專題39二次函數中的線段周長問題【題型演練】一、單選題1．（2020·福建·龍海二中一模）拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OB＝OC＝3OA，求拋物線的解析式（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣52．（2022·廣東·惠州市惠城區博文學校九年級期中）已知拋物線在坐標系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A，B．點P是其對稱軸上的動點，根據圖中提供的信息，給出以下結論：①；②x＝3是的一個根；③周長的最小值是；④拋物線上有兩點和，若，且，則，其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·浙江湖州·模擬預測）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y＝a1x2（a1≠0）與拋物線C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交點P在第三象限，過點P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于點M，N．若＝，則的值是（

）A． B．n﹣1 C．n D．4．（2015·江蘇蘇州·九年級期末）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，過其頂點M的一條直線與該拋物線的另一個交點為N（－1，1）．若要在y軸上找一點P，使得PM＋PN最小，則點P的坐標為（）A．（0，2） B．（0，） C．（0，） D．（0，）5．（2019·浙江·九年級階段練習）如圖，拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（B，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D．下列四個判斷：①當x>0時，y>0；②若a=-1，則b=4；③拋物線上有兩點P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，則y1>y2；④點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F分別在x軸和y軸上，當m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為，其中正確判斷的序號是（）A．① B．②C．③ D．④6．（2019·浙江湖州·九年級期末）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過原點，與x軸的另一個交點為A（﹣6，0），點C是拋物線的頂點，且⊙C與y軸相切，點P為⊙C上一動點．若點D為PA的中點，連結OD，則OD的最大值是（）A． B． C．2 D．7．（2018·河北邢臺·一模）如圖，拋物線經過點，頂點為，過點作軸的平行線，與拋物線及其對稱軸分別交于點，以下結論：①當時，；②存在點，使；③是定值；④設點關于的軸的對稱點為，當時，點在下方．其中正確的是（

）A．①③ B．②③C．②④ D．①④8．（2020·山東·模擬預測）如圖，拋物線為常數)交軸于點，與軸的一個交點在和之間，頂點為．①拋物線與直線有且只有一個交點；②若點、點、點在該函數圖象上，則③將該拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位，所得拋物線解析式為；④點關于直線的對稱點為點分別在軸和軸上，當時，四邊形周長的最小值為．其中正確判斷的序號是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④9．（2019·浙江溫州·九年級階段練習）如圖，拋物線交坐標軸于A、B、C三點，直線為拋物線的對稱軸，E為對稱軸與x軸的交點，點D為拋物線上一動點（D點在x軸下方），直線交直線于點M、直線交直線于點N，在點D從點A運動到點B的過程中，線段的變化趨勢為（

）A．一直在增大 B．一直不變 C．先增大后減小 D．先減小后增大10．（2022·浙江溫州·九年級階段練習）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，點G，F分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為（

）A．6 B． C． D．二、填空題11．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，拋物線與直線交與點A與點B，點P是線段AB上的動點，過點P作PQ∥y軸，交拋物線于點Q，則線段PQ長的最大值為_______．12．（2022·吉林白城·九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，過點C作軸，交拋物線于另一點D，若，則c的值為_____．13．（2022·山東·日照市田家炳實驗中學九年級階段練習）如圖，在拋物線上取點，在y軸負半軸上取一個點，使為等邊三角形，然后在第四象限取拋物線上的點，在y軸負半軸上取點，使為等邊三角形，重復以上的過程，可得，則的坐標為________．14．（2022·山東·武城縣魯權屯鎮中學九年級階段練習）平面直角坐標系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經過點和，點P是拋物線C上第一象限內一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為______．15．（2022·廣東·測試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點在的左側，交軸于點，點是線段的中點，點是線段上一個動點，沿折疊得，則線段的最小值是______．16．（2021·新疆·烏魯木齊市第四十四中學九年級階段練習）如圖所示，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且OA=OC，點M、N是直線x=-1上的兩個動點，且MN=2（點N在點M的上方），則四邊形BCNM的周長的最小值是______．三、解答題17．（2021·新疆·烏魯木齊市第五十四中學九年級階段練習）如圖，已知直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線經過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D．(1)點A的坐標為，點B的坐標為．(2)①求拋物線的解析式；②點M是拋物線在第二象限圖象上的動點，是否存在點M，使得△MAB的面積最大?若存在，請求這個最大值并求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)點P從點D出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的t值．18．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，已知拋物線與軸交于點、，與軸交于點，連接、．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點是直線上方拋物線上一點，過點作∥軸交于點，過點作于點，當的周長最大時，求出的周長最大值及此時點的坐標；19．（2022·全國·九年級專題練習）已知二次函數圖象的頂點坐標為，直線與該二次函數的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為，B點在y軸上．(1)求m的值及這個二次函數的解析式；(2)在x軸上找一點Q，使的周長最小，求出此時Q點坐標；20．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，點為拋物線的頂點，點在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)直線的函數解析式為，點的坐標為，連接，若過點的直線交線段于點，將的面積分成的兩部分，則點的坐標為；(3)在y軸上找一點，使得的周長最小，則點的坐標為21．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知拋物線與x軸交于點，與y軸交于，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P是直線下方拋物線上一點，過點P作于點D，過點P作軸交于點E，求周長的最大值及此時點P的坐標；22．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線經過B、C兩點，與x軸另一交點為A，頂點為D．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上找一點E，使的周長最小，求符合條件的E點坐標；23．（2022·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，點為拋物線的頂點，點在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點，如圖．(1)求拋物線的解析式；(2)直線的函數解析式為______，點的坐標為______，______．(3)在軸上找一點，使得的周長最?。埱蟪鳇c的坐標；24．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C，點Q為線段上的動點．(1)求拋物線的解析式；(2)求的最小值25．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線與x軸相交于點，，與y軸交于點，點D為拋物線的頂點．(1)直接寫出拋物線的函數表達式；(2)如圖，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使得△BCF周長最小，若存在求點F坐標，并求周長的最小值；若不存在，請說明理由26．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于點B、C，經過B、C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為A．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點P在直線l下方的拋物線上，過點P作軸交l于點D，軸交l于點E，求的最大值27．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線經過和兩點，點是線段上異于的動點，過點作軸于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在這樣的點，使線段的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；28．（2022·重慶八中模擬預測）平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，，與y軸交于點C．(1)求拋物線的函數表達式及頂點坐標；(2)如圖1，連接，點P是線段上方拋物線上的一個動點，過點P作PZx軸交于點Z，過點P作PQCB交直線于點Q，求的最大值及此時點P的坐標；(3)如圖2，在（2）的條件下，將該拋物線向下平移個單位，向右平移3個單位，使得P點對應點．點S是新拋物線對稱軸上一點，在平面上否存在一點N，使以、S、A、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．專題39二次函數中的線段周長問題【題型演練】一、單選題1．（2020·福建·龍海二中一模）拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OB＝OC＝3OA，求拋物線的解析式（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5【答案】A【分析】由拋物線與y軸的交點坐標可求OC得長，根據OB＝OC＝3OA，進而求出OB、OA，得出點A、B坐標，再用待定系數法求出函數的關系式.【詳解】解：在拋物線y＝ax2+bx﹣3中，當x＝0時，y＝﹣3，點C（0，﹣3）∴OC＝3，∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝3，OA＝1，∴A（﹣1，0），B（3，0）把A（﹣1，0），B（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣3得：a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，解得：a＝1，b＝﹣2，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，故選：A．【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式；是一道二次函數綜合題.2．（2022·廣東·惠州市惠城區博文學校九年級期中）已知拋物線在坐標系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A，B．點P是其對稱軸上的動點，根據圖中提供的信息，給出以下結論：①；②x＝3是的一個根；③周長的最小值是；④拋物線上有兩點和，若，且，則，其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根據對稱軸方程求得a、b的數量關系；②根據拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標是3；③利用兩點間線段最短來求△PAB周長的最小值；④根據二次函數圖象，當x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根據離對稱越遠的點的縱坐標就越小得出結論．【詳解】解：①根據圖象知，對稱軸是直線，則b=-2a，即2a+b=0．故①正確；②根據圖象知，點A的坐標是（-1，0），對稱軸是直線x=1，則根據拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一個根，故②正確；③如圖所示，點A關于x=1對稱的點是，即拋物線與x軸的另一個交點．連接與直線x=1的交點即為點P，則△PAB周長的最小值是的長度．∵B（0，3），，∴．而即△PAB周長的最小值是．故③正確．④觀察二次函數圖象可知：當x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則1-x1＜x2-1，∴y1＞y2．故④正確．綜上所述，正確的結論是：①②③④．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象的性質以及兩點之間線段最短．解答該題時，充分利用了拋物線的對稱性．3．（2021·浙江湖州·模擬預測）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y＝a1x2（a1≠0）與拋物線C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交點P在第三象限，過點P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于點M，N．若＝，則的值是（

）A． B．n﹣1 C．n D．【答案】B【分析】令，求得P的橫坐標，然后根據兩拋物線的對稱軸求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．【詳解】解：令a1x2＝a2x2+bx，解得x1＝0，x2＝，∴P的橫坐標為，∵拋物線：的對稱軸為y軸，拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝n﹣2，∴﹣1＝n﹣2，∴＝n﹣1，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，求得P的橫坐標，表示出PM、PN是解題的關鍵．4．（2015·江蘇蘇州·九年級期末）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，過其頂點M的一條直線與該拋物線的另一個交點為N（－1，1）．若要在y軸上找一點P，使得PM＋PN最小，則點P的坐標為（）A．（0，2） B．（0，） C．（0，） D．（0，）【答案】A【詳解】試題分析：因為拋物線y＝－x2＋px＋q的對稱軸為直線x＝－3，過點N（－1，1），所以，解得，所以，所以頂點M為（-3,5），則點M關于y軸的對稱點為（3,5），設直線N的解析式為，把點N（－1，1），點（3,5），代入得，解得，所以直線為，令x=0，則y=2，所以點P的坐標為（0，2），故選A．考點：1．待定系數法求函數解析式；2．軸對稱；3．直線與y的交點．5．（2019·浙江·九年級階段練習）如圖，拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（B，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D．下列四個判斷：①當x>0時，y>0；②若a=-1，則b=4；③拋物線上有兩點P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，則y1>y2；④點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F分別在x軸和y軸上，當m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為，其中正確判斷的序號是（）A．① B．②C．③ D．④【答案】C【詳解】試題解析：①當x＞0時，函數圖象過一四象限，當0＜x＜b時，y＞0；當x＞b時，y＜0，故本選項錯誤；②二次函數對稱軸為x=-=1，當a=-1時有=1，解得b=3，故本選項錯誤；③∵x1+x2＞2，∴＞1，又∵x1-1＜1＜x2-1，∴Q點距離對稱軸較遠，∴y1＞y2，故本選項正確；④如圖，作D關于y軸的對稱點D′，E關于x軸的對稱點E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．當m=2時，二次函數為y=-x2+2x+3，頂點縱坐標為y=-1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（-1，4）；C點坐標為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，-3）；則DE=；D′E′=；∴四邊形EDFG周長的最小值為，故本選項錯誤．故選C．考點：拋物線與x軸的交點．6．（2019·浙江湖州·九年級期末）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過原點，與x軸的另一個交點為A（﹣6，0），點C是拋物線的頂點，且⊙C與y軸相切，點P為⊙C上一動點．若點D為PA的中點，連結OD，則OD的最大值是（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】取點H（6,0）,連接PH,由待定系數法可求拋物線解析式,可得點C坐標,可得⊙C半徑為4,由三角形中位線的定理可求OD=PH,當點C在PH上時,PH有最大值,即可求解．【詳解】如圖,取點H（6,0）,連接PH,∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過原點,與x軸的另一個交點為A（﹣6,0）,∴,解得:,∴拋物線解析式為：y＝﹣,∴頂點C（﹣3,4）,∴⊙C半徑為4,∵AO＝OH＝6,AD＝BD,∴OD＝PH,∴PH最大時,OD有最大值,∴當點C在PH上時,PH有最大值,∴PH最大值為＝3+＝3+,∴OD的最大值為:,故選B．【點睛】本題主要考查了切線的性質,二次函數的性質,三角形中位線定理等知識,解決本題的關鍵是要熟練掌握二次函數性質和三角形中位線的性質.7．（2018·河北邢臺·一模）如圖，拋物線經過點，頂點為，過點作軸的平行線，與拋物線及其對稱軸分別交于點，以下結論：①當時，；②存在點，使；③是定值；④設點關于的軸的對稱點為，當時，點在下方．其中正確的是（

）A．①③ B．②③C．②④ D．①④【答案】A【分析】根據二次函數的對稱性可得拋物線與軸的另一個交點的坐標為，且拋物線開口向上，可對①作判斷；根據圖形中與軸交點坐標和對稱軸與軸交點可對②作判斷；根據對稱性得：，根據線段的和與差可對③作判斷；根據的坐標和到軸的距離可對④作判斷．【詳解】解：①由題意得：，開口向上，拋物線對稱軸是，且經過點，拋物線過軸另一個點為，當時，；故①正確；②當在點時，，，不可能與重合，故②不正確；③，故③正確；④把代入中，，當時，，，點在的上方，故④不正確；所以正確的有：①③，故選：．【點睛】本題考查了二次函數的性質、與軸的交點、關于軸對稱的點的特點，利用數形結合的思想解決問題是關鍵，并熟練掌握二次函數的性質．8．（2020·山東·模擬預測）如圖，拋物線為常數)交軸于點，與軸的一個交點在和之間，頂點為．①拋物線與直線有且只有一個交點；②若點、點、點在該函數圖象上，則③將該拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位，所得拋物線解析式為；④點關于直線的對稱點為點分別在軸和軸上，當時，四邊形周長的最小值為．其中正確判斷的序號是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據一元二次方程的判別式的值，即可判斷①；根據拋物線的對稱性和二次函數的增減性，即可判斷②；根據二次函數的平移規律“左加右減，上加下減”即可判斷③；先求出A，B，C的坐標，作點關于軸的對稱點，作點關于軸的對稱點連接，與軸、軸分別交于點，則四邊形的最小周長，即可判斷④．【詳解】把代入中，得，，一元二次方程兩個相等的實數根，∴拋物線與直線有且只有一個交點，故此小題結論正確；拋物線的對稱軸為：直線，點關于直線的對稱點為，，當時，隨增大而增大，又，點、點、點在該函數圖象上，，故此小題結論錯誤；將該拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位后，拋物線的解析式為：，即：，故此小題結論正確；當時，拋物線的解析式為：，，作點關于軸的對稱點，作點關于軸的對稱點連接，與軸、軸分別交于點，則，根據兩點之間線段最短，可知最短，而的長度一定，四邊形的最小周長===．故此小題結論正確；綜上所述：結論正確的有，故選D．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象和性質，一次函數與二次函數圖象的交點以及軸對稱的性質，熟練掌握二次函數圖象的對稱性，增減性，函數圖象的交點問題與方程的根的關系，二次函數的平移規律，利用軸對稱性，求線段和的最小值，是解題的關鍵．9．（2019·浙江溫州·九年級階段練習）如圖，拋物線交坐標軸于A、B、C三點，直線為拋物線的對稱軸，E為對稱軸與x軸的交點，點D為拋物線上一動點（D點在x軸下方），直線交直線于點M、直線交直線于點N，在點D從點A運動到點B的過程中，線段的變化趨勢為（

）A．一直在增大 B．一直不變 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】B【分析】根據題意，分別解得點A、B、C、E的坐標，設，分別解得直線BD、AD的表達式，再進一步解得交點M、N的坐標，即可解得線段EM、EN的長，據此解題．【詳解】拋物線的對稱軸為直線為E為對稱軸與x軸的交點，點D為拋物線上一動點，設令x=0，解得y=-3，令y=0，則設直線的表達式為，代入點B、D得直線的表達式為設直線的表達式為，代入點A、D得直線的表達式為直線交直線于點M解得同理直線交直線于點N，解得的長度不變，故選：B．【點睛】本題考查二次函數的綜合，是重要考點，難度較大，掌握相關知識是解題關鍵．10．（2022·浙江溫州·九年級階段練習）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，點G，F分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用拋物線的解析式求得點C、D和E的坐標，利用軸對稱的性質和將軍飲馬模型作出點D關于y軸的對稱點，點E關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點G，交y軸于點F，此時EDFG周長取最小值，利用點的坐標的性質和勾股定理即可求得結論．【詳解】解：令，則，∴，∵，∴，拋物線的對稱軸為直線，∵點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，∴，∴，作點D關于y軸的對稱點，點E關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點G，交y軸于點F，如圖，則，，，，此時，∴此時四邊形EDFG周長最小，延長，它們交于點H，如圖，則，∴，∴四邊形EDFG周長的最小值為，故選B．【點睛】本題考查了二次函數的性質、拋物線與x軸的交點，軸對稱的性質、勾股定理和拋物線上點的坐標的特征，利用軸對稱的性質找出點F和G的位置是解決本題的關鍵．二、填空題11．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，拋物線與直線交與點A與點B，點P是線段AB上的動點，過點P作PQ∥y軸，交拋物線于點Q，則線段PQ長的最大值為_______．【答案】##0.25【分析】根據PQ∥y軸，可設點，則，從而得到，再根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】解：∵PQ∥y軸，∴可設點，則，∴，∴當時，最大，最大值．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．12．（2022·吉林白城·九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，過點C作軸，交拋物線于另一點D，若，則c的值為_____．【答案】【分析】先用根與系數的關系求出，再根據求出，然后由得到關于c的方程，解方程求出c即可．【詳解】解：設，令，則，由根與系數的關系得：，則，令，則，∴，∵軸，∴點D縱坐標為c，當時，則，解得：或，∴，∴，∵，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，二次函數與一元二次方程之間的關系，靈活運用所學知識是解題的關鍵．13．（2022·山東·日照市田家炳實驗中學九年級階段練習）如圖，在拋物線上取點，在y軸負半軸上取一個點，使為等邊三角形，然后在第四象限取拋物線上的點，在y軸負半軸上取點，使為等邊三角形，重復以上的過程，可得，則的坐標為________．【答案】【分析】首先求出的坐標，通過觀察得出規律，再根據規律求出的坐標．【詳解】解：根據的坐標，設直線解析式為，∴，∴直線的解析式為：，∵為等邊三角形，，∴，∴，，∵，又直線過點，則直線的解析式為：，聯立拋物線解析式得，解得：，∴，，，同理可得，，，……當，，點縱坐標的絕對值=1+2+3+…+100=5050，故答案為：【點睛】本題考查了二次函數的性質，等邊三角形的性質，找到規律是解題的關鍵．14．（2022·山東·武城縣魯權屯鎮中學九年級階段練習）平面直角坐標系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經過點和，點P是拋物線C上第一象限內一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為______．【答案】【分析】求得拋物線C的解析式，設Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根據二次函數的性質即可求得．【詳解】解：設平移后的解析式為y=-x2+bx+c，∵拋物線C經過點A（-1，0）和B（0，3），∴，解得，∴拋物線C的解析式為y=-x2+2x+3，設Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），∵點P是拋物線C上第一象限內一動點，∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）=-x2+3x+3∴OQ+PQ的最大值為故答案為：【點睛】本題考查了二次函數的性質，平移，二次函數圖象與幾何變換，根據題意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解題的關鍵．15．（2022·廣東·測試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點在的左側，交軸于點，點是線段的中點，點是線段上一個動點，沿折疊得，則線段的最小值是______．【答案】##【分析】先根據拋物線解析式求出點A，B，坐標，從而得出，，，再根據勾股定理求出的長度，然后根據翻折的性質得出在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，當，，在同一直線上時，最??；過點作，垂足為，由中位線定理得出，的長，然后由勾股定理求出，從而得出結論．【詳解】解：令，則，解得，，，，，，令，則，，，，為中點，，由沿折疊所得，，在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，當，，在同一直線上時，最小，過點作，垂足為，，，，，又，，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知識，關鍵是根據拋物線的性質求出，，的坐標．16．（2021·新疆·烏魯木齊市第四十四中學九年級階段練習）如圖所示，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且OA=OC，點M、N是直線x=-1上的兩個動點，且MN=2（點N在點M的上方），則四邊形BCNM的周長的最小值是______．【答案】【分析】先求出點C的坐標，求出求出點A的坐標即可求出拋物線解析式，從而求出點B的坐標，取E（0，1），連接AM，EM，AE，可證四邊形MNCE是平行四邊形，得到CN=ME，則四邊形BCNM的周長=BC+CN+NM+BM，再由點A，B關于直線MN對稱，得到AM=BM，則四邊形BCNM的周長=BC+NM+AM+ME，故當A、M、E三點共線時，AM+ME最小，最小為AE，即此時四邊形BCNM的周長最小，據此求解即可．【詳解】解：∵點C是拋物線與y軸的交點，∴點C的坐標為（0，3），∴OA=OC=3，∴點A的坐標為（-3，0），∴，∴，∴拋物線解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，令，則，解得或（舍去），∴點B的坐標為（1，0），取E（0，1），連接AM，EM，AE，∴CE=ME=2，又∵，∴四邊形MNCE是平行四邊形，∴CN=ME，∴四邊形BCNM的周長=BC+CN+NM+BM，∵點A，B關于直線MN對稱，∴AM=BM，∴四邊形BCNM的周長=BC+NM+AM+ME，∴當A、M、E三點共線時，AM+ME最小，最小為AE，即此時四邊形BCNM的周長最小，∴，∴四邊形BCNM的周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，平行四邊形的性質與判定，已知兩點坐標求兩點距離等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．三、解答題17．（2021·新疆·烏魯木齊市第五十四中學九年級階段練習）如圖，已知直線y＝x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線經過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D．(1)點A的坐標為，點B的坐標為．(2)①求拋物線的解析式；②點M是拋物線在第二象限圖象上的動點，是否存在點M，使得△MAB的面積最大?若存在，請求這個最大值并求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)點P從點D出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的t值．【答案】(1)（﹣3，0），（0，3）；(2)①，②存在，△MAB的面積最大為，此時，(3)當t為3或4±或4秒時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形【分析】（1）y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝﹣3，即可求解；（2）①B的坐標為：（0，3），故c＝3，將點A的坐標代入拋物線表達式并解得：b＝﹣2，即可求解；②過點作軸，交于點，設，則，求得，根據二次函數的性質求得最大值，以及的值，從而求得的坐標；（3）根據題意可得，進而勾股定理分別求得，分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三種情況，分別解方程求解即可．【詳解】（1）解：y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝－3，故點A、B的坐標分別為：（﹣3，0），（0，3）；故答案為：（﹣3，0），（0，3）；（2）①B的坐標為：（0，3），∴將點A的坐標（﹣3，0）代入拋物線表達式得：，解得：b＝﹣2，∴拋物線的解析式為；②如圖，過點作軸，交于點，設，則∴∴當時，取得最大值，為此時∴（3）令中y＝0，則＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x＝1或，∴C（1，0）．∵，∴D（﹣1，4），∵點P從點D出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，∴．∵，，∴，，．①當PC＝PB時，即解得：t＝3；②當BC＝PC時，解得：t＝4±；③當BC＝PB時，解得：t＝4或﹣2（舍去負值）綜上可知：當t為3或4±或4秒時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求函數解析式、面積問題、兩點間的距離公式以及勾股定理等，解題關鍵是熟練掌握一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求函數解析式、兩點間的距離公式以及勾股定理．18．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，已知拋物線與軸交于點、，與軸交于點，連接、．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點是直線上方拋物線上一點，過點作∥軸交于點，過點作于點，當的周長最大時，求出的周長最大值及此時點的坐標；【答案】(1)(2)最大值為，【分析】（1）利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；（2）過點P作∥軸交BC于點H，由題意易得，則有，然后可得，，，進而可求，設，設直線的解析式為：，則有，最后根據二次函數的性質可進行求解．【詳解】（1）解：∵點、、在拋物線的圖像上，∴將點A、B、C的坐標代入得：，解得，∴；（2）解：如圖，過點P作∥軸交BC于點H，∵∥軸，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，，∴，∴當取最大值時，取最大值，設，設直線的解析式為：，將點B、C的坐標代入得：，解得，∴，∴，∴，∴，∴當時，取得最大值，最大值為，∴的最大值，將代入到中，得，∴．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．19．（2022·全國·九年級專題練習）已知二次函數圖象的頂點坐標為，直線與該二次函數的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為，B點在y軸上．(1)求m的值及這個二次函數的解析式；(2)在x軸上找一點Q，使的周長最小，求出此時Q點坐標；【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）將A點坐標分別代入拋物線和直線解析式，即可求出m的值及這個二次函數的解析式；（2）使的周長最小，即是求的值最小，作B點關于x軸的對稱點，當A、Q、三點在一條直線上時，的周長最小，求出直線的解析式，進而可得Q點坐標．【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，∵點在拋物線上，則，解得，∴拋物線的解析式為，∵點在直線上，∴，解得；（2）解：∵，∴直線解析式為，當時，，即，∴B點關于x軸的對稱點點的坐標為，設直線的解析式為，將A、兩點坐標代入，得，解得，，∴直線的解析式為，如圖，當A、Q、三點在一條直線上時，的值最小，即的周長最小，Q點為直線與x軸的交點，當時，即，解得，∴Q點坐標為．【點睛】本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式，軸對稱最短路徑問題，解題時注意數形結合思想的運用．20．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，點為拋物線的頂點，點在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)直線的函數解析式為，點的坐標為，連接，若過點的直線交線段于點，將的面積分成的兩部分，則點的坐標為；(3)在y軸上找一點，使得的周長最小，則點的坐標為【答案】(1)(2)；或(3)【分析】（1）將點、的坐標代入拋物線表達式，待定系數法求解析式即可求解；（2）求得線的表達式為：，依題意將的面積分成的兩部分，則或，進而求得的縱坐標，即可求解．（3）作點關于軸的對稱點，連接與軸交于點，連接、、，根據題意得出點，進而待定系數法求得直線的表達式為：，進而求得點的坐標．【詳解】（1）解：將點、的坐標代入拋物線表達式，，解得，故二次函數的表達式為：；（2）點，，故點，設直線的表達式，，解得，∴直線的表達式為：；對于，函數的對稱軸為，故點；將的面積分成的兩部分，則或，則或，即或，解得：或，故點或；故答案為：，，或；（3）如圖所示，作點關于軸的對稱點，連接與軸交于點，連接、、，的周長最小，點，設直線的表達式為：，則，解得，故直線的表達式為：，令，則，故點．【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，面積問題，軸對稱求線段和，求一次函數解析式，綜合運用以上知識是解題的關鍵．21．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知拋物線與x軸交于點，與y軸交于，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P是直線下方拋物線上一點，過點P作于點D，過點P作軸交于點E，求周長的最大值及此時點P的坐標；【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據點A和點B的坐標，設，再將點C的坐標代入求解即可；（2）延長交x軸于點F，證明，通過相似三角形周長比等于相似比，即可得出周長的表達式，再將其改寫為頂點式即可求出最值．【詳解】（1）設，把代入得：，解得：，∴；（2）解：如圖，延長交x軸于點F，設點，的周長是l，∵，∴，∵，∴的周長是12，設直線BC的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式是：，∴，∴，∵，∴，

∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∴當時，l有最大值，最大值為，即周長的最大值為，當時，，∴．綜上：周長的最大值為，此時點P的坐標．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖像和性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求解二次函數表達式的方法，通過相似三角形的周長比等于相似比得出周長的表達式．22．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線經過B、C兩點，與x軸另一交點為A，頂點為D．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上找一點E，使的周長最小，求符合條件的E點坐標；【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線解析式可求出點B、C的坐標，再利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）作點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點E，此時為最小，且為的長，即此時的周長最?。蓲佄锞€的解析式可求出點C和點D的坐標，從而得出點的坐標，再利用待定系數法可求出直線的解析式，從而即可求出E點坐標．【詳解】（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，∴令，則；令，則，∴點B、C的坐標分別為，將點B、C的坐標代入拋物線的解析式得：，解得：，故該拋物線的解析式：；（2）解：如圖，作點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點E，此時為最小，且為的長，即此時的周長最?。畬τ冢睿瑒t，∴點C的坐標為，∴點的坐標為．∵，∴拋物線的頂點D的坐標為．設直線的表達式為，將、D的坐標代入得：，解得：，∴直線的表達式為：，對于，當時，，故點E的坐標為．【點睛】本題為二次函數與一次函數的綜合題，考查一次函數與坐標軸的交點問題，利用待定系數法求函數解析式，軸對稱的性質，二次函數的圖象和性質等知識．熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題關鍵．23．（2022·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，點為拋物線的頂點，點在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點，如圖．(1)求拋物線的解析式；(2)直線的函數解析式為______，點的坐標為______，______．(3)在軸上找一點，使得的周長最?。埱蟪鳇c的坐標；【答案】(1)(2)；；(3)【分析】（1）將點、的坐標代入拋物線表達式，再利用待定系數法求解解析式即可；（2）先求解的坐標，再利用待定系數法求解的解析式，再利用拋物線的對稱軸方程求解拋物線的頂點坐標，設拋物線的對稱軸交于點E，連接，證明，再利用銳角三角函數的定義求解即可；（3）如圖，作關于軸的對稱點，連接交軸于，可得的周長為，此時的周長最短，再求解直線的解析式即可．【詳解】（1）解：將點、的坐標代入拋物線表達式得：，解得故拋物線的表達式為：；（2）點，，故點，設直線AB的解析式為：，，解得，∴直線的表達式為：；對于，函數的對稱軸為直線，把代入，∴頂點；如圖，設拋物線的對稱軸交于點E，連接，把代入，得，，為線段的中點，，在中，，，，，在中，（3）如圖，作關于軸的對稱點，連接交軸于，∴的周長為，此時的周長最短，設直線為，∴，解得：，∴直線為，當時，，∴．【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解拋物線的解析式，拋物線的性質，銳角三角函數的計算，利用軸對稱的性質求解三角形的周長的最小值，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．24．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C，點Q為線段上的動點．(1)求拋物線的解析式；(2)求的最小值【答案】(1)(2)10【分析】（1）設，將代入求解即可；（2）作點O關于直線BC的對稱點，連接，利用勾股定理及軸對稱的性質求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線交x軸于兩點，∴設，將代入，得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為；（2）如圖1，作點O關于直線BC的對稱點，連接，∵，，∴，∵O、關于直線對稱，∴垂直平分，∴垂直平分，∴四邊形BOCO′是正方形，∴，在中，，∵，∴，即點Q位于直線與直線交點時，有最小值10．【點睛】題目主要考查二次函數的綜合問題，包括待定系數法確定函數解析式，線段最短及軸對稱的性質等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．25．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線與x軸相交于點，，與y軸交于點，點D為拋物線的頂點．(1)直接寫出拋物線的函數表達式；(2)如圖，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使得△BCF周長最小，若存在求點F坐標，并求周長的最小值；若不存在，請說明理由【答案】(1)(2)存在，；【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求出拋物線的對稱軸，即可得出，設直線的解析式為：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周長．【詳解】（1）將，，代入得:,解得:所以拋物線的函數表達式：（2）存在；∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對稱軸，，∴，