PAGEPAGE1第五章函數應用§1方程解的存在性及方程的近似解1.2利用二分法求方程的近似解課時2函數與方程的綜合問題學問點1函數與方程1.☉%861@5￥@#%☉(2024·太原五中高一期末)下列區間不能推斷函數f(x)=2x-3是否有零點的是(A.[-2,0] B.[0,2] C.[2,4] D.[4,6]答案：C解析：函數f(x)=2x-3的定義域為(-∞,3)∪(3,+∞),所以函數y=f(x)的圖像在區間[2,4]上不是一條連續的曲線,故不能用零點存在定理來推斷2.☉%*2*6#@28%☉(教材習題改編)已知f(x)是定義域為R的奇函數,且在(0,+∞)內的零點有1009個,則f(x)的零點的個數為()。A.1009 B.1010 C.2024 D.2024答案：D解析：由于奇函數圖像關于原點對稱且它在(0,+∞)內的零點有1009個,所以它在(-∞,0)內的零點也有1009個。又f(x)的定義域為R,所以f(0)=0。即0也是它的零點,故f(x)的零點共有2024個。故選D。3.☉%￥8￥02#￥8%☉(2024·常德一中高一檢測)函數f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,則f(x)在(1,2)上的零點()。A.至多有一個 B.有一個或兩個C.有且僅有一個 D.一個也沒有答案：C解析：若a=0,則f(x)=bx+c是一次函數,由f(1)·f(2)<0得零點只有一個;若a≠0,則f(x)=ax2+bx+c為二次函數,若有兩個零點,則必有f(1)·f(2)>0,與已知沖突。故選C。4.☉%5*5@*#11%☉(2024·鄭州中牟二高高一月考)函數f(x)=lnx-1x-1的零點的個數是(A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：畫圖易知y=lnx與y=1x-15.☉%**0*9@90%☉(2024·衡水武邑高一月考)設f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n為y=f(x)的兩個零點,且m<n,則a,b,m,n的大小關系是()。A.a<m<n<b B.m<a<b<nC.a<b<m<n D.m<n<a<b答案：B解析：因為f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n為y=f(x)的兩個零點,所以f(a)=f(b)=1,f(m)=f(n)=0,如圖,依據二次函數的圖像與性質,由y=1,y=0兩條直線與拋物線的交點可得到a+b=m+n(a<b,m<n),所以m<a<b<n。故選B。6.☉%35￥@4@￥4%☉(2024·三明二中高一月考)已知函數f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4]。(1)畫出函數y=f(x)的圖像,并寫出其值域;答案：解:f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],其圖像如圖,其值域為[-4,5]。(2)當m為何值時,函數g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有兩個零點?答案：因為函數g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有兩個零點,所以方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有兩個相異的實數根,即函數y=f(x)與y=-m的圖像有兩個交點。由(1)所作圖像可知,-4<-m≤0,所以0≤m<4。所以當0≤m<4時,函數y=f(x)與y=-m的圖像有兩個交點,故當0≤m<4時,函數g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有兩個零點。學問點2利用二分法求近似解7.☉%￥*628*￥8%☉(2024·昆明官渡一中高一期中)若函數f(x)=(a+2)·x2+2ax+1有零點,但不能用二分法求其零點,則a的值為。

答案：a=2或a=-1解析：由題意知,對于方程(a+2)x2+2ax+1=0,Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1。8.☉%2#0*￥04￥%☉(2024·宜昌葛洲壩中學高一期中)用二分法求方程x3-2x-5=0在區間[2,3]內的實根,取區間中點x0=52,那么下一個有根的區間是。答案：2,解析：令f(x)=x3-2x-5。因為f(2)=23-4-5=-1<0,f52=523-5-5=458>0,f(3)=339.☉%##0￥8#78%☉(2024·吉林調考)某同學在借助計算器求方程lgx=2-x的近似解(精確度為0.1)時,設f(x)=lgx+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0,然后他用二分法又取了4個x的值,計算了其函數值,并得出推斷:方程的近似解是x≈1.8。那么他之后取的x的4個值依次是。

答案：1.5,1.75,1.875,1.8125解析：第一次用二分法計算得區間(1.5,2),其次次得區間(1.75,2),第三次得區間(1.75,1.875),第四次得區間(1.75,1.8125)。10.☉%3#@￥6￥39%☉(2024·上海中學月考)已知函數f(x)是定義域為R的奇函數,-2是它的一個零點,在(0,2)內無零點,且在(2,+∞)上是增函數,則該函數有個零點,這幾個零點的和等于。

答案：30解析：由于f(x)是定義域為R的奇函數,所以f(0)=0。因為-2是它的一個零點,所以2也是它的零點,故共有3個零點,它們的和為0。11.☉%@7*2*@63%☉(2024·馬鞍山高一期中)用二分法求函數f(x)=x3-x-1在區間[1,1.5]內的一個零點(精確度為0.1)。答案：解:因為f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,所以函數f(x)在區間[1,1.5]內存在零點,取區間(1,1.5)作為計算的初始區間,用二分法逐次計算,列表:區間區間中點中點函數值(或近似值)(1,1.5)1.25-0.297(1.25,1.5)1.3750.225(1.25,1.375)1.3125-0.052(1.3125,1.375)1.343750.083因為|1.375-1.3125|=0.0625<0.1,所以函數f(x)的零點落在區間(1.3125,1.375)內,故函數f(x)零點的近似值可取為1.3125。12.☉%￥@112@8*%☉(2024·信陽月考)若a滿意x+lgx=4,b滿意x+10x=4,函數f(x)=x2+(a+b)x+2(x≤0A.1 B.2C.3 D.4答案：C解析：因為a滿意x+lgx=4,b滿意x+10x=4,所以a,b分別為函數y=4-x與函數y=lgx,y=10x圖像交點的橫坐標。因為y=x與y=4-x圖像交點的橫坐標為2,函數y=lgx,y=10x的圖像關于y=x對稱,所以a+b=4。所以函數f(x)=x當x≤0時,關于x的方程f(x)=x,即x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,所以x=-2或x=-1,滿意題意;當x>0時,關于x的方程f(x)=x,即x=2,滿意題意。所以關于x的方程f(x)=x的解的個數是3,故選C。題型函數與方程的綜合應用13.☉%9￥4￥*16￥%☉(2024·濟寧第一中學高一期中)已知函數f(x)=logax+x-3(a>0且a≠1)有兩個零點x1,x2,且x1<x2,若x2∈(3,4),則實數a的取值范圍是()。A.0,14C.(1,4) D.(4,+∞)答案：A解析：由函數f(x)=logax+x-3(a>0且a≠1)有兩個零點,可知0<a<1,又x1<x2,所以0<x1<1。因為x2∈(3,4),所以f(3)·f(4)=(loga3+3-3)·(loga4+4-3)<0,即a∈0,1414.☉%**9#9@97%☉(2024·衡水中學高一月考)直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個交點,則a的取值范圍是()。A.1,54C.1,32答案：A解析：如圖,在同始終角坐標系內畫出直線y=1與曲線y=x2-|x|+a,視察圖像可知,若直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個交點,a的取值必需滿意a>1,4a-1415.☉%1￥4##2#5%☉(2024·成都樹德中學高一月考)已知m∈R,函數f(x)=|2x+1|(x<1),log2(x-1)(x>1),g(x)=x2-2x+2m-1,若函數A.0,35C.34,答案：A解析：函數f(x)=|2x+1|(x<1),log2(x-1)(x>1)。令g(x)=t,y=f(t)與y=m的圖像(如圖)最多有3個交點。當有3個交點時,0<m<3,從左到右交點的橫坐標依次是t1,t2,t3,且t1<t2<t3。由于函數y=f(g(x))-m有6個零點,t=x2-2x+2m-1,則每一個t的值對應2個x的值,則t的值不能取最小值,函數t=x2-2x+2m-1的對稱軸為直線x=1,則t的最小值為1-2+2m-1=2m-2,由圖可知2t1+1=-m,則t1=-m-12,由于t1是交點橫坐標中最小的16.☉%4￥2@3@#3%☉(2024·余姚中學高一期中)已知函數g(x)=log22xx+1(x>0)。若關于x的方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三個不同的實數根,則實數m的取值范圍是答案：-3解析：當x>0時,0<2x1+x<2,則log22x1+x<1,即函數g(x)=log22xx+1(x>0)的值域是(-∞,1),令|g(x)|=t可得t2+mt+2m+3=0在(0,1)上只有一個根,在[1,+∞)上有一個根。令f(t)=t2+mt+2m+3,故f(017.☉%@7@#28*3%☉(2024·豫西南部分示范性中學高一期中)已知二次函數f(x)=x2-2ax+4,求下列條件下,實數a的取值范圍。(1)零點均大于1;答案：解:由題可得方程x2-2ax+4=0的兩根均大于1,結合二次函數的單調性與零點存在定理,得Δ解得2≤a<52(2)一個零點大于1,一個零點小于1;答案：由題可得方程x2-2ax+4=0的一個根大于1,一個根小于1,結合二次函數的單調性與零點存在定理,得f(1)=5-2a<0,解得a>52(3)一個零點在(0,1)內,另一個零點在(6,8)內。答案：由題可得方程x2-2ax+4=0的一個根在(0,1)內,另一個根在(6,8)內,結合二次函數的單調性與零點存在定理,得f(0)=4>0,f18.☉%3#@#6￥48%☉(2024·定興三中高一期中)求函數f(x)=|x2-2x|-a2-a(a∈(0,+∞))的零點的個數。答案：解:令|x2-2x|-a2-1=0,所以函數f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈(0,+∞))的零點的個數轉化為|x2-2x|=a2+1的根的個數,再轉化為函數y=|x2-2x|的圖像與直線y=a2+1>0交點的個數,其中函數y=|x2-2x|的增區間為(0,1),(2,+∞),減區間為(-∞,0),(1,2),當x=1時函數值為1,所以函數y=|x2-2x|的圖像與直線y=a2+1>1有兩個交點,即方程|x2-2x|=a2+1(a∈(0,+∞))的解的個數是2,所以函數f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈(0,+∞))的零點的個數是2。19.☉%2￥5*￥@01%☉(2024·濟南一中月考)已知函數f(x)=|3x-1|,a∈13,1,若函數g(x)=f(x)-a有兩個不同的零點x1,x2(x1<x2),函數h(x)=f(x)-a2a+1有兩個不同的零點x3,x4(x(1)若a=23,求x1的值答案：解:當a=23時,令