13．3等腰三角形第十三章軸對稱13．3.1等腰三角形逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2等腰三角形的定義等腰三角形的性質等腰三角形的判定1.定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.幾何語言：如圖13.3-1，在△

ABC中，∵AB=AC，∴△ABC

為等腰三角形.2.等腰三角形的頂角可以是銳角、直角或鈍角，但底角只能是銳角.根據頂角的大小，等腰三角形可分為等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形.知識點等腰三角形的定義1知1－講特別解讀確定等腰三角形的兩條腰時，應找三角形中相等的兩邊，腰與三角形本身的位置無關.知1－講若某個等腰三角形的兩邊長分別為4和6，求這個等腰三角形的周長.例1解題秘方：根據等腰三角形的定義確定腰和底邊的長，再利用三角形三邊關系進行判斷并計算.特別提醒：等腰三角形的邊分腰和底邊，若沒有說明，則必須分類討論，同時還要注意三角形的三邊關系.知1－練解：∵等腰三角形的底邊長和腰長不確定，∴需分情況討論.第一種情況：當4為腰長時，該等腰三角形的三邊長分別為4，4，6，∵4＋4>6，滿足三角形的三邊關系，∴周長=4＋4＋6=14；第二種情況：當6為腰長時，該等腰三角形的三邊長分別為4，6，6，∵4＋6>6，滿足三角形的三邊關系，∴周長=6+6+4=16.綜上可知，這個等腰三角形的周長為14或16.知1－練1-1.[中考·河北]四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當△

ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為()A.2 B.3C.4 D.5B知1－練1-2.[期末·廣州南沙區]若等腰三角形的周長是28cm，一條邊長為6cm，則它的腰長為______

cm.11知1－練1.性質1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).幾何語言：如圖13.3-2，在△

ABC中，∵AB=AC，∴∠B

＝∠C.必定是銳角特別提醒1.適用條件：必須在同一個三角形中.2.作用：是證明角相等的常用方法，應用它證角相等時可省去三角形全等的證明，因而更簡便.知識點等腰三角形的性質2知2－講2.性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”).特別解讀(1)必須是等腰三角形；(2)必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才相互重合.2.作用：是證明線段相等、角相等、線段垂直等關系的重要方法.3.知道其中“一線”，就可以說明是其他“兩線”.知2－講幾何語言：如圖13.3-3，在△ABC

中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD

平分∠BAC(或BD=CD)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD

平分∠

BAC)；(3)∵AB=AC，AD

平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)．知2－講3.對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸．拓展延伸：等腰三角形的其他性質(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等；(2)等腰三角形兩底角的平分線相等；(3)等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等；知2－講(4)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高；(5)當等腰三角形的頂角為90°時，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個銳角都是45°.知2－講如圖13.3-4，在△ABC

中，AB=AC，AD

平分∠BAC.(1)求∠

ADB的度數；例2解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.由角平分線得到高線解題秘方：緊扣等腰三角形的性質進行解答.知2－練(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度數；

等邊對等角知2－練(3)若BC=3cm，求BD

的長.

由角平分線得到中線知2－練2-1.如圖，在△ABC

中，AB=AC，AD，CE

分別是△ABC的中線和角平分線，相交于點O.知2－練(1)若△ABC

的面積是20，且BC=4，求AD

的長；知2－練(2)若∠B=70°，求∠AOC

的度數.知2－練[中考·北京]如圖13.3-5，在△

ABC中，AB=AC，AD

是BC

邊上的中線，BE⊥AC于點E.求證：∠CBE=∠BAD．例3解題秘方：根據三角形三線合一的性質和同角的余角相等解決問題.知2－練證明：∵AB=AC，AD

是BC

邊上的中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.又∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°.∴∠CBE=90°－∠C，∠CAD=90°－∠C.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD．知2－練3-1.[中考·宿遷]如圖，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求證：∠C=2∠D．知2－練證明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD.∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.知2－練[母題中考·衡陽教材P82習題T6]如圖13.3-6，在△ABC中，AB=AC，D，E

是BC

邊上的點，且BD=CE．求證：AD=AE．例4解題秘方：解題秘方：利用等腰三角形的邊角性質為證明△

ABD和△ACE

全等創造條件，或者作出底邊BC上的高，利用等腰三角形的三線合一性質證明其垂直平分DE.知2－練證法一：∵AB=AC，∴∠B=∠C.在△ABD

和△

ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD=AE．證法二：如圖13.3-6，過點A

作AF⊥BC于點F.∵AB=AC，∴BF=CF.∵BD=CE，∴DF=EF.易知AF垂直平分DE，∴AD=AE．AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，知2－練4-1.[中考·黃石]如圖，在△ABC

中，∠BAC=90°，E

為邊BC上的點，且AB=AE，D

為線段BE

的中點，過點E作EF⊥AE，過點A

作AF∥BC，且AF，EF相交于點F.求證：知2－練(1)∠C=∠BAD；證明：∵AB＝AE，∴△ABE是等腰三角形．又∵

D為線段BE的中點，∴AD⊥BC.∴∠C＋∠DAC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∴∠C＝∠BAD.知2－練(2)AC=EF.證明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∴∠EAF＝∠ABC.又∵∠BAC＝∠AEF＝90°，AB＝AE，∴△BAC≌△AEF(ASA)．∴AC＝EF.知2－練如圖13.3-7，在△ABC

中，AB=AC，點D，E

分別在AC，AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A

的度數.例5知2－練思路引導：知2－練方法點撥：當已知條件中沒有已知度數的角而又要求角的度數時，一般采用方程思想來解決問題.設出要求的角的度數，然后根據等腰三角形的性質以及三角形外角與內角之間的關系，用含未知數的式子表示出一個三角形的三個內角的度數，再利用三角形的內角和等于180°列出方程，求出未知數的值即可.知2－練

知2－練5-1.[新考向知識情境化中考·衢州]“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．知2－練這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O

點相連并可繞O點轉動，C

點固定OC=CD=DE，點D，E

可在槽中滑動.若∠BDE=75°，則∠CDE的度數是()A.60°B.65°C.75°D.80°D知2－練1.判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).幾何語言：如圖13.3-8，在△ABC

中，∵∠B=∠C，∴AB=AC.知識點等腰三角形的判定3知3－講2.等腰三角形的性質與判定的異同相同點：使用的前提都是“在同一個三角形中”.不同點：等腰三角形的性質：兩邊相等→這兩邊所對的角相等.等腰三角形的判定：兩角相等→這兩角所對的邊相等.知3－講特別提醒1.等腰三角形的定義也是一種判定方法.2.“等角對等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法，在證明過程中，經常通過計算三角形各角的度數，或利用角的關系得到角相等，從而得到所對的邊相等.知3－講3.已知底邊及底邊上的高作等腰三角形已知：一個等腰三角形底邊長為a，底邊上的高為h(如圖13.3-9).求作：這個等腰三角形.知3－講作法：如圖13.3-10所示.(1)作線段AB=a；(2)作線段AB

的垂直平分線MN，交AB

于點D；(3)在MN

上取一點C，使DC=h；(4)連接AC，BC，則△

ABC就是求作的等腰三角形．知3－講特別解讀解決復雜作圖題的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.知3－講如圖13.3-11，在△ABC

中，D

為AC

的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F，且DE=DF．求證：△

ABC是等腰三角形．解題秘方：利用“等角對等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形兩個內角相等即可.例6知3－練證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F，∴∠AED=∠CFD=90°.∵D為AC

的中點，∴AD=DC.在Rt△ADE

和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴BA=BC，即△ABC

是等腰三角形．AD=DC，DE=DF，知3－練6-1.[期末·西安雁塔區]如圖，在△ABC

中，∠

ACB=90°，CE是斜邊AB上的高，角平分線BD

交CE

于點M．求證：△

CDM是等腰三角形.知3－練證明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠CBD＋∠CDB＝90°，∠ABD＋∠BME＝90°.∴∠CDB＝∠BME.∵∠BME＝∠CMD，∴∠CDB＝∠CMD.∴CM＝CD，即△CDM是等腰三角形．知3－練尺規作圖：已知線段a(如圖13.3-12)，畫一個底邊長為a，底邊上的高的長也為a的等腰三角形.例7知3－練解：(1)作線段BC=a；(2)作線段BC

的垂直平分線MN，與BC

相交于點D；(3)在MN

上取一點A，使DA=a；(4)連接AB，AC，則△ABC

就是所求作的等腰三角形.如圖13.3-13所示.知3－練7-1.如圖，已知線段a，求作以a

為底，以2a為高的等腰三角形(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡).知3－練解：如圖，△ABC即為所求作的三角形．知3－練等腰三角形等腰三角形兩邊相等性質等邊對等角三線合一判定等角對等邊互逆13．3等腰三角形第十三章軸對稱13.3.2等邊三角形逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2等邊三角形的定義及性質等邊三角形的判定含30°角的直角三角形的性質1.

定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形.知識點等邊三角形的定義及性質1知1－講2.性質(1)等邊三角形的三條邊都相等；(2)等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°；(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對角的角平分線重合，且長度相等.知1－講特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質：1.任意兩邊都可以作為腰；2.任意一個角都可以作為頂角；3.任意一邊上的“三線合一”.知1－講如圖13.3-25，△ABC

是等邊三角形，D，E，F分別是三邊AB，AC，BC

上的點，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，計算△DEF

各個內角的度數.例1解題秘方：緊扣等邊三角形的三個內角都等于60°，求角的度數.知1－練解：∵△ABC

是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，∴∠AED=∠EFC=∠FDB=90°.∴∠ADE=90°－∠A=90°－60°=30°.∴∠EDF=180°－30°－90°=60°.同理可得∠

DEF=∠EFD=60°，∴△DEF

各個內角的度數都是60°知1－練1-1.如圖，△

ABC是等邊三角形，兩個銳角都是45°的三角尺的一條直角邊在BC上，則∠1的度數為_______

.75°知1－練如圖13.3-26，等邊三角形ABC

的邊長為3，D是AC的中點，點E

在BC

的延長線上，若DE=DB，求CE

的長.例2解題秘方：利用等邊三角形“三線合一”的性質將未知線段向已知線段轉化.知1－練

知1－練2-1.如圖，△

ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE=AD，則∠ADE=_______.2-2.如圖，△ABC是等邊三角形，BD

平分∠ABC，點E

在BC

的延長線上，且CE=1，∠E=30°，則BC=________.75°2知1－練[母題教材P83習題T12]如圖13.3-27，△ABC

和△ADE

是等邊三角形．求證：BD=CE．例3解題秘方：利用等邊三角形中邊相等、角相等證明△BAD≌△CAE.知1－練證明：∵△ABC

和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△BAD

與△CAE

中，∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD=CE．AB=AC，∠BAD=∠CAEAD=AE，知1－練3-1.如圖，△ABC

為等邊三角形，D為邊BA

延長線上一點，連接CD，以CD

為邊作等邊三角形CDE，連接AE，判斷AE

與BC的位置關系，并說明理由.知1－練解：AE∥BC.理由如下：∵△ABC與△CDE都為等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠EAC.∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.知1－練1.判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語言：如圖13.3-28，在△ABC

中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC

是等邊三角形.知識點等邊三角形的判定2知2－講2.判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.幾何語言：如圖13.3-28，在△ABC

中，∵AB=AC，∠A=60°或∠B=60°或∠C=60°，∴△ABC

是等邊三角形.知2－講3.證明等邊三角形的思維導圖(如圖13.3-29)知2－講特別解讀1.在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，判定定理2都成立.2.等邊三角形的判定方法：(1)若已知三邊關系，一般選用定義判定；(2)若已知三角關系，一般選用判定定理1判定；(3)若已知該三角形是等腰三角形，一般選用判定定理2判定.知2－講[母題教材P83習題T14]如圖13.3-30，在△ABC

中，AB=AC，∠BAC=120°，點D，E

在BC

上，AD⊥AC，AE⊥AB．求證：△AED

為等邊三角形．例4解題秘方：利用等邊三角形的判定定理1，通過求∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，得△AED

為等邊三角形.知2－練

知2－練4-1.如圖，四邊形ABCD

中，AB∥DC，DB

平分∠ADC，∠A=60°．求證：△ABD

是等邊三角形.知2－練知2－練如圖13.3-31，在△ABC

中，∠A=120°，AB=AC，D

是BC

的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F為垂足.求證：△

DEF是等邊三角形．例5知2－練解題秘方：要證△DEF

是等邊三角形，關鍵是得到DE=DF，且∠EDF=60°，利用全等三角形的性質和等腰三角形的性質即可得出.知2－練證明：∵∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.∴易得∠BDE=∠CDF=60°.∴∠EDF=180°－∠BDE－∠CDF=60°.知2－練∵D是BC

的中點，∴BD=CD.在△BDE

和△CDF

中，∴△BDE≌△CDF(ASA).∴DE=DF.∴△DEF是等邊三角形.∠B=∠C，BD=CD，∠BDE=∠CDF，知2－練方法總結：知2－練5-1.如圖，點D

在線段BC

上，∠B=∠C=∠ADE=60

°，AB=DC.求證：△ADE

為等邊三角形．知2－練知2－練5-2.如圖,在等邊三角形ABC

中，點P在△ABC

內，點Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，問△

APQ是什么形狀的三角形？試說明你的理由．知2－練知2－練

知識點含30°角的直角三角形的性質3知3－講2.作用：應用于證線段的倍分關系和計算角度.拓展：該性質反過來說也成立.在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么它所對的角等于30°.知3－講特別解讀應用此性質，必須滿足兩個條件：1.在直角三角形中；2.有一個銳角為30°.二者缺一不可.知3－講如圖13.3-33，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB

邊的垂直平分線MN

交AB

于點M，交BC

于點N，且∠B=15°，AC=4cm，求BN