2024年河南省許昌市中考數學一模試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的。

1.（3分）中國是最早使用正負數表示具有相反意義的量的國家.若向東走60米記作+60米，則向西走80

米可記作（）

A.-80米B.0米C.80米D.140米

2.（3分）如圖，是由3個相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖是（）

正面

A_B.I____IC.I____I____D.

3.（3分）正比例函數y=2x的大致圖象是（）

4.（3分）如圖，某人沿路線A-BfC-。行走，4B與CD方向相同，Zl=128°,貝叱2=（）

5.（3分）若關于尤的方程尤2+4x+c=0有兩個相等的實數根，則c的值是（）

A.4B.-4C.16D.-16

6.（3分）如圖，要使平行四邊形A8CD成為矩形，需添加的條件是（）

B

A.AB=BCB.AC±BDC.ZABC=90°D.Z1=Z2

x1

7.（3分）計算?+的結果是（

(%+1)2(x+1)2

11

A.——C.1D.x+1

x+1(%+1)2

8.（3分）2023年11月1日，中國郵政發行《科技創新（四）》紀念郵票一套5枚，將我國取得的5項重

大科技成果的創新點和要素濃縮在小小的方寸之間某中學開展“科技節”活動，要從如圖所示的5個主

題中隨機選擇兩個進行宣講，則選到“人工合成淀粉”和“夸父一號”主題的概率是（）

D.

25

9.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，己知菱形。48c的頂點。（0,0）,A（-4,3）,點B在y軸上,

將菱形0A3C先向下平移3個單位長度，然后在坐標平面內繞原點。順時針旋轉90°,得到菱形。'A'

B'C,其中點C的坐標為（

A.(4,3)B.(0,-4)C.(4,0)D.(3,-4)

10.（3分）如圖1,在RtaABC中，NC=90°,NB=30°,點P從點A出發運動到點B時停止，過點尸

作交直角邊AC（或BC）于點Q,設點尸運動的路程為x,△APQ的面積為y,y與x之間的

函數關系圖象如圖2所示，當x=5時，△AP。的面積為（）

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）若機+1與-2互為相反數，則機的值為.

12.（3分）廢舊電池含有少量重金屬，隨意丟棄會污染環境.有資料表明，一粒紐扣大的廢舊電池大約會

污染水600000L數據600000用科學記數法可表示.

13.（3分）《數書九章》是我國南宋數學家秦九韶所著的數學著作，標志著中國古代數學的高峰.書中記載

有這樣一道題目：糧倉開倉收糧，有人送來米2000石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得300粒米內

夾谷36粒，則這批米內夾谷約為石.

14.（3分）一個滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的半徑是12c7九，當重物上升4TTC機時，滑輪的一條半徑。4

繞軸心。按逆時針方向旋轉的度數.

15.（3分）正方形ABC。的邊長為8,點E在A8邊上，且AE=6,點P是正方形邊上的一個動點，連接

必交DE于點F,若抬=DE,則AF的長為.

三、解答題（本大題8個小題，共75分）

16.（10分）計算：

（1）V8+|-5|-（-l）2024；

（2）（x+2y）（x-2y）-y（3-4j）.

17.（9分）某農業科技部門為了解甲、乙兩種新品西瓜的品質（大小、甜度等），進行了抽樣調查.在相同

條件下，隨機抽取了兩種西瓜各7份樣品，對西瓜的品質進行評分（百分制），并對數據進行收集、整理，

下面給出兩種西瓜得分的統計圖表.

甲、乙兩種西瓜得分表

序號1234567

甲種西瓜75858688909696

（分）

乙種西瓜80838790909294

（分）

平均數中位數眾數

甲種西瓜88a96

乙種西瓜8890b

（1）a=，b=；

（2）從方差的角度看，種西瓜的得分較穩定（填“甲”或"乙”）；

（3）小明認為甲種西瓜的品質較好些，小軍認為乙種西瓜的品質較好些.請結合統計圖表中的信息分別

寫出他們的理由.

18.（9分）如圖，四邊形A8CO是平行四邊形，將團A8CD翻折，使點A與點C重合，折痕與C3交于點E,

與A8交于點F.

（1）請在圖中作出折痕斯；（要求：尺規作圖.不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）求證：CE=AF.

_"_

19.（9分）如圖，一次函數y=-x+6與反比例函數y=1（卜力0）的圖象交于A（2,-1）,2兩點.

(1)求b和左的值；

(2)請直接寫出關于x的不等式-x+6>(的解集；

(3)在反比例函數y=歹的圖象上任取兩點C(xi,yi)和。(%2,y2),若尤1c尤2,試確定yi和y2的大

20.(9分)近日，許昌以其厚重的文化底蘊，吸引了不少外地游客游覽打卡.在曹魏古城景區，游客們穿

上漢服，戴上簪花，穿梭于亭臺樓榭之間，與古城相映成趣.景區內某漢服商店計劃購進一批漢服用于

出租，已知購買1件A型漢服和4件B型漢服共550元;購買2件A型漢服和3件B型漢服共需600元.

(1)求A,8兩種類型漢服的單價.

(2)該商店計劃購買兩種類型漢服共100件，且A型漢服的數量不少于B型漢服數量的2倍.請計算

該商店購買兩種類型漢服各多少件時費用最少.并求出最少費用.

21.(9分)如圖，在△ABC中，以為直徑作半圓。交于點。，且。是A8的中點，過點。作。E

L4c于點E,交CB的延長線于點尸.

(1)求證：是。。的切線；

⑵若F8=3,cos^ACB=f,求CE的長.

22.(10分)如圖，某市青少年活動中心的截面由拋物線的一部分和矩形組成，其中。4=20米，0c=7米，

最高點P離地面的距離為9米，以地面OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸建立平面直角坐標系.

(1)求拋物線的表達式；

(2)暑期來臨之際，該活動中心工作人員設計了6米長的豎狀條幅從頂棚拋物線部分懸掛下來(條幅的

寬可忽略不計)，為了安全起見，條幅最低處不能低于地面上方2米.設條幅與OC的水平距離為根米，

求出機的取值范圍.

23.(10分)問題解決

(1)如圖1,在等邊三角形ABC中，點。，E分別在AC,BC邊上,AE,BD交于點、F,S.AD=CE.則

線段AE,8。的數量關系為,的度數為；

類比遷移

(2)如圖2,△ABC是等腰直角三角形，NABC=90°,點。，E分別在AC,BC邊上，AE,BD交于

點、F,且CE=，L4D.

①判斷線段AE,8。之間的數量關系并說明理由；

②求的度數.

拓展探究

(3)如圖3,△ABC是等腰直角三角形，AB=4,若點。是邊AC上一動點，點E是射線CB上一動點，

在(2)的條件下，當動點。沿AC邊從點A移動到點C(可以與點C重合)時，直接寫出運動過程中

CF長的最大值和最小值.

圖1圖2圖3

2024年河南省許昌市中考數學一模試卷

參考答案

一、選擇題

l.A2.C3.B

4.C【解析】由題意得，AB//CD,.*.Z2=Z1=128O.故選：C.

5.A【解析】A^b2-4ac=42-4X1Xc=16-4c,?方程有兩個相等的實數根，

/.A=0,16-4c=0,解得c=4.故選：A.

6.C【解析】A、是鄰邊相等，可判定平行四邊形ABCD是菱形；B、是對角線互相垂直，可判定平行四邊形

48CD是菱形；C、是一內角等于90°,可判斷平行四邊形A8CZ)成為矩形；D、是對角線平分對角，可判

定平行四邊形ABCD是菱形.故選：C.

7.A【解析】原式=」口=±.故選：A.

8.B【解析】5個主題分別用A、B、C、D、E表示，畫樹狀圖如下：

開始

共20種等可能的結果數，其中恰好選到“A”和“ZT有2種，.?.選到“人工合成淀粉”和“夸父一號”主

題的概率為一=一.故選：B.

2010

9.B【解析】：菱形0ABe的頂點。(0,0),A(-4,3),點B在y軸上，，點A

(-4,3)與點C關于y軸對稱，；.C(4,3),將菱形0ABe先向下平移3個單位長度，此時C(4,0),

然后在坐標平面內繞原點。順時針旋轉90°,得到菱形。'A'B'C,如圖，

10.C【解析】根據圖2知，AB=8,

c

1q

當x=5時，AP=5,BP=3,,:ZB=30°,：.PQ=BPXtan30°=遮，S&APQ=XPQ=|遮，故選：

C.

二、填空題

11-1【解析】根據題意得：m+1-2=0,解得：m—1,故答案為：1.

5

12.6X1()5【解析】600000=6X1()5.故答案為：6xio.

36X

13.240【解析】設這批米內夾谷約為x石，根據題意得，一=——，解得x=240.

3002000

所以這批米內夾谷約為240石.故答案為：240.

14.1200【解析】???滑輪的直徑是12c%,...滑輪的半徑是6cm,設旋轉的角度是w。，

由題意得:囚生=4兀,解得:見=120,.?.滑輪的一條半徑04繞軸心。按逆時針方向旋轉的角度約為120°,

180

故答案為：120。.

15.4.8或5【解析】：正方形A8CD的邊長為8,.?./A8C=/B4C=/AOC=90°,AB=AD=8,當點尸

,JPA^DE,

：.RtAADE^RtADAP(HL),J.ZFAD^ZFDA,：.ZFAE^ZFDP,:正方形ABCD

11

J.AB//CD,:?/FAE=/FPD,：?/FDP=NFPD,：.AF=FD=FP=^AP=^DE,

9：AE=S-2=6,.*.DE=V62+82=10,：.AF=5；當點尸在8C上時，如圖，

同理RtzXAOE以RtZ\8AP(HL),；.NADE=/BAP,VZDAF+ZBAP^90°,/.ZDAF+ZADE^90°,

.?.49=90。，VSA.DE=IADXAE=^DEXAF,：.AF=^=4.8,

故答案為：4.8或5.

三、解答題

16.解:(1)V8+|-5|-(-1)2024

=2+5-1

=6；

(2)(x+2y)(x-2y)-y(3-4y)

—x1-4y2-3y+4/

=x2-3y.

17.解：(1)將甲種西瓜的得分從小到大排列，處在中間位置的一個數是88,因此中位數是88,即。=88,

乙種西瓜的得分出現次數最多的是90分，所以眾數是90,即6=90,

故答案為：88,90；

(2)由甲、乙兩種西瓜得分的大小波動情況，直觀可得S甲2>5乙2,

乙種西瓜的得分較穩定，

故答案為：乙；

(3)甲種西瓜的品質較好些，理由為：甲種西瓜得分的眾數比乙種的高.

乙種西瓜的品質較好些，理由為：乙種西瓜得分的中位數比甲種的高.

18.解：(1)解：如圖，折痕EF即為所求；

(2)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AB//CD,AB=CD,

???NDCB=NBAC,

???即垂直平分AC,

：.OA=OC,AC±EF,

在△EOC與中，

2ECO=Z.FAO

OA=OC，

ZEOC=AFOA

AAEOC^AFOA(ASA),

???CE=AF.

19.解：(1)將點A(2,-1)代入反比例函數y=5和一次函數y=-x+b,

:?k=-2,-1=-2+b,

:.k=-2,b=l；

9

(2)由(1)得反比例函數y=-亍和一次函數>=-x+1,

聯立得-x+1=—|,

解得x=2或x=-1,

：.B(-1,2),

根據圖象可知，A(2,-1),B(-1,2),

當心+時，XVT或0cx<2；

2

(3)Vy=-pZVO,

???反比例函數在第二四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大，

???當<%2<0或0<%1<九2時，yi<y2f

當xi〈0Vx2時，根據圖象可得yi>y2,

綜上所述，當Vx2Vo或0<xiVx2時，yi<y2；當％i〈0Vx2時，yi>y2.

20.解：(1)設A類型漢服的單價為每件1元，5類型漢服的單價為每件y元,

根據題意有:[^+3；=600-

解得:仁黑，

故A類型漢服的單價為每件150元，B類型漢服的單價為每件100元.

(2)設總費用為w,購買B類型漢服。件，則購買A類型漢服為(100-。)件,

且100-心2a,則a<詈，

根據題意有：w=150(100-a)+100〃，

整理得：w=-50。+15000,

-50<0,

???w隨著a的增大而減小，

則當〃取最大值33時，w取的最小值.

當4=33時，100-a=77,

w=-50X33+15000=13350.

故購買5類型漢服33件，購買A類型漢服為77件，總花費最少為13350元.

21.(1)證明：連接O。，CD,如圖1,

：.ZCDB=90°,

■:D為BA的中點，

：.AC=CB,

：.ZACD=/BCD,

???OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

：.ZDCA=ZDCB=ZCDO

：.AC//OD,

VZ)E±AC,

：.EFLOD,

??,0。是。。的半徑，

，即是OO的切線；

(2)解：記AC與。O的交點為“，連接00、CD,BH,BH、0。的交點為G,如圖2,

A

E

FBOC

圖2

??,C8是。0的直徑，

AZAHB=90°,

:?BH〃EF,

'：OD.LEF,

：.OD±BH,

:.BG=HG,

VcosZ-BCA=引

???設CH=2x,CB=5x,

：.BH=7cB2-CH?=V21x,OD=OC=OB=|x,

：.0G=^CH=x,

3

：.DG=0D-OG=^x,

VZEHG=ZHED=ZEDG=90°,

???四邊形OEHG是矩形，

：.EH=DG=|x,

CE=2%+2%=2%，

'CBH//EF,

.CHCB

??二,

EHBF

.2x5x

,?~

-x3

2

??X-q,

.「尸7V414

??CE=2X5=T-

22.解：(1):矩形OA8C,。4=20米，0c=7米，

.?.AB=7米，BC=20米，

：.C(0,7),B(20,7),

拋物線的對稱軸為％=竽=10,

：.P(10,9),

設拋物線的解析式為：y=a(尤-10)2+9,把C(0,7)代入，得：a(0-10)2+9=7,

,1

解得：a=一五，

=一五(尤-10)2+9；

1

(2)由題意，當y=6+2=8時：—五(x—10)2+9=8,

解得：x1=10+5V2,x2=10-5V2,

當時，10—5&WXW10+5e，

10