答案】48米【分析】正方形的面積等于邊長的平方，所以邊長應該是面積的算術平方根，而正方形的周長是邊長的4倍，由此可以求出籬笆的長度.【詳解】∵正方形花圃的面積為144平方米，∴正方形花圃的邊長為12米，因此，所需要準備竹籬笆的長度為：12×4=48（米）.故答案為48米.【點睛】本題考查了算術平方根的應用以及正方形的性質.19．已知｜a+2｜=0，那么=______.【答案】2【分析】由于|a+2|≥0，≥0，而|a+2|=0，由此即可得到|a+2|=0，=0，接著可以求出a、b的值，然后代入所求代數式即可求出結果．【詳解】∵|a+2|≥0，≥0，|a+2|+=0，∴|a+2|=0，=0，∴a+2=0，b10=0，∴a=2，b=10，∴．故答案為2．【點睛】此題主要考查了非負數的性質，首先根據非負數的性質確定待定的字母的取值，然后代入所求代數式計算即可解決問題．20．如果，那么xy的立方根是_________【答案】1.5【分析】根據偶次方和算術平方根的非負性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方根即可．【詳解】∵，∴2x3=0，解得x=，94y=0，解得y=，xy=×=，∴xy的立方根為．故答案為．【點睛】本題考查了偶次方和算術平方根，方程的思想，立方根的應用，關鍵是求出x、y的值．21．計算：42÷34=_______，【答案】490.3【分析】根據算術平方根和立方根定義進行分析.【詳解】42÷故答案為：49，【點睛】考核知識點：算術平方根和立方根.理解定義是關鍵.三、解答題22．已知2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術平方根為4，求a+2b的平方根．【答案】±3【分析】先根據2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術平方根為4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定義進行解答即可．【詳解】解：∵2a﹣1的平方根為±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，a＝5；∵3a+b﹣1的算術平方根為4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根為：±3．【點睛】本題考查的是平方根及算術平方根的定義，熟知一個數的平方根有兩個，這兩個數互為相反數是解答此題的關鍵．23．已知，求的平方根。【答案】【分析】根據二次根式和絕對值的非負性，可以列出方程求得a和b的值，進而求出的值，再算出平方根即可.【詳解】∵，∴a24=0,,解得：a=24,,∴=24+=49,∴的平方根為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了二次根式和絕對值的非負性，平方根的定義，根據已知條件列出方程是解題的關鍵.24．若(x+1)2+(x+y)2【答案】0【分析】首先根據實數中的非負數及性質求出x、y的值，然后將x、y的值代入化簡后的代數式中，即可得出答案.【詳解】∵(x+1)2∴x+1=0,x+y=0,∴x=1,y=1,∴x2(y?x)(x+y)=(故答案為：0.【點睛】此題考查非負性：偶次冪，解題關鍵在于利用非負性進行解答.25．若實數使得與互為相反數,求的四次方根.【答