11.3多邊形及其內(nèi)角和第十一章三角形逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2多邊形及其相關概念多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.如果一個多邊形由n

條線段組成，那么這個多邊形就叫做n

邊形.知識點多邊形及其相關概念1知1－講2.多邊形的相關概念概念定義圖形邊組成多邊形的各條線段頂點相鄰兩條邊的公共端點內(nèi)角多邊形相鄰兩邊組成的角外角多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角對角線連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段知1－講3.凸多邊形與凹多邊形(本節(jié)只討論凸多邊形)畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形，如圖11.3-1①所示；否則就是凹多邊形，如圖11.3-1②所示.知1－講4.正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.例如正三角形、正方形等(如圖11.3-2).知1－講特別解讀多邊形的三個必要條件：1.線段在“同一平面內(nèi)”；2.線段“不在同一直線上”且條數(shù)不少于3；3.首尾順次相接.正多邊形必備的兩個條件：1.各個角都相等；2.各條邊都相等.說明:若一個多邊形的各個角都相等或各條邊都相等，則它不一定是正多邊形.知1－講特別提醒1.三角形是最簡單的多邊形.2.多邊形用表示它的各個頂點的字母表示時，字母必須按順時針或逆時針的方向排列.知1－講下列說法中，正確的有()①三角形是邊數(shù)最少的多邊形；②等邊三角形和長方形都是正多邊形；③n邊形有n條邊、n

個頂點、n個內(nèi)角和n

個外角；④六邊形從一個頂點出發(fā)可以畫3條對角線，所有的對角線共有9條.A.1個B.2個C.3個D.4個例1知1－練解題秘方：利用多邊形的有關概念進行辨析.解：①三角形是邊數(shù)最少的多邊形，正確；②等邊三角形是正多邊形，但長方形不是正多邊形，錯誤；③n

邊形有n

條邊、n

個頂點、n

個內(nèi)角和2n

個外角，錯誤；④根據(jù)對角線的定義畫出六邊形的對角線可知，從一個頂點出發(fā)可以畫3條對角線，所有的對角線共有9條，正確.答案：B知1－練

知1－練1-1.下列說法錯誤的是()A．五邊形有5條邊，5個內(nèi)角，5個頂點B．四邊形有2條對角線C.連接對角線，可以把多邊形分成三角形D.六邊形的六個角都相等D知1－練1-2.從一個多邊形的一個頂點可引2024條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)是()A.2024B.2025C.2026D.2027D知1－練1.定理：n

邊形內(nèi)角和等于(n

－2)×180°(n≥3).知識點多邊形的內(nèi)角和2知2－講2.公式的證明證明方法圖形證法1從n

邊形的一個頂點出發(fā)可以作(n－3)條對角線，將這個n

邊形分成(n－2)個三角形，這(n－2)個三角形的內(nèi)角和恰好是這個n

邊形的內(nèi)角和，為(n－2)×180°知2－講證明方法圖形證法2在n

邊形內(nèi)任取一點，并把這點與n

邊形的各個頂點連接起來，共構成n個三角形，這n

個三角形的內(nèi)角和為n×180°，再減去一個周角，即可得到n

邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°知2－講證明方法圖形證法3在n邊形的一邊上任取一點，并把這點與n

邊形的各個頂點連接起來，共構成(n－1)個三角形，這(n－1)個三角形的內(nèi)角和為(n－1)×180°，再減去這點處的一個平角，即可得到n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°知2－講證明方法圖形證法3在n

邊形外任取一點O，并把這點與n邊形的各個頂點連接起來，得到以n

邊形的邊為一邊，頂點為O的三角形有n個，這n

個三角形的內(nèi)角和為n×180°，再減去兩個三角形的內(nèi)角和，即可得到n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°知2－講特別解讀1.由n邊形的內(nèi)角和公式(n－2)×180°可知n邊形的內(nèi)角和一定是180°的整數(shù)倍.2.多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和就增加180°.3.多邊形內(nèi)角和問題常通過添加輔助線將其轉化為三角形的內(nèi)角和問題.知2－講

知2－講如圖11.3-3，正五邊形ABCDE中，對角線AC與邊DE

平行，求∠BCA

的度數(shù)例2解題秘方：緊扣多邊形的內(nèi)角和公式及平行線的性質(zhì)求出相關角的度數(shù).知2－練

知2－練2-1.如圖，已知六邊形ABCDEF

的每個內(nèi)角都相等，連接AD．若∠1=48°，求∠2的度數(shù)．知2－練知2－練根據(jù)下列條件求多邊形的邊數(shù)：(1)多邊形的內(nèi)角和是1620°；(2)正多邊形的每個內(nèi)角均為135例3解題秘方：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列出方程求解.知2－練解：設多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：(1)(n－2)×180°=1620°，解得n=11.故多邊形的邊數(shù)為11.(2)(n－2)·180°=135°·n，解得n=8.故正多邊形的邊數(shù)為8.知2－練教你一招：1.已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)n

的方法根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列方程：(n－2)×180°=內(nèi)角和，解方程求出n，即得多邊形的邊數(shù).2.已知正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)k

求邊數(shù)n

的方法根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列方程：(n－2)×180°=kn，解方程求出n，即得正多邊形的邊數(shù).知2－練3-1.已知n

邊形的內(nèi)角和θ=(n－2)×180°.(1)甲同學說，θ能取360°；而乙同學說，θ也能取630°.甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n；若不對，請說明理由.知2－練解：甲的說法對，乙的說法不對．∵n邊形的內(nèi)角和為180°的正整數(shù)倍，360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，∴甲的說法對，乙的說法不對．∵360°÷180°＋2＝2＋2＝4，∴甲同學說的邊數(shù)n是4.知2－練(2)若n

邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法求出x的值.解：依題意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.知2－練1.定理：多邊形的外角和等于360°.多邊形的外角和是由多邊形內(nèi)、外角的關系推導出的，n邊形的外角和等于n×180°－(n－2)×180°=360°.知識點多邊形的外角和3知3－講

知3－講特別解讀1.多邊形的外角和是指每個頂點處取一個外角的和.2.多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)無關.知3－講根據(jù)下列條件解決問題：(1)一個多邊形的各內(nèi)角都相等，已知其中一個外角為72°，求該多邊形的邊數(shù)；(2)已知一個正多邊形的每一個外角都等于30°，求這個正多邊形的邊數(shù).解題秘方：根據(jù)多邊形的外角和定理計算.例4知3－練(1)一個多邊形的各內(nèi)角都相等，已知其中一個外角為72°，求該多邊形的邊數(shù)；解：設該多邊形的邊數(shù)為n.根據(jù)多邊形的外角和為360°，得n×72°=360°，解得n=5．∴該多邊形的邊數(shù)為5.知3－練(2)已知一個正多邊形的每一個外角都等于30°，求這個正多邊形的邊數(shù).解：∵多邊形的外角和為360°，∴360°÷30°=12.∴這個正多邊形的邊數(shù)為12.知3－練4-1.如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A

組成的平面圖形，若∠1＋∠3＋∠5=150°，則∠2＋∠4＋∠6=_______.210°知3－練如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，那么這個多邊形的邊數(shù)是()A.8B.9C.10D.11例5解題秘方：已知多邊形的內(nèi)角和與外角和的關系時，可以利用多邊形內(nèi)角和公式與多邊形的外角和等于36