二次函數背景下的相似三角形的存在性

二次函數背景下的相似三角形考點分析：

1.先求函數的解析式，然后在函數的圖像上探求符合幾何條件的點；

2.簡單一點的題目，就是用待定系數法直接求函數的解析式；

3.復雜一點的題目，先根據圖形給定的數量關系，運用數形結合的思想，求得點的坐標，

繼而用待定系數法求函數解析式；

4.還有一種常見題型，解析式中由待定字母，這個字母可以根據題意列出方程組求解；

5.當相似時：一般說來，這類題目都由圖像上的點轉化到三角形中的邊長的問題，再由邊

的數量關系轉化到三角形的相似問題；

6.考查利用幾何定理和性質或者代數方法建立方程求解的方法。

【備注】：

1.以下每題教法建議，請老師根據學生實際情況參考；

2.在講解時：不宜采用灌輸的方法，應采用啟發、誘導的策略，并在讀題時引導學生發

現一些題目中的條件(相等的量、不變的量、隱藏的量等等)，使學生在復雜的背景下自己

發現、領悟題目的意思；

3.可以根據各題的“教法指導”引導學生逐步解題，并采用講練結合；注意邊講解邊讓

學生計算，加強師生之間的互動性，讓學生參與到例題的分析中來；

4.例題講解，可以根據“參考教法”中的問題引導學生分析題目，邊講邊讓學生書寫，

每個問題后面有答案提示；

5.引導的技巧：直接提醒，問題式引導，類比式引導等等；

6.部分例題可以先讓學生自己試一試，之后再結合學生做的情況講評；

7.每個題目的講解時間根據實際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時間足夠的情況

下講解。

典例剖析

例1.(2022青浦一模24).(12分)如圖，在平面直角坐標系X0，中，拋物線ynx'+fcr+c與

蔣由交于點4(-1,0)和點8(3,0),與海交于點G頂點為點〃

(1)求該拋物線的表達式及點煙坐標；

(2)聯結式；BD,求/曲的正切值；

(3)若點厭x軸上一點，當△應歸與△力及相似時，求點邢］坐標.

【解答】解：(1)將力(-1,0)、B(3,0)代入y=￥+6x+c,

得(l-b+c=0,

I9+3b+c=0

解得：門=-2,

lc=-3

所以拋物線的表達式為y=V-2x-3.

當x=0時，y=-3.

???點儆坐標為(0,-3).

(2)y=x-2x-3=(x-1)2-4,

???點，的坐標為(1,-4).

?:B⑶0)、。(0,-3)、D(1,-4),

BC—3^2，DC—BD=

???/+〃=18+2=20=龐.

ZBCD=90°.

tanN(W=匹=>^1=?二.

BC3723

(3)：tan也。，

0C3

ZAC0=ZCBD.

'：0C=OB,

：.ZOCB=ZOBC=^°.

：.ZAC(KZ0CB=ZCBIAZOBC.

即：ZACB=ZDBO.

.?.當△皮廬與△兒?麗似時，點窄點勝側.

?Vio2V5

372BP

：.BP=6.

：.P（-3,0）.

（77）當空?空時，

CBDB

.VT5BP

FF

:.BP=@

3

：.P（-1,0）.

3

綜上，點屋勺坐標為（-3,0）或（-』，0）.

3

例2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區期末）在平面直角坐標系xOy中，點

/、8兩點在直線y=2x上，如圖.二次函數_7=@太2+6牙-2的圖象也經過點/、曬點，并

2

與碎由相交于點C,如果比〃少由，點力的橫坐標是2.

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）設這個二次函數圖象的對稱軸與式交于點〃點笈生居由的負半軸上，如果以點￡、

。、￡所組成的三角形與△儂相似，且相似比不為1,求點耶坐標；

（3）設這個二次函數圖象的頂點是例求tan/吊力的值.

【解答】解：⑴?.?二次函數尸aV+"-2的圖像與諭相交于點G

點面坐標為（0,-2）,

???w,

?,?點8的縱坐標是-2,

?.?點/、曬點在直線上，點/的橫坐標是2,

2

.??點/的坐標為（2,1）,點況勺坐標為（-4,-2）,

?.?這個二次函數的圖像也經過點力（2,1）、6（-4,-2）,

.（4a+2b_2=l

116a_4b_2=-2

解這個方程組，得a=上，b=\,

4

二次函數的解析式是y=1x2+x-2；

4

（2）根據（1）得，二次函數y=1x2+x-2圖像的對稱軸是直線x=-2,

4

二點煙坐標為（-2,-2）,

：.0B=2氓,BD=2,

:a//斕J,

：.ZOBD=ZBOE,

以點民。、方組成的三角形與△勿場相似有可能以下兩種：

①當或圖時，ABOM40BE,顯然這兩相似三角形的相似比為1,與已知相似比不

OB0E

為1矛盾，這種情況應舍去，

②當班迪時，ABOMAOEB,

OE0B

-2娓2

0E2巡

：.OE=10,

又點庭x軸的負半軸上，

.??點蹴坐標為（-10,0）；

（3）過點a乍酸L/必垂足為〃，

-2的頂點坐標為〃(-2,-3),

設直線剛的解析式為曠="才+如

f2kt(n=l

1-2k+m=-3

解得A=l,m=-1,

???直線/瑚解析式為y=x-1,

設直線/收看由、碎由的交點分別為點RQ,

則點用勺坐標為(1,0),點頌坐標為(0,1),

???△力漢是等腰直角三角形，/OQP=45°,

?：/OQP=/HOC,

：.ZHOC=45°,

??,點C的坐標為(0,-2),

：.CQ=1,

：.HC=HQ='I2L,

2

又欣=2我，

：.MH=MQ-HQ=

tan//加二理1

MH3

3

例3(2。2崇明一模)24.如圖'拋物線產-與"由交于點,(4'°),與諭交于點

B(0,3),點欣如0)為線段如上一動點，過點膽垂直于x軸的直線與直線/破拋物線分別

交于點RN.

(備用圖)

(1)求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對稱軸和頂點坐標；

(2)如果以點RN、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形，求力的值；

(3)如果以反P、微頂點的三角形與446/目似，求點幽的坐標.

3

【小問1詳解】解：?.?拋物線尸X2+加+C與蚌由交于點4(4,0),與河由交于點6(0,3),

4

f3,

-242+4/?+C=0

4X,

c=3

J」

解得：,4,

c=3

39

..?拋物線的解析式為尸-了占了田3,

3933、,，75

尸V2+一田3二（z『一）+—,

444216

3

此拋物線對稱軸為戶2,

2

375

頂點坐標為(；，—)；

216

【小問2詳解】解：設直線期的解析式為產px+g,

4〃+q=0

把/(4,0),B(0,3)代入得〈c，

q=3

3

p——

解得：\4,

q=3

3

???直線/瑚解析式為尸-：％+3,

4

???〃("，0),隨歸_君由，

393

:?NIm,---方+一研3)，P(7Z7,—m+3),

444

32

???儼-―/+3%，OB=3,

4

'CNP//OB,且以點AN、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形,

3

，儼OB,即——蘇+3爐3,

4

整理得：/-4研4=0,

解得：廳2；

3

【小問3詳解］\'A(4,0),B(0,3)，P(m,一一m+3),

4

工32

而7VP=--蘇+3R,

4

,:PN〃OB,

：.ZBPJ^ZABO,

PN2

=---時,叢BPNs叢OBA,

啜AB

53

—m——m+3m

即nn4_4

-T"5

整理得9/11爐0,解得加I=0（舍去）,^=~~

此時〃點的坐標為（瓦，0）；

PBPN

當——=——時，ABPNsAABO,

ABOB

53

—m——m+3m

即nn44，

~Y~3

整理得202-5歷0,解得面=0（舍去），nk=3,

此時〃點的坐標為（3,0）；

綜上所述，點小的坐標為（旦，0）或（3,0）.

9

例4.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標系xQy中，拋物線丁=依2+區+。（。20）經

過點4（一1,0）、B（3,O）,C（O,3）,頂點為點D.

yi

o~1*

（1）求拋物線的表達式及頂點。的坐標；

（2）聯結雙）、CD,試判斷ABCD與“OC是否相似，并證明你的結論；

（3）拋物線上是否存在點尸，使得NR4c=45。.如果存在，請求出點P的坐標；如果

不存在，請說明理由.

【小問1詳解】解：拋物線經過點A（-L,O），3（3,0）,C（0,3），

設拋物線解析式為：j=?（x+l）（x-3）,

將點窗弋入可得：3=?（0+1）（0-3）,

解得：4=-1,

y=—(x+l)(x—3)=—%2+2x+3=—(x—l)2+4,

:?頂點坐標為：D（L4）；

【小問2詳解】解：如圖所示:

△AOC為直角三角形且三邊長分別為：AO=1,OC=3,AC7Ao2+OC2=曬,

△BCD的三邊長分別為：BC=4BO1+OC2="+32=3A/2，

2222

CD=^(l-0)+(4-3)=亞,BD=^(3-1)+4=A/22+42=275，

/.BC2+CD2BD2,

.??△BCD為直角三角形，

CD_BCBD心

AO~OC~AC~'

△ZOC?△DCB；

【小問3詳解】解：設存在點碓NK4C=45。，作線段兒的中垂線交從于點E,交于點

F,連接切如（2）中圖:

...NFEA=90°,Eill

VZR4C=45°,

：.ZAFC=90°,

???為等腰直角三角形，

：.AF=FC,EF=LAC=叵,

22

AF2+FC2=AC2，即A/2+A/2=(師『

解得：AF=亞，

設方(x,y),

；?”=J(x+l『+y2,C.=次+氏療,

(x+1)2+y2=%2+(3-y)2,

整理得：x+3y=4①,

將①代入②整理得：V一3y+2=0,

解得：%=1，%=2，

%=1,x?——2,

.?"（1,1）或——2,2）（不符合題意舍去），

AF（l,l）,A（-1,O）,

設直線物解析式為：y=kx+b（k^Q）,將兩個點代入可得:

l=k+b

O=-k+b'

解得：:

b=~

[2

11

??y——x-\—,

22

11小

>=_%+一①

聯立兩個函數得：＜22

y=-x2+2%+3②

將①代入②得：一元~1———x2+2x+3,

22

整理得：2d—3%-5=0，

解得：X]=—1,x=—?,

22

57

當了=一時，y=—,

2-4

例5.(2022靜安區一模24)如圖，在平面直角坐標系不勿中，已知拋物線尸￥+法經過點力

(2,0)和點5(-1,加，頂點為點。

(1)求直線/瑚表達式；

(2)求tan//M|的值；

(3)設線段做與法由交于點R如果點炫喇上，且與△/期相似，求點3勺坐標.

【分析】(1)將/(2,0)代入y=￥+6x,求出拋物線解析式，再將6(-1,m)代入y=f

-2x,求出卬的值，然后用待定系數法求直線/陰勺解析式即可；

(2)利用勾股定理判定△/做是直角三角形，即可求解；

(3)求出一點坐標(2，0),設C(t,0),當必時，△4576△加”過氏點作

2

蚌由交于點。，則tan/5C0=』=』-,求出C0=9,即可求C(-10,0)；當P點與C點

3CQ

重合時，AABSAABP,即可求C點坐標.

【解答】解：(1)將/(2,0)代入尸￥+",

.?.4+26=0,

b=-2,

y=x-2x,

將6(-1,而代入y=￥-2x,

m=3,

：.B(-1,3),

設直線/碘解析式為尸Ax+6,

.f-k+b=3

"bk+b^,

.fk=-l

"lb=2,

y=-x+2；

(2)y—x-2x=(x-1)--1,

：.D(1,-1),

AB=2yf^,BC—3^2，

":A^=A1}+Bd,

即是直角三角形，

tanZJSZ?=-^5-=—；

AB3

(3)設直線物的解析式為尸左x+4，

/ki+bi=-l

-k]+bi=3'

,k=-2

??,

lbl=l

?*.y=-2戶1,

令y=0,貝!Jx=2，

2

：.P(」，0),

2

設C(30),

如圖1,當必時，XABCsXAPB,

：.NACB=NABP

過員點作Ha翦由交于點a

.?.tanZW=—=—

3CQ

."g9,

."A10,

10,0)；

當C點與夕點重合時，4ABC^叢ABP,

此時C(l,0)；

2

綜上所述：C點坐標為(-10,0)或(2，0).

【點評】本題是二次函數的綜合題，熟練掌握二次函數的圖象及性質，相似三角形的性

質，利用分類討論，數形結合思想是解題的關鍵.

壓軸精練

1.(2021年寶山二模24)在平面直角坐標系Xa中，拋物線y=a*+Zw-l(aWO)經過點/

(-2,0),B(1,0)和點2(-3,加，與辟由交于點C.

(1)求該拋物線的表達式及點誠坐標；

(2)將拋物線平移，使點能在點放3點喀在點改3求△a歷的面積；

(3)如果點的碎由上，△也均△/6小目似，求點用］坐標.

解：(1),拋物線尸a*+6x-1經過點4(-2,0),B(1,0)和2(-3,ri),

.(4a-2b=1

Ia+b=l'

.??拋物線解析式為：1；

二n蔣X(-3)2卷X(-3)-1=2,

：.D(-3,2)；

(2)?.?將拋物線平移，使點密在點8處，點溶在點￡處,

：.E(-2,3),

11R

S^ODE—9--X3X2X2--=77；

C3)如圖1,連接切，AC,CB,過點加乍加上海于點￡,

,：A(-2,0),方(1,0),C(-1,0),Z?(-3,2),

OB=OC,DE=CE=3,AB=3,BC=-^2,CD=3近,

：.AABC=AOCD=^°,

;△尸切與△力比相似，點雕碎由上,

.??分兩種情況討論：

.AB_BC

?歷記

.返

??加記

：.PC=2,

：.P(0,1),

②如圖3,當/為。=/%C時，叢PCM叢ABC,

BC_AB

CD

加3

金武

PC=9,

：.P(0,8).

點用］坐標為(0,8)或(0,1)時，△戶與△怒甥似.

2.(2021崇明二模24)(12分)已知拋物線y=a￥+6x-4經過點4(-1,0),6(4,

0),與辟由交于點G點雇