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第36講導(dǎo)數(shù)中的結(jié)構(gòu)一致問(wèn)題【典型例題】例1.設(shè)實(shí)數(shù),若對(duì)任意的,不等式恒成立,則的最小值為A. B. C. D.例2.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A., B. C., D.例3.已知函數(shù),在其定義域內(nèi)任取兩個(gè)不等實(shí)數(shù),,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A., B., C. D.例4.已知,滿足,,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則的值為A. B. C. D.例5.已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為A. B. C. D.例6.已知函數(shù),若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.例7.若對(duì)任意,恒有,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.例8.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【同步練習(xí)】一.選擇題1.若對(duì)任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值A(chǔ). B. C. D.2.對(duì)任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為A. B. C. D.3.若對(duì)任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為A. B. C. D.二.多選題4.已知函數(shù)的零點(diǎn)為,則A.的值為5 B.的值為4 C. D.三.填空題5.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.6.已知對(duì)任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.7.已知函數(shù):,對(duì)任意,,,且,都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.8.已知函數(shù),若對(duì)區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)不等的實(shí)數(shù),,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.9.已知函數(shù),若對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.10.已知是函數(shù)的零點(diǎn),則的值為.11.已知實(shí)數(shù),滿足,,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則12.已知不等式對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為.13.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)任意的,,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14.已知函數(shù),對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15.已知函數(shù),且對(duì)于任意的,,,恒成立,則的取值范圍是.16.已知,若對(duì)于任意的,,不等式恒成立,則的最小值為.
第36講導(dǎo)數(shù)中的結(jié)構(gòu)一致問(wèn)題【典型例題】例1.設(shè)實(shí)數(shù),若對(duì)任意的,不等式恒成立,則的最小值為A. B. C. D.【解析】解:實(shí)數(shù),若對(duì)任意的,不等式恒成立,即為,設(shè),,,令,可得,由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象,可得和有且只有一個(gè)交點(diǎn),設(shè)為,當(dāng)時(shí),,遞增;當(dāng)時(shí),,遞減.即有在處取得極小值,且為最小值.即有,令,可得,.則當(dāng)時(shí),不等式恒成立.則的最小值為.另解1:由于與互為反函數(shù),故圖象關(guān)于對(duì)稱,考慮極限情況,恰為這兩個(gè)函數(shù)的公切線,此時(shí)斜率,再用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率的表達(dá)式為,即可得的最小值為.另解2:不等式恒成立,即為,即有,可令,可得在遞增,由選項(xiàng)可得,所以,若,則,所以,即有,由的導(dǎo)數(shù)為,當(dāng)時(shí),遞減.時(shí),遞增,可得時(shí),取得最大值.則,的最小值為.故選:.例2.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A., B. C., D.【解析】解:恒成立,,,.令,易得在上單調(diào)遞增,,.,,,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:.例3.已知函數(shù),在其定義域內(nèi)任取兩個(gè)不等實(shí)數(shù),,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A., B., C. D.【解析】解:對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù),,都有不等式恒成立等價(jià)于,所以在上單調(diào)遞增,所以在上恒成立,即,在上恒成立.令,則△或,所以或,所以,所以的取值范圍為,.故選:.例4.已知,滿足,,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則的值為A. B. C. D.【解析】解:實(shí)數(shù),滿足,所以,,即,,所以和是方程的根,由于方程的根唯一.所以,,整理得,所以.故選:.例5.已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為A. B. C. D.【解析】解:不等式,即為,設(shè),則原不等式等價(jià)為對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,由恒成立,可得是上的增函數(shù),所以,由,,可得,即,由,,可得在內(nèi)遞減,在遞增,可得的最小值為(e),則,即.則的最小值為.故選:.例6.已知函數(shù),若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【解析】解:,函數(shù)的定義域是,若恒成立,則,兩邊加上得到:,單調(diào)遞增,,即,令,,則,時(shí),,遞增,時(shí),,遞減,故,故,故答案為:.例7.若對(duì)任意,恒有,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【解析】解:由不等式,可得,設(shè),則,,時(shí),;時(shí),,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因此(1),因此在上單調(diào)遞增,由得,即,設(shè),,易得當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,從而的最大值為(e),故.故答案為:,.例8.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【解析】解:函數(shù),可得.時(shí),當(dāng)時(shí),不等式恒成立時(shí),當(dāng)時(shí),不等式在上單調(diào)遞增.,可得,.令,.,可得時(shí),函數(shù)取得極小值即最小值.(1).實(shí)數(shù)的取值范圍為,.故答案為:,.【同步練習(xí)】一.選擇題1.若對(duì)任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值A(chǔ). B. C. D.【解析】解:由題意,,由恒成立,即恒成立,等價(jià)于,即,函數(shù)在上單調(diào)遞增,只需,,,即,令,,得,當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,即,得.故選:.2.對(duì)任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為A. B. C. D.【解析】解:對(duì)任意的,不等式恒成立,即恒成立,函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),又時(shí),,原問(wèn)題等價(jià)于恒成立,則,即在恒成立,設(shè),則,令,解得,當(dāng)時(shí),遞減,時(shí),遞增,則(1),故.即.另解:,等價(jià)為,設(shè),,可得在遞增,則,當(dāng)時(shí),恒成立;當(dāng)時(shí),可得,可得,即有,由的導(dǎo)數(shù)為,可得時(shí),遞減,時(shí),遞增,可得處取得最大值,所以.故選:.3.若對(duì)任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為A. B. C. D.【解析】解:依題意,對(duì)任意,恒成立,記,,則,易知函數(shù)在上單增,顯然,則函數(shù)在上遞增,要使在上恒成立,只需時(shí),函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的上方,如圖可知,越大,函數(shù)圖象的開(kāi)口越大,故當(dāng)兩函數(shù)恰好相切時(shí),此時(shí)實(shí)數(shù)取得最大值,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,則實(shí)數(shù)的最大值為.故選:.二.多選題4.已知函數(shù)的零點(diǎn)為,則A.的值為5 B.的值為4 C. D.【解析】解:因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為,所以,所以,所以,所以,故,即,所以,故,故正確,錯(cuò)誤;,其中,故,(2),,由零點(diǎn)存在性定理可知,,故錯(cuò)誤,正確;故選:.三.填空題5.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【解析】解:由題意可得,所以,令,則,易得在上單調(diào)遞增,所以,即在恒成立,令,,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以(2),則,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為,故答案為:.6.已知對(duì)任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【解析】解:由,得,,令,對(duì)任意的,恒成立,,則在遞增,且,使得,故,,令,則,則,令,則在遞增,且,,故,即,即,故時(shí),有最小值,且,故,故的取值范圍是,.7.已知函數(shù):,對(duì)任意,,,且,都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【解析】解:當(dāng)時(shí),函數(shù)在,上是增函數(shù),又函數(shù)在,上是減函數(shù),不妨設(shè),則,,所以等價(jià)于,即.設(shè),則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間,上是減函數(shù).于是即在,時(shí)恒成立,從而在,上恒成立,而函數(shù)在區(qū)間,上是增函數(shù),所以的最大值為.于是,又,所以,,故答案為:,.8.已知函數(shù),若對(duì)區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)不等的實(shí)數(shù),,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解析】解:,,不等式恒成立,,恒成立,即恒成立,設(shè),,則;的對(duì)稱軸為,在上是單調(diào)增函數(shù),故有(2),,即實(shí)數(shù)的取值范圍是,.故答案為:,.9.已知函數(shù),若對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解析】解:對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù),,都有恒成立則當(dāng)時(shí),恒成立在上恒成立則則實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為:.10.已知是函數(shù)的零點(diǎn),則的值為.【解析】解:根據(jù)題意,,若,必有,變形可得,則有,兩邊同時(shí)去對(duì)數(shù)可得,設(shè),,易得在為增函數(shù),若,即,必有,若是函數(shù)的零點(diǎn),則有,即,變形可得:,則有;故答案為:2.11.已知實(shí)數(shù),滿足,,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則【解析】解:實(shí)數(shù),滿足,,所以,,即,,所以和是方程的根,由于方程的根唯一.所以,,整理得,所以.故答案為:.12.已知不等式對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為.【解析】解:不等式對(duì)恒成立,即,對(duì)恒成立,即有對(duì)恒成立,設(shè),可得,即在遞增,在遞減,可得在處取得最小值1,則對(duì)恒成立,由,可得,當(dāng)時(shí),,顯然成立;要求的最小值,可考慮的情況.當(dāng)時(shí),在遞減,可得,則,兩邊取自然對(duì)數(shù)可得,即對(duì)恒成立,可設(shè),,可得,當(dāng)時(shí),,遞增,時(shí),,遞減,則在處取得極小值,且為最小值,即有,可得,即的最小值為.故答案為:.13.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)任意的,,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【解析】解:對(duì)任意的,,恒成立,等價(jià)為,即恒成立.令,由,,可得,,,又表示曲線在,上不同兩點(diǎn)的割線的斜率的絕對(duì)值.則,即,的取值范圍是,.故答案為:,.14.已知函數(shù),對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解析】解:的幾何意義為:表示點(diǎn),與點(diǎn),連線的斜率,實(shí)數(shù),在區(qū)間內(nèi),故和在區(qū)間內(nèi).不等式恒成立,函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1,故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立.由函數(shù)的定義域知,,在內(nèi)恒成立.即在內(nèi)恒成立.由于二次函數(shù)在,上是單調(diào)增函數(shù),
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