PAGE常用邏輯用語一、選擇題1．命題“若一個數是負數，則它的平方是正數”的逆命題是()A．“若一個數是負數，則它的平方不是正數”B．“若一個數的平方是正數，則它是負數”C．“若一個數不是負數，則它的平方不是正數”D．“若一個數的平方不是正數，則它不是負數”B[依題意，得原命題的逆命題：若一個數的平方是正數，則它是負數．]2．已知全集S＝R，A?S，B?S，若命題p：eq\r(2)∈(A∪B)，則命題“綈p”是()A．eq\r(2)?AB．eq\r(2)??SBC．eq\r(2)?(A∩B)D．eq\r(2)∈(?SA)∩(?SB)D[p：eq\r(2)∈(A∪B)，綈p：eq\r(2)∈?S(A∪B)，即eq\r(2)∈(?SA)∩(?SB)．]3．“x2>2019”是“x2>2018”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[由于“x2>2019”時，肯定有“x2>2018”，反之不成立，所以“x2>2019”是“x2>2018”的充分不必要條件．]4．命題“?x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q”的否定是()A．?x0??RQ，xeq\o\al(3,0)∈QB．?x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)?QC．?x??RQ，x3∈QD．?x∈?RQ，x3?QD[特稱命題的否定是全稱命題．“?”的否定是“?”，x3∈Q的否定是x3?Q.命題“?x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q”的否定是“?x∈?RQ，x3?Q”，故應選D．]5．設四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[∵菱形的對角線相互垂直，∴“四邊形ABCD為菱形”?“AC⊥BC”，∴“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件；又∵對角線垂直的四邊形不肯定是菱形，∴“AC⊥BD”D/?“四邊形ABCD為菱形”，∴“四邊形ABCD為菱形”不是“AC⊥BD”的必要條件．綜上，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件．]6．設U為全集．A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要的條件C[由Venn圖易知充分性成立．反之，A∩B＝?時，由Venn圖(如圖)可知，存在A＝C，同時滿意A?C，B??UC．故“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充要條件．]7．設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α.則“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[m?α，m∥βD/?α∥β，但m?α，α∥β?m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分條件．]8．已知命題“若x＝5，則x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命題、否命題與逆否命題這三個命題中，真命題有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個B[原命題“若x＝5，則x2－8x＋15＝0”為真命題．當x2－8x＋15＝0時，x＝3或x＝5.故其逆命題：“若x2－8x＋15＝0，則x＝5”為假命題．又由四種命題之間的關系知該命題的逆否命題為真命題，否命題為假命題．]9．已知命題p：全部有理數都是實數；命題q：正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)D[不難推斷命題p為真命題，命題q為假命題，從而上述敘述中只有(綈p)∨(綈q)為真命題．]10．已知命題p，q，“綈p為真”是“p∧q為假”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[由“綈p為真”可得p為假，故p∧q為假；反之不成立．]11．已知命題p：“x＞2是x2＞4的充要條件”，命題q：“若eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)，則a＞b”，那么()A．“p或q”為真 B．“p且q”為真C．p真q假 D．p，q均為假A[由已知得命題p是假命題，命題q是真命題，因此選A．]12．下列命題中的假命題是()A．?x∈R,2x－1＞0B．?x∈N*，(x－1)2＞0C．?x0∈R，lgx0＜1D．?x0∈R，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(π,4)))＝5B[A項，∵x∈R，∴x－1∈R，由指數函數性質得2x－1＞0；B項，∵x∈N*，∴當x＝1時，(x－1)2＝0與(x－1)2＞0沖突；C項，當x0＝eq\f(1,10)時，lgeq\f(1,10)＝－1＜1；D項，當x∈R時，tanx∈R，∴?x0∈R，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(π,4)))＝5.]13．已知命題p：若a＝(1,2)與b＝(－2，λ)共線，則λ＝－4；命題q：?k∈R，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2－2y＝0相交．則下面結論正確的是()A．(綈p)∨q是真命題B．p∧(綈q)是真命題C．p∧q是假命題D．p∨q是假命題A[命題p為真，命題q：圓心(0,1)到直線kx－y＋1＝0的距離為d＝eq\f(|0|,\r(k2＋1))<1，命題q是真命題．故(綈p)∨q是真命題．]14．命題p：?x∈R，sinx＜1，命題q：?x∈R，cosx≤－1，則下列結論是真命題的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)B[當x＝eq\f(π,2)時，sinx＝1，故p為假命題，易知q為真命題，則(綈p)∧q為真命題，選B．]15．已知命題p：?x0∈R，ex0－mx0＝0，q：?x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)為假命題，則實數m的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]C．R D．?B[若p∨(綈q)為假命題，則p假q真．由ex－mx＝0，得m＝eq\f(ex,x)，設f(x)＝eq\f(ex,x)，則f′(x)＝eq\f(ex·x－ex,x2)＝eq\f(x－1ex,x2)，當x>1時，f′(x)>0，此時函數單調遞增，當0<x<1時，f′(x)<0，此時函數單調遞減，當x<0時，f′(x)<0，此時函數單調遞減，∴當x＝1時，f(x)＝eq\f(ex,x)取得微小值f(1)＝e，∴函數f(x)＝eq\f(ex,x)的值域為(－∞，0)∪[e，＋∞)，若命題p為假命題時，則0≤m<e.命題q為真命題時，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以當p∨(綈q)為假命題時，m的取值范圍是0≤m≤2.]二、填空題16．“若x，y全為零，則xy＝0”的否命題為．若x，y不全為零，則xy≠0[由于“全為零”的否定為“不全為零”，所以“若x，y全為零，則xy＝0”的否命題為“若x，y不全為零，則xy≠0”．]17．命題“每個函數都有奇偶性”的否定是．有些函數沒有奇偶性[命題的量詞是“每個”，即為全稱命題，因此其否定是特稱命題，用量詞“有些、有的、存在一個、至少有一個”等，再否定結論．故應填：有些函數沒有奇偶性．]18．若命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＜0”是真命題，則實數a的取值范圍是．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[∵命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＜0”等價于xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＝0有兩個不等的實根，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＜－1或a＞3.]19．已知直線l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a＝－1[由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3時，兩條直線重合，所以a＝－1.]三、解答題20．推斷下列復合命題的真假．(1)等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊；(2)不等式x2－2x＋1＞0的解集為R且不等式x2－2x＋2≤1的解集為?.[解](1)這個命題是“p且q”形式的復合命題，其中p：等腰三角形頂角的平分線平分底邊，q：等腰三角形頂角的平分線垂直于底邊，因為p真q真，則“p且q”為真，所以該命題是真命題．(2)這個命題是“p且q”形式的復合命題，其中p：不等式x2－2x＋1＞0的解集為R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集為?.因為p假q假，所以“p且q”為假，故該命題為假命題．21．已知p：?x∈R,2x>m(x2＋1)，q：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0－m－1＝0，且p∧q為真，求實數m的取值范圍．[解]2x>m(x2＋1)可化為mx2－2x＋m<0.若p：?x∈R,2x>m(x2