第36講導(dǎo)數(shù)中的結(jié)構(gòu)一致問題【典型例題】例1．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．例2．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C．， D．例3．已知函數(shù)，在其定義域內(nèi)任取兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．例4．已知，滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為A． B． C． D．例5．已知不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．例6．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．例7．若對任意，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．例8．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【同步練習(xí)】一．選擇題1．若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值A(chǔ)． B． C． D．2．對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．3．若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為A． B． C． D．二．多選題4．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，則A．的值為5 B．的值為4 C． D．三．填空題5．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．6．已知對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．7．已知函數(shù)：，對任意，，，且，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．8．已知函數(shù)，若對區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．9．已知函數(shù)，若對任意兩個(gè)正數(shù)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．10．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為．11．已知實(shí)數(shù)，滿足，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則12．已知不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．13．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧θ我獾模愠闪ⅲ瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為．14．已知函數(shù)，對任意的，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．已知函數(shù)，且對于任意的，，，恒成立，則的取值范圍是．16．已知，若對于任意的，，不等式恒成立，則的最小值為．

第36講導(dǎo)數(shù)中的結(jié)構(gòu)一致問題【典型例題】例1．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，即為，設(shè)，，，令，可得，由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象，可得和有且只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．即有在處取得極小值，且為最小值．即有，令，可得，．則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．則的最小值為．另解1：由于與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于對稱，考慮極限情況，恰為這兩個(gè)函數(shù)的公切線，此時(shí)斜率，再用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率的表達(dá)式為，即可得的最小值為．另解2：不等式恒成立，即為，即有，可令，可得在遞增，由選項(xiàng)可得，所以，若，則，所以，即有，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，遞減．時(shí)，遞增，可得時(shí)，取得最大值．則，的最小值為．故選：．例2．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C．， D．【解析】解：恒成立，，，．令，易得在上單調(diào)遞增，，．，，，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：．例3．已知函數(shù)，在其定義域內(nèi)任取兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．【解析】解：對任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有不等式恒成立等價(jià)于，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，在上恒成立．令，則△或，所以或，所以，所以的取值范圍為，．故選：．例4．已知，滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為A． B． C． D．【解析】解：實(shí)數(shù)，滿足，所以，，即，，所以和是方程的根，由于方程的根唯一．所以，，整理得，所以．故選：．例5．已知不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解析】解：不等式，即為，設(shè)，則原不等式等價(jià)為對任意的實(shí)數(shù)恒成立，由恒成立，可得是上的增函數(shù)，所以，由，，可得，即，由，，可得在內(nèi)遞減，在遞增，可得的最小值為（e），則，即．則的最小值為．故選：．例6．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】解：，函數(shù)的定義域是，若恒成立，則，兩邊加上得到：，單調(diào)遞增，，即，令，，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，故，故，故答案為：．例7．若對任意，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】解：由不等式，可得，設(shè)，則，，時(shí)，；時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此（1），因此在上單調(diào)遞增，由得，即，設(shè)，，易得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，從而的最大值為（e），故．故答案為：，．例8．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】解：函數(shù)，可得．時(shí)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立時(shí)，當(dāng)時(shí)，不等式在上單調(diào)遞增．，可得，．令，．，可得時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值．（1）．實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．【同步練習(xí)】一．選擇題1．若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值A(chǔ)． B． C． D．【解析】解：由題意，，由恒成立，即恒成立，等價(jià)于，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，只需，，，即，令，，得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，得．故選：．2．對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解析】解：對任意的，不等式恒成立，即恒成立，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，又時(shí)，，原問題等價(jià)于恒成立，則，即在恒成立，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，則（1），故．即．另解：，等價(jià)為，設(shè)，，可得在遞增，則，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，可得，可得，即有，由的導(dǎo)數(shù)為，可得時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，可得處取得最大值，所以．故選：．3．若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為A． B． C． D．【解析】解：依題意，對任意，恒成立，記，，則，易知函數(shù)在上單增，顯然，則函數(shù)在上遞增，要使在上恒成立，只需時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的上方，如圖可知，越大，函數(shù)圖象的開口越大，故當(dāng)兩函數(shù)恰好相切時(shí)，此時(shí)實(shí)數(shù)取得最大值，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，則實(shí)數(shù)的最大值為．故選：．二．多選題4．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，則A．的值為5 B．的值為4 C． D．【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以，故，即，所以，故，故正確，錯(cuò)誤；，其中，故，（2），，由零點(diǎn)存在性定理可知，，故錯(cuò)誤，正確；故選：．三．填空題5．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】解：由題意可得，所以，令，則，易得在上單調(diào)遞增，所以，即在恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以（2），則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：．6．已知對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】解：由，得，，令，對任意的，恒成立，，則在遞增，且，使得，故，，令，則，則，令，則在遞增，且，，故，即，即，故時(shí)，有最小值，且，故，故的取值范圍是，．7．已知函數(shù)：，對任意，，，且，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上是增函數(shù)，又函數(shù)在，上是減函數(shù)，不妨設(shè)，則，，所以等價(jià)于，即．設(shè)，則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間，上是減函數(shù)．于是即在，時(shí)恒成立，從而在，上恒成立，而函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，所以的最大值為．于是，又，所以，，故答案為：，．8．已知函數(shù)，若對區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】解：，，不等式恒成立，，恒成立，即恒成立，設(shè)，，則；的對稱軸為，在上是單調(diào)增函數(shù)，故有（2），，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．9．已知函數(shù)，若對任意兩個(gè)正數(shù)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】解：對任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有恒成立則當(dāng)時(shí)，恒成立在上恒成立則則實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：．10．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為．【解析】解：根據(jù)題意，，若，必有，變形可得，則有，兩邊同時(shí)去對數(shù)可得，設(shè)，，易得在為增函數(shù)，若，即，必有，若是函數(shù)的零點(diǎn)，則有，即，變形可得：，則有；故答案為：2．11．已知實(shí)數(shù)，滿足，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則【解析】解：實(shí)數(shù)，滿足，，所以，，即，，所以和是方程的根，由于方程的根唯一．所以，，整理得，所以．故答案為：．12．已知不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．【解析】解：不等式對恒成立，即，對恒成立，即有對恒成立，設(shè)，可得，即在遞增，在遞減，可得在處取得最小值1，則對恒成立，由，可得，當(dāng)時(shí)，，顯然成立；要求的最小值，可考慮的情況．當(dāng)時(shí)，在遞減，可得，則，兩邊取自然對數(shù)可得，即對恒成立，可設(shè)，，可得，當(dāng)時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，則在處取得極小值，且為最小值，即有，可得，即的最小值為．故答案為：．13．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧θ我獾模愠闪ⅲ瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】解：對任意的，，恒成立，等價(jià)為，即恒成立．令，由，，可得，，，又表示曲線在，上不同兩點(diǎn)的割線的斜率的絕對值．則，即，的取值范圍是，．故答案為：，．14．已知函數(shù)，對任意的，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】解：的幾何意義為：表示點(diǎn)，與點(diǎn)，連線的斜率，實(shí)數(shù)，在區(qū)間內(nèi)，故和在區(qū)間內(nèi)．不等式恒成立，函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立．由函數(shù)的定義域知，，在內(nèi)恒成立．即在內(nèi)恒成立．由于二次函數(shù)在，上是單調(diào)增函數(shù)，