特訓02三角形的初步認識壓軸題（2023新題速遞）一、解答題1．（2023秋·河北石家莊·八年級校考開學考試）將兩塊直角三角板如圖1放置，，，，，．

(1)若三角板如圖1擺放時，則________，________．(2)現固定的位置不變，將沿方向平移至點E正好落在上，如圖2所示，與交于G，作和的角平分線交于點H，求的度數；(3)現固定，將繞點A順時針旋轉至與直線首次重合的過程中，當線段與的一條邊平行時，請直接寫出的度數．2．（2023秋·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學校校考開學考試）問題背景：小強在學習完平行線一節后，想利用平行線的知識證明“三角形的內角和是”；．如圖1，是小強為證明三角形內角和是180°所采取的構圖方法：過的頂點作．請完成：（1）利用小強的構圖，說明的理由；嘗試應用：如圖2，直線與直線相交于點，夾角為，點在點右側，點在上方，點在點左側運動，點在射線上運動（不與重合）；請完成：（2）當時，平分，平分交直線于點，求的度數；拓展創新：如圖3，點在線段上運動（不與重合），，，，交于點；請完成：（3）當為何值時，不隨的變化而變化，并用含的代數式表示的度數（寫出解答過程）．3．（2023春·四川廣安·八年級校考期末）定義：如圖（1），若分別以的三邊，，為邊向三角形外側作正方形，和，則稱這三個正方形為的外展三葉正方形，其中任意兩個正方形為的外展雙葉正方形．

(1)作的外展雙葉正方形和，記，的面積分別為和；①如圖（2），當時，求證：；②如圖（3），當時，與是否仍然相等，請說明理由．(2)已知中，，，作其外展三葉正方形，記，，的面積和S，請利用圖（1）探究：當的度數發生變化時，的值是否發生變化？若不變，求出的值；若變化，求出的最大值．4．（2023秋·陜西西安·八年級校考開學考試）已知，在中，，，，三點都在直線上，

(1)如圖①，若，則與的數量關系為______，，與的數量關系為________；(2)如圖②，當不垂直于時，（1）中的結論是否成立？請說明理由．(3)如圖③，若只保持，，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以的速度由點向點運動，它們運動的時間為．是否存在，使得與全等？若存在，求出相應的t與x的值；若不存在，請說明理由．5．（2023春·廣東梅州·八年級校考開學考試）在四邊形中．

(1)如圖1，，，，分別是，上的點，且，探究圖中，，之間的數量關系．小林同學探究此問題的方法是：延長到點，使．連接，先對比與的關系，再對比與的關系，可得出、、之間的數量關系，他的結論是；(2)如圖2，在四邊形中，，，、分別是，上的點，且，則上述結論是否仍然成立，請說明理由．(3)如圖3，在四邊形中，，，若點在的延長線上，點在的延長線上，若，請寫出與的數量關系，并給出證明過程．6．（2023·全國·八年級專題練習）定義：有一組對角互補的四邊形叫做對補四邊形．

(1)已知四邊形是對補四邊形．①若，則______°．②如圖①，、的平分線分別與相交于點，且．求證：；(2)如圖②，在四邊形中，對角線交于點，且平分，，平分，與交于點，且于點，則四邊形是對補四邊形嗎？請說明理由；(3)已知四邊形是對補四邊形，其三個頂點如圖③所示，連接．若平分，平分，且直線，交于點（與點不重合），請直接寫出與之間的數量關系．7．（2023春·廣東梅州·八年級校考階段練習）已知中，平分，交于點，平分，交于點，與交于點．(1)如圖，求證：．

(2)如圖，連接，求證：平分．

(3)如圖，若，，，求的值．

8．（2023·全國·八年級專題練習）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經過組內合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長到點，使請根據小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題如圖，已知，，，為的中點．

（2）如圖1，若，，共線，求證：平分；（3）如圖2，若，，不共線，求證：；（4）如圖3，若點在上，記銳角，且，則的度數是___________（用含的代數式表示）．9．（2023·全國·八年級假期作業）（1）如圖1，把沿折疊，使點A落在點處，請直接寫出與的關系：．（2）如圖2，把分別沿、折疊，使點A落在點處，使點B落在點處，若，則°（3）如圖3，在銳角中，于點M，于點N，、交于點H，把沿折疊使點A和點H重合，則與的關系是．A．

B．C．

D．（4）如圖4，平分，平分，把沿折疊，使點A與點H重合，若，求的度數．10．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）【初步探索】

(1)如圖1，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，探究圖中、、之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長到點，使．連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是；【靈活運用】(2)如圖2，若在四邊形中，，．、分別是、上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由；【拓展延伸】(3)如圖3，已知在四邊形中，，，若點在的延長線上，點在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，請寫出與的數量關系，并給出證明過程．11．（2023·全國·八年級專題練習）【數學經驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點．（1）①如圖1，中，，則的三條高所在的直線交于點；②如圖2，中，，已知兩條高，，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出的第三條高．（不寫面法，保留作圖痕跡）．【綜合應用】（2）如圖3，在中，，平分，過點作于點．①若，則；②請寫出與，之間的數量關系；【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則他們的面積比等于對應底邊的比．如圖，是上一點，則有．如圖，中，M是上一點＝，N是的中點，若三角形的面積是m，請直接寫出四邊形的面積．（用含的代數式表示）12．（2023秋·全國·八年級專題練習）（1）如圖①，在四邊形中，，E，F分別是邊上的點，且．請直接寫出線段之間的數量關系：；（2）如圖②，在四邊形中，，E，F分別是邊上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，E，F分別是邊所在直線上的點，且．請直接寫出線段之間的數量關系：．13．（2023秋·湖南長沙·八年級校考期末）如圖，中，，，E點為射線上一動點，連接，作且．(1)如圖1，過F點作交于D點，求證：，并寫出和的數量關系；(2)如圖2，連接交于G點，若，求證：E點為中點；(3)當E點在射線上，連接與直線交于G點，若，求．14．（2023秋·湖北孝感·八年級統考期末）閱讀理解在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應用如圖2，在四邊形中，，點是的中點．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系，并說明理由；拓展創新如圖3，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的數量關系，請直接寫出你的結論．15．（2023秋·甘肅定西·八年級校考期末）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數量與位置關系，并直接寫出與的關系．16．（2023秋·湖北武漢·八年級校考期末）問題提出，如圖（1），在和中，，，，點E在內部，直線與交于點F，線段之間存在怎樣的數量關系？問題探究(1)先將問題特殊化.如圖（2），當點D，F重合時，直接寫出一個等式，表示之間的數量關系；(2)再探究一般情形.如圖（1），當點D，F不重合時，證明（1）中的結論仍然成立.問題拓展(3)如圖（3），在和中，，，，點E在內部，直線與交于點F，直線與交于點G，點H為線段上一點，，與交于點I，若，，則___________（用含m，n的式子表示）17．（2023秋·山東青島·八年級青島超銀中學校考期末）中，，點D，E分別是邊上的點，點P是一動點，令，，．初探：(1)如圖1，若點P在線段上，且，則

°；(2)如圖2，若點P在線段上運動，則之間的關系為；(3)如圖3，若點P在線段的延長線上運動，則之間的關系為

．再探：(4)如圖4，若點P運動到的內部，寫出此時之間的關系；說明理由．(5)若點P運動到的外部，寫出此時之間的關系．18．（2023春·廣東梅州·八年級校考開學考試）在四邊形中．(1)如圖1，，，，分別是，上的點，且，探究圖中，，之間的數量關系．小林同學探究此問題的方法是：延長到點，使．連接，先對比與的關系，再對比與的關系，可得出、、之間的數量關系，他的結論是；(2)如圖2，在四邊形中，，，、分別是，上的點，且，則上述結論是否仍然成立，請說明理由．(3)如圖3，在四邊形中，，，若點在的延長線上，點在的延長線上，若，請寫出與的數量關系，并給出證明過程．19．（2023春·全國·八年級專題練習）（1）如圖1，在四邊形中，，分別是邊上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，，分別是邊上的點，且；求證：，（3）如圖3，在四邊形中，，分別是邊延長線上的點，且，寫出之間的數量關系，并證明你的結論．20．（2023·江蘇·八年級假期作業）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分別是BC．CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．(1)小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是；（直接寫結論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中結論是否仍然成立，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請直接寫出它們之間的數量關系．21．（2023·全國·八年級專題練習）已知：中，，，D為直線上一動點，連接，在直線右側作，且．(1)如圖1，當點D在線段上時，過點E作于H，連接．求證：；(2)如圖2，當點D在線段的延長線上時，連接交的延長線于點M，求證：；(3)當點D在直線上時，連接交直線于M，若，請求出的值．22．（2023春·四川成都·八年級四川師范大學附屬中學校考階段練習）已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點E為△ABC內一點，連接AE，CE，CE⊥AE，過點B作BD⊥AE，交AE的延長線于D．

（1）如圖1，求證BD=AE；（2）如圖2，點H為BC中點，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數；（3）如圖3，在（2）的條件下，點M為CH上的一點，連接EM，點F為EM的中點，連接FH，過點D作DG⊥FH，交FH的延長線于點G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長．23．（2023春·陜西西安·八年級校考期中）問題：如圖(1)，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數量關系．【發現證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,從而發現EF=BE+FD,請你利用圖