15.4角的平分線第15章軸對稱圖形與等腰三角形逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2作已知角的平分線過一點作已知直線的垂線角平分線的性質角平分線性質定理的逆定理(角平分線的判定)三角形的角平分線的性質(拓展點)知識點作已知角的平分線知1－講11.角的平分線的作法(1)折疊法：將已知角折疊，使角的兩邊重合，折痕就是角的平分線所在的直線.(2)度量法：用量角器度量已知角的度數，并除以2，再用量角器畫出這個角的平分線.(3)尺規作圖法：保留作圖痕跡，并指出結論.知1－講

知1－講

知1－練例1

解題秘方：利用尺規作圖作兩次角平分線，可得原角的四分之一角.知1－練

知1－練1-1.[期末·池州]如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°.

(1)尺規作圖：作△ABC的角平分線CD，與AB交于點D；(不要求寫作法，保留作圖痕跡)解：如圖，線段CD即為所求.知1－練(2)求∠ACB和∠ADC的度數.解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝40°，∴∠ADC＝180°－60°－40°＝80°.知2－講知識點過一點作已知直線的垂線21.

過直線上一點作已知直線的垂線已知：直線l與直線l上一點A，如圖15.4-3.求作：直線AB，使AB⊥l于點A.知2－講

知2－講2.過直線外一點作已知直線的垂線已知：直線l與直線外一點A，如圖15.4-4.求作：直線AB，使AB⊥l于點B.過直線外一點作已知直線的垂線，其作法類似于線段垂直平分線的尺規作圖法.知2－講

知2－講

知2－練

例2知2－練解題秘方：根據作圖可知BD＝BC，BF⊥CD，再結合等腰三角形的性質求角度即可.知2－練答案：A

知2－練2-1.如圖，已知直線l及直線外一點P，觀察圖中的尺規作圖痕跡，則下列結論不一定成立的是_____.(填序號)①PQ為直線l的垂線；②CA＝CB；③PO＝QO；④∠APO＝∠BPO.③知2－練2-2.如圖，已知直角三角形的一條直角邊m和斜邊n，求作此直角三角形.(要求:寫出已知、求作、結論，并用直尺和圓規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法及證明)知2－練解：已知：線段m和n，如圖.求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AB＝n，AC＝m.結論：如圖所示，Rt△ABC即為所求作的三角形.知3－講知識點角平分線的性質31.

性質定理角平分線上的點到角兩邊的距離相等.角平分線的性質的兩個必要條件：(1)點在角平分線上；(2)這個點到角兩邊的距離即點到角的兩邊垂線段的長度.兩者缺一不可.知3－講2.

幾何語言如圖15.4-6，∵

OC平分∠AOB，P為OC上一點，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，∴PD＝PE.知3－講特別提醒◆角平分線的性質是由兩個條件(角平分線，垂線)得到一個結論(線段相等).◆利用角平分線的性質證明線段相等時，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”而不是“垂直于角平分線的線段”.知3－練如圖15.4-7，∠AOB＝30°，OE平分∠AOB，EF∥OB，EC⊥OB于點C.若EC＝

6，則OF的長是()A.6B.9C.3D.12例3知3－練解題秘方：作垂線，緊扣角平分線的性質和含30°角的直角三角形的性質求解.知3－練解：如圖15.4-7，作EG⊥OA于G.∵OE平分∠AOB，∠AOB＝30°，EC⊥OB，∴∠AOE＝∠BOE＝15°，EG＝CE＝6.∵EF∥OB，∴∠EFG＝∠AOB＝30°.∴

EF＝2EG＝12.∵∠EFG＝∠AOE＋∠FEO，∴∠OEF＝15°＝∠AOE，∴OF＝EF＝12.答案：D知3－練3-1.[期末·滁州]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若DB∶DC＝3∶2，S△ADC＝16，AB＝12，則CD的長為()A.4B.3C.8D.6A知4－講知識點角平分線性質定理的逆定理(角平分線的判定)41.

判定定理

角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.知4－講2.幾何語言如圖15.4-8，∵點P為∠AOB內一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD＝PE，∴點P在∠AOB的平分線OC上.知4－講3.

角平分線的判定定理與性質定理的關系(1)如圖15.4-8，都與距離有關：即條件PD⊥OA，PE⊥OB都具備；(2)點在角的平分線上(角的內部的)點到角兩邊的距離相等.知4－講特別提醒1.使用該判定定理的前提是這個點必須在角的內部.2.角平分線的判定是由兩個條件(垂線，線段相等)得到一個結論(角平分線).3.角平分線的判定定理是證明兩角相等的重要依據，它比利用三角形全等證兩角相等更方便快捷.知4－練如圖15.4-9，BE＝CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE交于點D.求證：AD平分∠BAC.例4解題秘方：利用角平分線的判定定理證明角平分線時，緊扣點在角的內部且點到角兩邊的距離相等進行證明.

知4－練知4－練方法點撥：等線段證角平分線法：要證某線是角的平分線，只需從要證的線上的某一點向角的兩邊作垂線段，再證明垂線段相等即可.這樣把證角平分線的問題轉化為證垂線段相等的問題，體現了轉化思想的應用.知4－練4-1.[期末·淮南]如圖，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACM的平分線相交于點D，連接AD.求證：AD是△ABC的外角∠CAN的平分線.知4－練證明：過D作DE⊥BN于E，DF⊥AC于F，DG⊥BM于G.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，∴DE＝DG，DF＝DG，∴DE＝DF.又∵DE⊥AN，DF⊥AC，∴AD是△ABC的外角∠CAN的平分線.知5－講知識點三角形的角平分線的性質(拓展點)51.性質定理三角形三條內角平分線相交于一點，這點到三角形三邊的距離相等.這一點叫三角形的內心.知5－講2.幾何語言如圖15.4-10，在△ABC中，AD，BM，CN

分別是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分線，AD，BM，CN交于一點O，且點O到三邊BC，AB，AC的距離(OE，OG，OF的長)相等，即OE＝OG＝OF.知5－講要點解讀三角形的三條角平分線相交于三角形內一點，且該點到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內部到三邊距離相等的點是三角形三條角平分線的交點.知5－練如圖15.4-11，在△ABC中，點O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點，AB＋BC＋AC＝30.過O作OD⊥BC于點D，且OD＝3，求△ABC的面積.解題秘方：緊扣三角形內角平分線的性質，關鍵是內心到三邊的距離相等.例5

知5－練知5－練5-1.如圖，有一塊三角形的空地ABC.其三邊長AB，AC，BC分別為30m，40m，50m.現要把它分成面積比為3∶4∶5的三部分種植三種不同的花，請你設計一種方案，并簡要說明理由.知5－練解：方案如圖.分別作∠ABC和∠ACB