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第二十一講與圓的位置關系命題點1點、直線與圓的位置關系1.(2022?鹽城)如圖,AB、AC是⊙O的弦,過點A的切線交CB的延長線于點D,若∠BAD=35°,則∠C=°.2.(2022?泰州)如圖,PA與⊙O相切于點A,PO與⊙O相交于點B,點C在上,且與點A、B不重合.若∠P=26°,則∠C的度數為°.命題點2切線的性質類型一切線性質的簡單計算3.(2022?河池)如圖,AB是⊙O的直徑,PA與⊙O相切于點A,∠ABC=25°,OC的延長線交PA于點P,則∠P的度數是()A.25° B.35° C.40° D.50°4.(2022?長沙)如圖,PA,PB是⊙O的切線,A、B為切點,若∠AOB=128°,則∠P的度數為()A.32° B.52° C.64° D.72°5.(2021?西寧)如圖,△ABC的內切圓⊙O與AB,BC,AC分別相切于點D,E,F,連接OE,OF,∠C=90°,AC=6,BC=8,則陰影部分的面積為()A. B. C.4﹣π D.6.(2022?衢州)如圖,AB切⊙O于點B,AO的延長線交⊙O于點C,連結BC.若∠A=40°,則∠C的度數為.7.(2022?青島)如圖,AB是⊙O的切線,B為切點,OA與⊙O交于點C,以點A為圓心、以OC的長為半徑作,分別交AB,AC于點E,F.若OC=2,AB=4,則圖中陰影部分的面積為.類型二切線性質的相關證明與計算8.(2022?眉山)如圖是不倒翁的主視圖,不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA,PB分別相切于點A,B,不倒翁的鼻尖正好是圓心O,若∠OAB=28°,則∠APB的度數為()A.28° B.50° C.56° D.62°9.(2022?重慶)如圖,AB是⊙O的切線,B為切點,連接AO交⊙O于點C,延長AO交⊙O于點D,連接BD.若∠A=∠D,且AC=3,則AB的長度是()A.3 B.4 C.3 D.410.(2022?玉林)如圖,AB是⊙O的直徑,C,D都是⊙O上的點,AD平分∠CAB,過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E,交AB的延長線于點F.(1)求證:EF是⊙O的切線;(2)若AB=10,AC=6,求tan∠DAB的值.命題點3與切線的判定及性質有關的計算11.(2022?菏澤)如圖,在△ABC中,以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E,且D是AC的中點,過點D作DG⊥BC于點G,交BA的延長線于點H.(1)求證:直線HG是⊙O的切線;(2)若HA=3,cosB=,求CG的長.12.(2022?鄂爾多斯)如圖,以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B,且與AC邊交于點D,點E為BC中點,連接DE、BD.(1)求證:DE是⊙O的切線;(2)若DE=5,cos∠ABD=,求OE的長.13.(2022?日照)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,點D為邊AB的中點,點O在邊BC上,以點O為圓心的圓過頂點C,與邊AB交于點D.(1)求證:直線AB是⊙O的切線;(2)若AC=,求圖中陰影部分的面積.14.(2022?百色)如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點C的直線交AB的延長線于點M,作AD⊥MC,垂足為D,已知AC平分∠MAD.(1)求證:MC是⊙O的切線;(2)若AB=BM=4,求tan∠MAC的值.15.(2022?十堰)如圖,△ABC中,AB=AC,D為AC上一點,以CD為直徑的⊙O與AB相切于點E,交BC于點F,FG⊥AB,垂足為G.(1)求證:FG是⊙O的切線;(2)若BG=1,BF=3,求CF的長.第二十一講與圓的位置關系命題點1點、直線與圓的位置關系1.(2022?鹽城)如圖,AB、AC是⊙O的弦,過點A的切線交CB的延長線于點D,若∠BAD=35°,則∠C=°.【答案】35【解答】解:連接OA并延長交⊙O于點E,連接BE,∵AD與⊙O相切于點A,∴∠OAD=90°,∵∠BAD=35°,∴∠BAE=∠OAD﹣∠BAD=55°,∵AE是⊙O的直徑,∴∠ABE=90°,∴∠E=90°﹣∠BAE=35°,∴∠C=∠E=35°,故答案為:35.2.(2022?泰州)如圖,PA與⊙O相切于點A,PO與⊙O相交于點B,點C在上,且與點A、B不重合.若∠P=26°,則∠C的度數為°.【答案】32【解答】解:如圖,連接AO并延長交⊙O于點D,連接DB,∵PA與⊙O相切于點A,∴∠OAP=90°,∵∠P=26°,∴∠AOP=90°﹣∠P=90°﹣26°=64°,∴∠D=∠AOP=×64°=32°,∵點C在上,且與點A、B不重合,∴∠C=∠D=32°,故答案為:32.命題點2切線的性質類型一切線性質的簡單計算3.(2022?河池)如圖,AB是⊙O的直徑,PA與⊙O相切于點A,∠ABC=25°,OC的延長線交PA于點P,則∠P的度數是()A.25° B.35° C.40° D.50°【答案】C【解答】解:∵∠ABC=25°,∴∠AOP=2∠ABC=50°,∵PA是⊙O的切線,∴PA⊥AB,∴∠PAO=90°,∴∠P=90°﹣∠AOP=90°﹣50°=40°,故選:C.4.(2022?長沙)如圖,PA,PB是⊙O的切線,A、B為切點,若∠AOB=128°,則∠P的度數為()A.32° B.52° C.64° D.72°【答案】B【解答】解:∵PA,PB是⊙O的切線,A、B為切點,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠AOB=128°,∴∠P=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB=52°,故選:B.5.(2021?西寧)如圖,△ABC的內切圓⊙O與AB,BC,AC分別相切于點D,E,F,連接OE,OF,∠C=90°,AC=6,BC=8,則陰影部分的面積為()A. B. C.4﹣π D.【答案】C【解答】解:連結AO、BO、DO,CO,設⊙O半徑為r,∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=10,∵△ABC的內切圓⊙O與AB,BC,AC分別相切于點D,E,F,∴AC⊥OF,AB⊥OD,BC⊥OE,且OF=OD=OE=r,∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO∴=,∴r==2,∵∠C=90°,∠OFC=∠OEC=90°,OF=OE∴四邊形OFCE是正方形,∴∠FOE=90°,∴S陰影=S正方形OFCE﹣S扇形OFE=4﹣=4﹣π,故選:C.6.(2022?衢州)如圖,AB切⊙O于點B,AO的延長線交⊙O于點C,連結BC.若∠A=40°,則∠C的度數為.【答案】25°【解答】解:如圖,連接OB.∵AB是⊙O切線,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∵∠A=40°,∴∠AOB=90°﹣∠A=50°,∵OC=OB,∴∠C=∠OBC,∵∠AOB=∠C+∠OBC,∴∠C=25°.故答案為:25°.7.(2022?青島)如圖,AB是⊙O的切線,B為切點,OA與⊙O交于點C,以點A為圓心、以OC的長為半徑作,分別交AB,AC于點E,F.若OC=2,AB=4,則圖中陰影部分的面積為.【答案】4﹣π【解答】解:連接OB,∵AB是⊙O的切線,B為切點,∴∠OBA=90°,∴∠BOA+∠A=90°,由題意得:OB=OC=AE=AF=2,∴陰影部分的面積=△AOB的面積﹣(扇形BOC的面積+扇形EAF的面積)=AB?OB﹣=×4×2﹣π=4﹣π,故答案為:4﹣π.類型二切線性質的相關證明與計算8.(2022?眉山)如圖是不倒翁的主視圖,不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA,PB分別相切于點A,B,不倒翁的鼻尖正好是圓心O,若∠OAB=28°,則∠APB的度數為()A.28° B.50° C.56° D.62°【答案】C【解答】解:連接OB,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=28°,∴∠AOB=124°,∵PA、PB分別切⊙O于點A、B,∴OA⊥PA,OP⊥AB,∴∠OAP+∠OBP=180°,∴∠APB+∠AOB=180°;∴∠APB=56°.故選:C.9.(2022?重慶)如圖,AB是⊙O的切線,B為切點,連接AO交⊙O于點C,延長AO交⊙O于點D,連接BD.若∠A=∠D,且AC=3,則AB的長度是()A.3 B.4 C.3 D.4【答案】C【解答】解:如圖,連接OB,∵AB是⊙O的切線,B為切點,∴OB⊥AB,∴AB2=OA2﹣OB2,∵OB和OD是半徑,∴∠D=∠OBD,∵∠A=∠D,∴∠A=∠D=∠OBD,∴△OBD∽△BAD,AB=BD,∴OD:BD=BD:AD,∴BD2=OD?AD,即OA2﹣OB2=OD?AD,設OD=x,∵AC=3,∴AD=2x+3,OB=x,OA=x+3,∴(x+3)2﹣x2=x(2x+3),解得x=3(負值舍去),∴OA=6,OB=3,∴AB2=OA2﹣OB2=27,∴AB=3,故選:C.10.(2022?玉林)如圖,AB是⊙O的直徑,C,D都是⊙O上的點,AD平分∠CAB,過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E,交AB的延長線于點F.(1)求證:EF是⊙O的切線;(2)若AB=10,AC=6,求tan∠DAB的值.【解答】(1)證明:如圖1,連接OD,∵AD平分∠CAB,∴∠OAD=∠EAD.∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AE.∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上,∴EF是⊙O的切線;(2)連接BC,交OD于H,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∵AB=10,AC=6,∴BC===8,∵∠E=∠ACB=90°,∴BC∥EF,∴∠OHB=∠ODF=90°,∴OD⊥BC,∴CH=BC=4,∵CH=BH,OA=OB,∴OH=AC=3,∴DH=5﹣3=2,∵∠E=∠HCE=∠EDH=90°,∴四邊形ECHD是矩形,∴ED=CH=4,CE=DH=2,∴AE=6+2=8,∵∠DAB=∠DAE,∴tan∠DAB=tan∠DAE===.命題點3與切線的判定及性質有關的計算11.(2022?菏澤)如圖,在△ABC中,以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E,且D是AC的中點,過點D作DG⊥BC于點G,交BA的延長線于點H.(1)求證:直線HG是⊙O的切線;(2)若HA=3,cosB=,求CG的長.【解答】(1)證明:連接OD,∵AD=DC,AO=OB,∴OD是△ABC的中位線,∴OD∥BC,OD=BC,∵DG⊥BC,∴OD⊥HG,∵OD是⊙O的半徑,∴直線HG是⊙O的切線;(2)解:設⊙O的半徑為x,則OH=x+3,BC=2x,∵OD∥BC,∴∠HOD=∠B,∴cos∠HOD=,即==,解得:x=2,∴BC=4,BH=7,∵cosB=,∴=,即=,解得:BG=,∴CG=BC﹣BG=4﹣=.12.(2022?鄂爾多斯)如圖,以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B,且與AC邊交于點D,點E為BC中點,連接DE、BD.(1)求證:DE是⊙O的切線;(2)若DE=5,cos∠ABD=,求OE的長.【解答】(1)證明:如圖,連接OD,∵AB為⊙O的直徑,∴∠BDC=∠ADB=90°,∵E是BC的中點,∴DE=BE=EC=,在△DOE和△BOE中,,∴△DOE≌△BOE(SSS),∴∠ODE=∠ABC=90°,∴OD⊥DE∵點D在⊙O上,∴DE是⊙O的切線;(2)解:∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBD=90°,由(1)知:∠BDC=90°,BC=2DE,∴∠C+∠DBC=90°,BC=2DE=10,∴∠C=∠ABD,在Rt△ABC中,AC==,∵OA=OB,BE=CE,∴OE=.13.(2022?日照)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,點D為邊AB的中點,點O在邊BC上,以點O為圓心的圓過頂點C,與邊AB交于點D.(1)求證:直線AB是⊙O的切線;(2)若AC=,求圖中陰影部分的面積.【解答】(1)證明:連接OD,CD,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴AC=AB,∠A=90°﹣∠B=60°,∵D為AB的中點,∴BD=AD=AB,∴AD=AC,∴△ADC是等邊三角形,∴∠ADC=∠ACD=60°,∵∠ACB=90°,∴∠DCO=90°﹣60°=30°,∵OD=OC,∴∠ODC=∠DCO=30°,∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°,即OD⊥AB,∵OD過圓心O,∴直線AB是⊙O的切線;(2)解:由(1)可知:AC=AD=BD=AB,又∵AC=,∴BD=AC=,∵∠B=30°,∠BDO=∠ADO=90°,∴∠BOD=60°,BO=2DO,由勾股定理得:BO2=OD2+BD2,即(2OD)2=OD2+()2,解得:OD=1(負數舍去),所以陰影部分的面積S=S△BDO﹣S扇形DOE=﹣=﹣14.(2022?百色)如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點C的直線交AB的延長線于點M,作AD⊥MC,垂足為D,已知AC平分∠MAD.(1)求證:MC是⊙O的切線;(2)若AB=BM=4,求tan∠MAC的值.【解答】(1)證明:∵AD⊥MC,∴∠D=90°,

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