人教A版數學空間向量和立體幾何(一輪復習)專題一

知識點一求點面距離，面面角的向量求法

典例1、如圖，在長方體AG中，AD=AAi=l,A5=2,點￡是棱N8的中點.

(1)證明：PELAD；(2)求點￡到平面ACR的距離；(3)求二面角?！窫C-D的余弦值.

拓展練習：如圖，在長方體ABCD-A耳GR中，AD=AA,=4,AB^l,E、M、N分別是BC、叫、A。

的中點.

(1)證明：MV〃平面G〃E；(2)求點。到平面GDE的距離；

(3)設夕為邊A3上的一點，當直線PN與平面44DA所成角的正切值為正時，求二面角N-4P-M

4

的余弦值.

典例2、如圖，四邊形ABCD是正方形，PA_L平面A5c。，EB//PA,AB=PA^4,EB=2,F為

尸。的中點.

(1)求證：AFLPC；(2)求二面角。-尸C-E的大小.

拓展練習：如圖，在正四棱錐尸TBCD中，弘=AB=2,點瓶兒分別在尸4加上，且

(1)求證：MN平面P3C；(2)當人=(時，求平面AMN與平面PBC所成二面角的正

弦值.

典例3、四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB//CD,AD=DC=2,AB=4,PA=PC=2,P-AC-B

為直二面角.

⑴證明：(2)若直線9與平面PBC所成角的正弦值為當,求AC的長度.

拓展練習：如圖，。是以為直徑的圓。上異于N,8的點，平面PACL平面ABC,△P4C為正三角

pppp

形，E,尸分別是棱PC尸3上的點，且滿足正=而=〃0＜彳＜1).

(1)求證：BCVAE-(2)是否存在2,使得直線”與平面AEF所成角的正弦值為圓？若存在,

14

求出九的值；若不存在，請說明理由.

知識點二證明線面平行，線面角的向量求法

典例4、如圖，在三棱柱ABC-A4G中，四邊形441GC是邊長為4的正方形，皿=3.再從條件①：8C=5、

條件②：ABIAA^條件③：平面ABC人平面AAGJ中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已

知，并作答.

(1)求證：AB/平面MGC；(2)求直線3c與平面48G所成角的正弦值.

拓展練習：如圖，四棱錐P-ABCD中，尸平面ABCD,四邊形ABCD是矩形，點E,尸分別是A3,

尸。的中點，若摩=45=2,CD=4.

(1)求證：A廠〃平面PCE；(2)求直線尸C與平面PCE所成角的正弦值.

典例5、已知平行四邊形ABC。，AB=2BC=4,ZABC=60,點尸是CD的中點.沿AF把AW尸進行

翻折，使得平面ADFJ_平面ABCE

(1)求證：毋'1.平面AD廠；

(2)點E是A3的中點，棱CD上一點叔使得上17，。石，求二面角/-EF-C的余弦值.

拓展練習：如圖，斜三棱柱ABC-A與G中，ABC為正三角形，。為棱4c上的一點，平面ABC,

BtC//平面A.BD.

(1)證明：91平面ACC0；(2)已知平面加用，平面CM,求二面角班「C的正弦值.

典例6、如圖，在四棱錐P-ASCD中，上4,平面ABCD,AD//BC,ADLCD,且AD=CD,BC=2CD,

PA=y/2AD.

(1)證明：AB1PC-,(2)在線段上是否存在一點加，使得二面角M-AC-。的余弦值為姮,

若存在，求與PC所成角的余弦值；若不存在，請說明理由.

p,

M

拓展練習：如圖，在四棱錐人/四中，底面/皿是矩形，側面底面/灰〃￡為用的中點，

過C,D,￡三點的平面與必交于點尸，且為=即=/尻2.

（1）證明：EFJ.AD；

（2）若四棱錐尸-ABCD的體積為|,則在線段收上是否存在點G,使得二面角G-CD-B的余弦值為千

人教A版數學空間向量和立體幾何（一輪復習）專題一答案

典例1、答案：（1）證明見解析；（2）；；（3）業.

33

解：（1）由長方體性質知：面ADRA,面AORA,則AELAQ,

又4。=的=1,則為正方形，即而"ACAE=A,

面ARE,而REu面ARE,/.D^EA.AiD.

(2)由題設，D1A=A/2,D1C=A/5,AC=A/5,貝ljS9c=；工友＞＜小5-；=g,

由VD—ACD]=^Dx-AEC，且￡是棱力方的中點，貝US“°=gxlxl=；,即%=gxlx；=:,

1311

若￡到平面AC2的距離為乙則可得d4.

3263

(3)構建如下圖示的空間直角坐標系，則C(020),￡(1,1,0),2(0,0,1),

???EC=(-1,1,0),D1E=(1,1,-1),若加=(x,y,z)是面￡口。的法向量,

m-EC=-x+y=0At.

：.],令y=i,則加=(i,i,2),

m-DxE=x+y-z=0

又〃=(0,0,1)是面EDC的一個法向量，

COS<m,n>=*-=一一=四，則銳二面角A-EC-。的余弦值正

\m\\n\J6xl33

拓展練習：答案：⑴證明見解析；⑵(3)-也.

36

解：(1)證明：連接qC,ME,如圖，

因為區〃分別是3C、84的中點，所以ME//BQ且

又N是4。的中點，所以N￡>=ga。，

結合長方體的性質可得ME//ND且ME=ND,

所以四邊形為平行四邊形，所以MN//ED,

又禰VU平面GDE,即u平面GOE,所以M7V〃平面G〃E;

(2)因為AD=AAj=4,AB=2,ABC。-4與。。]為長方體，

E、M、N分別是3C、BBI、AQ的中點，

22

所以GE=[CE?+CO=2岳,ClD=yICD+ClC=275,ED=JCD?+EC?=2夜,

所以△。出。為等腰三角形，其底邊上的高為卜述2_(一：=3后，

所以為GED=:X20X30=6,設點。到平面GDE的距離為3貝1)匕一他=京根5/=2//,

111QQA

又Vc—GDE=Vq—DCE=^DCE-QC=-X-X2X2X4=~,所以2%=§,解得/7=耳，

所以點。到平面CQE的距離為［；

(3)連接⑷V,如圖，

由PA，平面4A。，可得ZANP即為直線PN與平面\ADDX所成角，

2

又AN=-AXD=一JAD~+AAj=2>/2,所以AP=AN=1,

224

分別以DA、DC、。，作為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系,

則4(4,0,4),*4,1,0),N(2,0,2),所以中=(0,1,T),m=(-2,0,-2),

設平面N'P的一個法向量為加=(x,y,z),

則令z=l則根=(-1，4,1),得平面4PM的一個法向量；=。,0,0),

/\m-n-10

6Frplcos(m,n)=i~~.i.=.—=--

、/|m|-|n|Jl+16+1xl6'

因為二面角N-AP-M為鈍角，所以二面角N-AP-M的余弦值為一也.

典例2、答案：(1)證明見解析；(2)IK.

O

解：(1)依題意，尸平面ABC。，如圖，以A為原點，

分別以ARAB,AP的方向為.“軸、V軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系.

依題意，可得A(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),D(4,0,0),P(0,0,4),E(0,4,2),F(2,0,2),

AF=(2,0,2),PC=(4,4,-4),AF-PC=8+0+(-8)=0,AFA.PCAF±PC；

'：AD=AP,尸為PD的中點，AF±PD,

(2)AFLPC,PDcPC=P,PD,PCu平面尸CD,

，AF，平面PCD,故AP=（2,0,2）為平面PCD的一個法向量

設平面PCE的法向量為〃=a%z）,

4x+4y-4z=0

PC=(4,4,-4),PE=(0,4,-2),

n?PE=04y—2z=0

AF-n2+0+4

令y=l,得x=l,z=2,故"=（1,1,2）..-.COs<AF,n>=^=^-J==-

由圖可得二面角。-PC-E為鈍角，

二面角。-PC-E的余弦值為-名，則二面角。-尸C-E的大小為乳.

26

拓展練習：答案：（1）證明見解析2（2），

解：（1）證明：連接AV并延長交員于點￡,

因為正四棱錐A仿功，所以/也為正方形，所以答=黑.

EABD

又因為PM鬻=R黑N，所以FN等=P答M，所以在平面月月中，MN//PE,

PABDEAPA

又MNu平面PBC,PEu平面陽C,所以〃平面為C.

（2）連接”交劭于點。，連接力。，

因為正四棱錐P-ABCD,所以P?！蛊矫鍭BCD,

又如，OBu平面/閱9,所以POLQ4,POLOB,

又正方形ABCD,所以。1，。反

以OA,OB,OP為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標系，

則A（立0,0）,B（0,V2,0）,C（-72,0,0）,￡>（0,-后,0）,尸（0,0,回,

因為X=g，所以N（0,0,0）,則⑷V.f/lQ。），PA=（C,O,一吟,

設平面/幽V的法向量為4=（石,%,zj,則｛,

nx-PA=y/2xi-,2Z]=0

取玉=O,%=應,Z=o,4=（0,3,0）；PB=（0,^,-A/2）,PC=Qg,O,-吟,

,.、%.PB=V2y-y/2z=0

設平面次的法向量為〃2=（%2，%/2），則j9廠?

取％2=1,%=—LZ?=-1,%=(1，-1，-1)；所以卜os（珥,%1=

島近—3

設平面/腑與平面H3C所成的二面角為。，則sind=Ji-Cos/%）=^~，

所以平面.與平面七所成二面角的正弦值為華

典例3、答案：（1）證明見解析（2）2

解：（1）取AB的中點連接DM,交AC于。，連接OP,所以

因為AB//CD,AD=DC=2,AB=4,所以AM”)C且4攸=">=2,

所以四邊形ADCM為菱形，所以OMLAC,因為PA=PC,。為AC的中點，所以OPLAC,

所以NPQW為P-AC-B的二面角的平面角，

因為二面角P-AC-B為直二面角，所以-POM=90°,即OMLR9,

因為OMLAC,OMLPO,AC\PO=O,AC,POu平面PAC,所以平面PAC,

又因為PAu平面PAC,所以又因為M為AB的中點，。為AC的中點，

所以OM//3C,所以3CLB4；

（2）由（1）知，OM±AC,OM1PO,OPYOC,以。為坐標原點，

建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

設|OC|=a(a>0),|OP|=b(b>0),由OPJ_OC,得4+廿=4,

所以P(0,0,b),ZX0,—b,0),3(a,26,0),C(a,0,0),所以BC=(0,-2仇0),PC=(aQ-6),

m-BC=0f—2by=0

設”（W）為平面PBC的一個法向量'則。pc=°，即，『日。

令x=b,貝ljy=O,z=a,n=(b,O,a),PD=(0,-b,-b)

I/\I\PD'n

設直線PD與平面P5C所成角為。，貝lJsina=kos(PO,〃)="^~^-=-=J=~'==

?'71\PD\\n\ylb2+b2x^b2+a2

因為直線尸。與平面PBC所成角的正弦值為正，片+/=4,

4

所以甲=坐，解得若，

242b4

由(1)知，。為AC的中點，所以AC=2OC=2.所以AC的長度為2.

拓展練習：答案：(1)證明過程見解析；(2)存在，2=1,

解：(1)設AC的中點為。，連接。P,因為是圓。的直徑，所以3C，AC,

因為平面平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,

所以平面PAC,而AEu平面PAC,所以BCJ_AE；

(2)連接OO,因為DO//3C,所以

因為△PAC為正三角形，AC的中點為。，所以。尸_LAC,

因為平面E1C，平面A3C,平面PAC'平面ABC=AC,

所以OP,平面ABC,而。Ou平面ABC,

所以。建立如圖所示的空間直角坐標系，

設AC=2a,3c=b,D(0,0,0),A(a,0,0),尸(0,0,瘋z),E(-磯0,島(1-A)),F(-aA,M,島(1-㈤),

設平面AEF的法向量為?=(X,y,z),AE=(-al-a,0,島(1一A)),AF=(-d-a,bA,島Q-A)),

nLAEn?AE-0(-a2-a)x+y/^azQ-4)-0

所以有

nLAF~'n-AF=0(j-aA,—a)x+bA,y+&az(l-2)=0'

所以〃=(^^-,0,73),AP=(-a,0,yj3a),

1+2

假設存在4,使得直線AP與平面AEF所成角的正弦值為叵，

14

,.3(1—㈤「

歷?,\AP-n\一-7Tl~a+3ai,

所以有R=M〈AP,"〉卜加=2=或人瓦(舍去)，

即存在力=；，使得直線”與平面AE尸所成角的正弦值為包.

314

Xy

12

典例4、答案：（1）證明見解析（2）—

解：（1）選①②：由AC=4,AB=3,BC=5,易知：AB1AC,

,ACDAAl=A,AC,朋u面,則ABI面A4CC；

選①③：由AC=4,AB=3,BC=5,易知：AB1AC.

又面ABC工面AA.GC,面ABCc面A41GC=AC,ABu面ABC,...ABI平面例。。

（2）由（1）知：AB1AC,AB1AA,,又四邊形AA℃是正方形，則AC1A/"

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A-孫z,則40,0,0）,3（3,0,0）,C（0,0,4）,A（0,4,0）,C/0,4,4）,

/.45=（3,-4,0）,4G=（0,0,4）,BC=（-3,0,4）

幾.AB=0{3x_4v~0

設面48G的一個法向量為〃=（尤,y,z）,貝41，即n

=0|4z=0.

令y=3,則X=4,z=0,即"=（4,3,0）,

設直線BC與平面MG所成角為。，則sin0=1COS<BC,n>|=黑含=焉,

IBC||n|25

12

直線BC與平面\BCX所成角的正弦值為—.

拓展練習：答案：（1）證明見解析（2）漁

9

解：（1）取PC中點G,連接石G,尸G,

/，G分別為PDPC中點，，FG//CD,FG=1CD；

四邊形ABCD為矩形，E為AB中點，.?.AE//CD,AE=^CD.

.?.AE//FG且AE=FG,，四邊形AEGF為平行四邊形，/.EG//AF,

又EGu平面尸CE,人尸二平面「慮，，AF7/平面尸CE.

（2）以A為坐標原點，正方向為x,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

則磯2,0,0）,尸（0,0,2）,C（4,2,0）,F（0,1,1）,.-.EC=（2,2,0）,EP=（-2,0,2）,FC=（4,1,-1）,

設平面PCE的法向量"=（x,y,z）,

EC-n=2x+2y=0.6力,口4

則EP〃=-2x+2z=。'々x=l'解傳：k一1,z=ln=（l,-l,l）；

附2底

即直線爪與平面尸CE所成角的正弦值為9.

cos<

|FC|.|ra|-3A/2X73-9

典例5、答案：（1）證明見解析（2）￡

解：（1）證明：在AAB/中，ZFAB=60AF=2,AB=4,由余弦定理知2尸=26,

AB2^AF2+BF2,ABF±AF,

又平面ACR_L平面ABCF,平面ADPc平面ABCP=AF,班'u平面ABCV,

斯_1_平面AD尸.

（2）設。是AF的中點，因為AD=D9=2,ZADF=60,則MD尸為正三角形,

則OOLAb,AF=2,且。。=百，

:平面AZM_L平面ABCF,平面AD尸c平面ABCV=AF,OOu平面ADb,

/.DO_L平面ABCF,/.BF±DO.

由題可知AF=AE=2,ZFAB=6Q,，AAEF為正三角形，/.OE1AF.

以。為原點，。4為x軸，OE為y軸，。。為z軸建立空間直角坐標系，如圖,

則。（0,0,若），E（0,6,0）,C（-2,A/3,0）,F（-l,0,0）,

^DM=ADC（O<A<1）,則DM=（-2A,6九,一下外,

FM=FD+DM=0-24小九小一布入）,DE=?,區-叫,

'：FM±DE,：.FMDE=O,即32—3+32=0,解得4=；.

???當點加為棱OC的中點時滿足題意，即M，

I227

設平面MFE的一個法向量為〃=（x,y,z）,FM=0,*,*,FE=^l,V3,0）,

k227

n.pM=^-y+-z=0

則22，取y=-l,得〃=（"-□）,又平面MC的一個法向量為加=（0,0,1）,

n?FE=x+用y=0

...cos■㈤=與=書，由圖可知，二面角"-即-C為銳角，，二面角M-EF-C的余弦值是中.

網川55

4

拓展練習：答案：（1）證明見解析（2）j

解：（1）設ABAB[=E,則E為四的中點.連結OE,則平面的。|平面4m=。瓦

因為耳C//平面AB。，BjCu平面AB0,平面ABD平面陰。=DE,所以用C//ZJE,

從而。為AC的中點，因此BOJ_AC.

因為A。J_平面ABC,所以BO，4。.因為ACcAQ=。，所以加工平面ACQA.

（2）解法1：以D為坐標原點，￡）8為x軸正方向，|OC|為單位長，

建立如圖所示的建立空間直角坐標系孫z,設=

則A(o,oj),A(O,-I,O),B(A/3,O,O),C(O,I,o),

4(W,故AB=(61,0),AC=(0,2,0),比=卜后1,0),福=(瘋2j),BBi=(0,l,t).

設/=（9，zJ為平面BA耳的法向量貝仁彳二；即蘆慧:;'O'可取上”,-氐國

、rt/\八乙乙、上40ri%'A31=°,rV3x+2y+tz=0,

設〃2=（%，%，Z2）為平面C44的法向量，則““r即19n9_n0

幾2*21€_z—U.—U.

可?。?卜,。'-百）.由勺?%=0可得/=g,所以〃1=（6\-3,也）.

設%=（玉,%/3）為平面C網的法向量，則二/［；，即;：°0可取%

因為3/4）=而；=1,所以二面角A-叫-C的正弦值為sin伍,4）=；

解法2：

在平面。4月內過點C作CPJ.A旦，垂足為尸，因為平面平面CA%

所以CFL平面8A%故由（1）及題設AC,平面AQ8,

所以AC^AB,又ACcCF=C,因止匕AB，平面CAB］，所以ABLA用，因止匕AA=AC.

以。為坐標原點，OB為，軸正方向，|。。|為單位長，建立如圖所示的建立空間直角坐標系M-*,

可知40=可=石，可得A（o,-1,0）,8（出,0,0）,C（0,1,0）(61,句,AB=(收1,0),BC=卜叔1,0),BBi=(0,1,司

m-AB=0,

設加=（百,％,zj為平面AB4的法向量，則,

BB[=0.

n-BC=0,

設〃=（%2，%"2）為平面瓦的法向量，則,

n-BB}=0.

/\m-n3/--\4

因為cos（"2）=扇”=-,，于是二面角A-四-c的正弦值sin（〃z,〃）=不

CF4

所以二面角A-四-C的正弦值sin/FGC

CCJD

典例6、答案：（1）證明見解析（2）存在,且叫與PC所成角的余弦值為筮

解：證明：連接AC,設AD=CD=1,

因為AD_LCD,則AC=JW+CD?=&，且ACO為等腰直角三角形，

因為AD〃3C,則/AC3=NCAZ)=45,

因為3C=2CD=2,由余弦定理可得AB?MAC2+3C2-2AC3CCOS45=2,

所以，AC2+AB2=BC2,則AB1AC,平面ABCD,ABu平面ABC。，:.AB±PA,

QPAIAC=A,..AB工平面PAC,PCu平面PAC,:.AB±PC.

(2)因為平面ABCD,AB1AC,

以點A為坐標原點，AB,AC,”所在直線分別為A八z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

設AD=CD=1,則4(0,0,0)、3(0,0,0)、C(0,72,0),一號,乎,()］、P(0,0,@,

(22)

^PM=APD=一%,*,-低,其中0W2W1,

則AM=AP+PM=--A,—A,A/2-A/2AAC=(0,0,0),

設平面ACM的法向量為〃z=（x,y,z）,

m-AC=y/2