2025高考數學專項復習函數的綜合應用

（解析版）

函數的綜合應用

【考點預測】

高考中考查函數的內容主要是以綜合題的形式出現，通常是函數與數列的綜合、函數與不等式的綜

合、函數與導數的綜合及函數的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數的性質，把函數

的性質與數列、不等式、導數等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數圖像、最

值和根的分布等基本解法；掌握函數圖像的各種變換形式（如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變

換等）；了解反函數的概念與性質；掌握指數、對數式大小比較的常見方法；掌握指數、對數方程和不等

式的解法；掌握導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導數的定義、求導公式與求導

法則、復合函數求導法則及導數的幾何意義,特別是應用導數研究函數的單調性、最值等.

【題型歸納目錄】

題型一:函數與數列的綜合

題型二:函數與不等式的綜合

題型三:函數中的創新題

【典例例題】

題型一:函數與數列的綜合

例1.（2022?浙江?效實中學模擬預測）已知數列｛飆｝滿足a】=1,e。向=2——CN+）,其中e是自然

an?1

對數的底數，則（）

，

A.0VQ-2022V4043B4043<a2022<2022

C<a

-2?22<lD.1V。2022V2

Q

例2.（2022.遼寧?東北育才學校二模）已知數列｛J滿足0VQiV0.5，an+1=an+In（2-an）,則下列說法

正確的是（）

A.0VQ2022V0.5B.0.5V@022V1

C.1VQ2022Vl,5D.1.5V@2022V2

例3.（2022.浙江紹興.模擬預測）已知數列｛冊｝滿足/=普，冊+I+COSM-強=0,則下列說法正確的是

()

B.an+l一■￡一1

D.an+1—~^-an>卷—1

兀2

例4.（2022?浙江?慈溪中學模擬預測）已知數列｛冊｝滿足：出=—5,且即+1=111（冊+1）—團11冊,則下列

關于數列｛%｝的敘述正確的是（）

2

A.Q^+iB.—-—-jrC.an+1>—9D.%W-4271-1

乙4Q*zi-i乙

例5.(2022?遼寧?二模)已知等差數列｛冊｝的前幾項和為S”,滿足sin(a3—1)+2<i3—5=0,sin(a9—1)+

2a9+1=0,則下列結論正確的是()

A..Su—11,Q3Q9B.Su—11,。3@9C.S]_i=22,Q3D.Su—22,。3。9

例6.（2022.上海.高三專題練習）若等差數列｛an｝的公差dV0,令函數力（6）=限—Q/+Q,,列M=

min｛力（立）,…九㈤｝，（其中i=1,2,…九）,則下列四個結論中:①g（c）=f,<x）；②g（x+d）=g（rc）+d；

③九（2+d）=力_1（力）+d；④9max（工）=&；⑤9min（工）=與；錯誤的序號是.

【方法技巧與總結】

利用函數與數列知識的相互聯系、相似性質:

（1）抽象函數的關系與數列遞推關系式類似.

（2）函數單調性與數列單調性的相似性.

(3)數列與不等式的綜合可以利用數列的形式構造輔助函數，利用函數的性質證明不等式，因此解決

數列問題可轉化為函數問題，用函數的知識或方法解決.

題型二:函數與不等式的綜合

例7.(2022?全國.模擬預測)已知函數/(,)是定義域為五的函數，/(2+/)+/(—,)=0,對任意為,

t2C[1,+8)(電<電)，均有/(入2)—/(a?i)>0,已知a,b(aKb)為關于x的方程爐一2c+廿-3=0的

兩個解，則關于t的不等式/(a)+/(6)+/(i)>0的解集為()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

例8.(2022?海南?模擬預測)已知函數/(①)=廠",,若關于①的不等式①+7n

[2\x\—2,cW1

(X)<x+m+l有且僅有兩個整數解，則m的取值范圍是.

例9.(2022?全國?高三專題練習)不等式(/_1嚴】+/。。2+2/-1wo的解集為：

例10.(2022?四川遂寧?三模(文))德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學屆的王子，19歲的高斯

得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》，在其年幼時，對1

+2+3+…+100的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈

現一定的規律生成，因此,此方法也稱之為高斯算法，現有函數/Q)=」,設數列｛冊｝滿足冊=

2+V2

2

/(0)+/(/)+/(￡)+…+AD伍CN*),若存在nEN*使不等式n+4n-2kan+27W

0成立，則k的取值范圍是

【方法技巧與總結】

不等式問題轉化為函數問題是靜態轉化為動態，常量轉化為變量，這體現了函數思想，并能用函數的

圖像及性質解答.

題型三:函數中的創新題

例11.(2022?全國?高三專題練習)定義兩個函數的關系：函數口3),打(①)的定義域分別為48,若對

任意的gCA,總存在gCB,使得小⑶)="㈤)，我們就稱函數小3)為打㈤的“子函數”.已知函

數/(c)=Vx+1—^-ln-y,g(c)=x4+ax3+bx2+ax+3,a,bER.

⑴求函數/Q)的單調區間；

⑵若f(x)為g(x)的一個“子函數”，求a?+〃的最小值.

例12.（2022.上海.高三專題練習）若存在常數>0）,使得對定義域D內的任意為,22（4豐電），都

有Lf（g）—山—村成立，則稱函數/（力）在其定義域。上是"—利普希茲條件函數”.

（1）若函數/（⑹=府,（1</W4）是q-利普希茲條件函數”,求常數k的最小值；

（2）判斷函數/@）=k）g2力是否是“2—利普希茲條件函數”，若是,請證明，若不是,請說明理由；

（3）若夕=/位）①CR）是周期為2的“1—利普希茲條件函數”，證明:對任意的實數如附都有

1/（◎）一/（互）|WL

例13.(2022.上海.高三專題練習)對定義域Df,Dg的函數y=f(x),y=g(c)，規定：

f(x)g(x),xEDfC\Dg

函數八(i)=<f(x)9xEQ且力0Dg

g{x),x0且xEDg

(1)若函數/(i)=J1,g(/)=",寫出函數無(力)的解析式；

(2)求問題(1)中函數從力)的值域；

(3)若g(力)=/(6+a),其中a是常數，且aG[0,兀],請設計一個定義域為R的函數夕=/(7)，及一個

a的值,使得八(1)=cos4M并予以證明.

例14.（2022.上海.高三專題練習）對于函數/（力）（4G。），若存在正常數T,使得對任意的土C都

有/（re+T）>/（協成立，我們稱函數/（①）為"T同比不減函數”.

⑴求證:對任意正常數T,/（/）="都不是"T同比不減函數”；

⑵若函數/㈤=皿+simc是同比不減函數”,求k的取值范圍；

（3）是否存在正常數T,使得函數/（力）=/+上-1|—+1|為"T同比不減函數”，若存在，求T的取

值范圍;若不存在,請說明理由.

【方法技巧與總結】

緊扣題目中所給的信息和對已知條件的解讀理解，將其轉化為已有的認知結構，然后利用函數性質解

【過關測試】

一、^^8

1.（2022?全國?高三專題練習）已知函數加）=|?希—ac—小若對任意的實數a,b,總存在gC[-1,

2],使得成立，則實數小的取值范圍是（）

A.（一8,十]B.（—8,：]C.（―D.（―0°,1]

2.（2022?全國?高三專題練習）若定義在丘上的函數/（力）滿足/（/）+/（2a—,）=2b,則其圖象關于點

（a,b）成中心對稱.已知：函數則函數/（①）圖象的中心對稱點是（）

4+1

A.（0,1）B.（y,l）C.（1,0）D.（1,^）

歸一品,x<i

3.（2022.全國?高三專題練習）已知函數/（力）=<，若函數g（c）=—rc+m（m>0）與

log2（a:+y）,x>l

y=fa）的圖象相交于4,B兩點，且_A，8兩點的橫坐標分別記為判，電,則g+g的取值范圍是

A.B.[log23,1-）C.D.[log23,3]

4.（2022.全國.高三專題練習（理））已知/位）是定義在7?上的奇函數，對任意兩個不相等的正數都

22

M（右）一口1/（。2）/（4°-）/（0.4）=434則

有V0,記a=4°-2,b

0一±2

A.cVbVaB.aVbVcC.a<c<feD.c<b<a

5.（2022.全國?高三專題練習）關于函數/（/）=sin|rc|+|sina;|有下述四個結論:

①/Q）是偶函數

③/（⑼在[—兀，兀]有4個零點④/3）的最大值為2

其中所有正確結論的編號是

A.①②④B.②④C.①④D.①③

6.（2022?全國?高三專題練習）已知函數/（豈）=2尤+十?，W2）的圖象上存在點P,函數。㈤=加

—3的圖象上存在點Q,且PQ關于原點對稱，則實數a的取值范圍是（）

A.[—4,0]B.C.[0,4]D.

7.（2022?天津一中模擬預測）已知a>1,且函數/（①）=2\x2—x+a\+\x2—4：x+a\.若對任意的xE

（l,a）不等式/位）>（a—1）久恒成立，則實數a的取值范圍為

A.（1,9]B.（1,25]C.[4,25]D.[4,+<?）

8.（2022?全國?高三專題練習（文））設函數/（①）=e“（2t—1）—ac+a,其中a<l,若存在唯一的整數

使得/（g）<0,則a的取值范圍是（）

二、多選題

9.（2022?浙江嘉興?高二期中）對于定義域為。的函數/（c）,若存在區間[小,汨同時滿足下列條件:

①/（⑹在[m,n]上是單調的;②當定義域是[m,n]時，/（/）的值域也是[巾，汨，則稱[m,n]為該函數

的“和諧區間”.下列函數存在“和諧區間”的是（）

A./(a?)=2xC.f(x)=X2—2XD.f(x)=In/+2

10.（2021?福建福州?高一期末）設計算機程序中的命令函數表示不超過①的最大整數，例

如：/NT（—2.1）=—3,/NT（1.2）=l.若函數/Q）=<P°g"',、”>°（a>0,且a￥1）,則下列說法

[x-INT{x）,/40

正確的是（）

A./3）在區間（—8,0]上為單調函數

B.f（x）在區間（—8,0]上不存在最大值

C./Q）在區間[-4,4]上有5個零點

D.若/Q）的圖象上至少存在4對關于坐標原點對稱的點，則0<aV

O

11.（2021?全國?高一單元測試）數學的對稱美在中國傳統文化中多有體現，譬如如圖所示的太極圖是由黑

白兩個魚形紋組成的圓形圖案,充分展現了相互轉化、對稱統一的和諧美.如果能夠將圓的周長和面

積同時平分的函數稱為這個圓的，，優美函數”，下列說法正確的是（）

A.對于任意一個圓，其“優美函數”有無數個

B./（，）="可以是某個圓的“優美函數”

C.正弦函數夕=sine可以同時是無數個圓的“優美函數”

D.函數y=/（c）是“優美函數”的充要條件為函數y=/（c）的圖象是中心對稱圖形

12.（2020?重慶市秀山高級中學校高三階段練習）設[句表示不超過力的最大整數，給出以下命題,其中正

確的是（）

A.若:EiW電,則[刈]&[g]

B.[Igl]+[lg2]+[lg3]+...+[lg2020]=4953

C.若Q0,則可由陽同=[￡|解得」的范圍是信,l）u哥，兀]

D.若/（⑼=-^―-4,，則函數[/（⑼]+"（—/）]的值域為{-1,0}

1+22

2n

13.(2022.全國?高二課時練習)已知函數/(力)=力(6一1)(①一2)…(X—n+1)=axx+a2x-\--\-anx,

2

g(x)=f(x)(x—n)=bi3+b2x-\■…+bec，其中nEN*,gGR(i=1,2,…,n),biG

2n-1

R(i=l,2,--,n+1)，則tti+a2H---Fan=，6i+nb2+nb3+--n6n=.

三、填空題

14.（2022?全國?高三專題練習）已知函數/（①）=,+1,給出下列命題:①存在實數a,使得函數0=/@）

+f（x—a）為奇函數;②對任意實數a,均存在實數m,使得函數g（/）=/（/）+/Q—a）關于rr=m對

稱;③若對任意非零實數a,/（力）+f（x-a）＞k都成立，則實數k的取值范圍為（-8,4］；④存在實數

k,使得函數沙=f（x）+/（T-a）-fc對任意非零實數a均存在6個零點.其中的真命題是

.（寫出所有真命題的序號）

15.（2022?全國?高三專題練習）已知P是曲線G：y=2：3—KV—w毋）上的點，Q是曲線4上的點，

曲線G與曲線4關于直線夕=2/+4對稱，M為線段PQ的中點，。為坐標原點，則|的最小值

為.

16.（2022?全國?高三專題練習）若,）=卜—a卜*3a|,且工€［0,1］上的值域為則實數a的

取值范圍是__________________

17.(2022?全國?高三專題練習)設a,b,。為實數，/(力)=(x+a)(x2+bx+c),g(/)=

(ax+1)(ex2+bx+1),記集合S={x\f(x)=0,xER},T={x\g(x)=0,xGR},若|S|,|T|分別為

集合S,T的元素個數，則下列結論可能成立的是

18.(2022.全國?高三專題練習)已知定義域為R的奇函數/(%)滿足+1)=/(3—力)，當/G(0,2］時,

f(x)=一/+4,則函數g=/(力)—a(aER)在區間［—4,8］上的零點個數最多時，所有零點之和為—

函數的綜合應用

【考點預測】

高考中考查函數的內容主要是以綜合題的形式出現，通常是函數與數列的綜合、函數與不等式的綜

合、函數與導數的綜合及函數的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數的性質，把函數

的性質與數列、不等式、導數等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數圖像、最

值和根的分布等基本解法；掌握函數圖像的各種變換形式（如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變

換等）；了解反函數的概念與性質；掌握指數、對數式大小比較的常見方法；掌握指數、對數方程和不等

式的解法；掌握導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導數的定義、求導公式與求導

法則、復合函數求導法則及導數的幾何意義,特別是應用導數研究函數的單調性、最值等.

【題型歸納目錄】

題型一:函數與數列的綜合

題型二:函數與不等式的綜合

題型三:函數中的創新題

【典例例題】

題型一:函數與數列的綜合

1

例1.（2022.浙江.效實中學模擬預測）已知數列｛飆｝滿足a】=1,e。向=2—（71CN+）,其中e是自然

冊+1

對數的底數，則（）

B，<a2022<

A.0<<12022(404340432022

C

-2(^2<a2022<l

D.1<&2022<2

【答案】B

【解析】利用不等式e”＞2+1可得2----p＞&i+i+1,即一-------—＞1,由累加法可得冊＜工，利

用不等式行★白二可得2-丁丁＜1，即—一—；＜2,同理用累加法可得冊＞鵬丁,

-

■1XCLnr1J-^n+1Q/i+1/幾工

則可J＜冊＜占,即可求解?

271—1TI

【詳解】

x

e^x+1(當2=0時等號成立)，.?.6%+1>冊+1+1,

fln+1

當時>0時，e=2---->1nan+1>0,即。i=l>0na九>0,

冊十J-

fln+1an+11

則e>a+1,e=2—>Qn+l+1,

n+1冊+1

整理得ca；1>an+i,即------；>1，

'J-0九+1CLn

口clIjl11、1

即------->1,-------->1,…，---------->1,

電Qi03電Gnan_1

將n個不等式相加得」---L>?i—1,即」->以Q九〈工，

Qia?in

令/O）=e"l一C）一1,則廣㈤=一跣，,

當a?<0時,—>0,當力V0時，/（/）<0,

則/&）在（一8,0）上單調遞增，在（0,+8）上單調遞減，即/（力）在力=0出取得最大值,

于（X）4（0）=0,所以e"（l—/）—140（當力=0時等號成立）,

當nvi時，6y]]I（當/=。時等號成立），

即當幾>]時，ea,,+i<-z----,2-----J-T-<-----,1-----3TTV1—-----1,

-L—Cln+1Q”,十’—Qyi+1Qn十工1—QTZ+1

Qn—Qn+1072+1、1—^n+1口,11/G

I-i-i___,v*/,

。九十，J--a^i+iQ^+iQn+iQn

同理利用累加法可得」——L〈2（71—1）,即冊>0,

CLfiQ*i/77/J.

所以2n-l則4043<a-2022<2022,

故選：B.

例2.（2022?遼寧?東北育才學校二模）已知數列｛%｝滿足0<%<0.5,a“+i=an+ln（2-a?）,則下列說法

正確的是（）

A.0VQ2022Vo,5B.0.5<Q2022Vl

C.1VQ2022Vl,5D.1.5VQ2022V2

【答案】B

［解析】利用Incw/一1可得MV1,且數列｛冊｝是單調遞增數列，得出0VQ九V1,利用導數可得

g（x）=C+ln（2—c）,0V/V1在（0,1）單調遞增，即可得出當九>1時，ln2<an<1,即可求解.

【詳解】

令/（%）=Inx—x+l,rc>0,則/'（2）=1力力,

由f<x）>0得OVirVl,由f（x）V0得①>1,

所以/（力）在（0,1）單調遞增，在（1,+8）單調遞減，所以/（%）4/⑴=0,

所以\nx^x—1,

所以冊+i=%+ln（2—al<an+（2—an—1）=1,當且僅當an=1時等號成立，與已知矛盾，所以“

<1,

則冊+1—0九=ln（2—冊）>lnl=O,所以數列｛冊｝是單調遞增數列，所以0<為<1,

令g(6)—x-\-ln(2—c),0VrrV1,則g'(x)=1+—>0,

/x

所以g?在(0,1)單調遞增,則a2=g(aj>g(0)=ln2,

所以當九>1時，hi2VQ九V1,因為ln2>0.5,所以0.5V冊V1,所以0.5<Q2022V1.

故選：B.

例3.（2022.浙江紹興.模擬預測）已知數列｛%｝滿足/=苧，M+1+COSM—*=0,則下列說法正確的是

（）

A之?兀

B.an+1—■去成>￡—1

A.an+1—an^^

C.a—2彳與—V2

n+1D.an+1--^-an>卷—1

兀27T2

【答案】D

【解析】將已知等式化為Q九+1一堂=5111@—爰），根據/（力）=x-sinx的單調性和/（。）=0,可得國

>|sinrr|,由此可化簡得到田4“4牛;分別構造函數①⑻=^--cosx—x>g2（x）=y—cosx—

42、g3（/）=^--cosx-g4（x）=］一COSN—W%,利用導數可求得各個函數在［千，亨］上

的單調性,進而根據單調性得到最值,從而判斷出各個選項的正誤.

【詳解】

..I7T_c.兀____

?o^n+i+cosan—=0,..an+1—工=—cosan=sm

令于(x)=x—sinx,貝ijf'(x)=1—cosx>0,

（/）在R上單調遞增，又/（0）=0,\x\>|sinrc|,

71

??Qn+i冊一引,

7TI，|a-f兀|<|a-y7t一用《鼠T—當7T

23222I'2r

冊一受|W卜］一=￡，解得：￡Wa”W苧;

2NIIN2I仕仕24fc

兀

對于A,an+1—dn~~2cos冊一冊,

令S(c)="|—cosc—c,則g\(x)=sinc-1&0,，gi(力)在R上單調遞減,

《冊《普，，91(冊))9i(苧)一卷，入錯誤;

對于8,an+1—■cosan一■,

2f

令§2(力)二5—cosx—^-x,則g2(a?)=sinre—x,

令M力)=g'(■,則hf(x)=cos6一140,

g'z（x）在R上單調遞減，又g’2（0）=0,

.?.當ze（—8,0）時，g依）＞0;當①e（o,+oo）時,^（x）＜0；

；?。2（龍）在（-00,0）上單調遞增，在（O,+8）上單調遞減，

=

mWa“W當，,g2（an）^~~~轟〈*-1,B錯誤；

，+中c2叵_兀2V2_

對于。，an+1----cosan---an,

令g3（1）="|—cos力—2^^-力,貝ijg\（1）=sinx_2y,

令T7i（2）=g\（c）,貝"m!（x）=cos/,

當力6［字專）時,M㈤＞0；當①￡傳,與］時,加（力）＜0；

.?.成⑻在信受）上單調遞增，在管，當］上單調遞減，

又正），等＞。,。若）=*T＜。,。代上浮等＜。，

-'-3xie傳奇），3曲管，普），使得g’3（g）=9'3（電）=0,

二弟㈤在［y,a;i）,（①2,普］上單調遞增，在（如62）上單調遞減,

-1?生⑶）＞例傳）=號-V2,,/春Wa^W苧，a”C如片），使得鼠外）＞等一鼻,C錯誤；

，+中n2—兀2

對于。，an+1--an=y-cosan—-an,

令W（N）="-cosx—■力，則gZ（c）=sinx--1-,

當力G［9,竽］時，sinxEAsimr-1＞0,即g‘4?＞0,

.?j⑺在［字苧］上單調遞增，

苧，g4gn）＞g（￡）=專—五21＞*-1,D正確.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數求解函數最值的問題，解題關鍵是能夠根據㈤＞忖也⑹的特

點，構造不等式求得時的取值范圍，進而可以通過構造函數的方式，將問題轉化為函數最值的求解問

題,從而利用導數來進行求解.

例4.（2022.浙江?慈溪中學模擬預測）已知數列｛冊｝滿足：電=—4,且為+1=111（冊+1）—近11冊,則下列

關于數列｛%｝的敘述正確的是（）

B.—^-<a<-]嗽2

A..a九〉*。九+1nC.冊+i>—_

Q九十2D.冊<^_2n-l

【答案】D

【解析】構造函數/(力)=In(re+1)—sinx(—1W/V0),由導數確定其單調性,從而利用數學歸納法

證明一九V0,然后構造函數。(2)=/(力)一/=ln(力+1)—sin/一力(一^■</<()),利用導數證

明gQ)>0,得/㈤>應利用此不等式可直接判斷4對選項由數列｛QJ的單調性與有界性知其

極限存在，設lima=A,對數列的遞推關系求極值可得A=0,從而判斷8,對選項C,引入函數設p

7278n

3)=In(力+1)---竽萬(一1V/V0),由導數證明p⑸V0,得ln(力+1)<(―1V1V0),從而

利用不等式性質得出數列｛aJ的不等關系，判斷。，利用判斷選項。所得正確不等式變形，并換元引

入新數列b=--,得｛鼠｝前后項關系(求對數再變化)，類比等比數列的通項公式的方法得出結論

n源

后判斷Z).

【詳解】

首先我們證明：一Jw源vo,利用數學歸納法.

事實上，當九=1時，一［WaiCO;

假設當n=k時，一則當n=k+1時，ak+1=ln(ak+1)—sinafc.

設函數/(力)=ln(c+l)—sin/(―gV0),則/'(2)=力；1一cosN>0,則于(x)在［―p0)上單

調遞增，

從而一+sin-1-=/(―^ak+1=f(ak)</(0)=0.

當一V0時，設g(g)=f(x)—x—ln(x+1)—sin2——rr<0),

則g'(c)—cos力-1,設h{x)=g'(R)—cosx—1,

x+1x+1

1

hf(x)+sinre

(6+1)2

所以存在gG(-go),使得g'(g)=o,-y<x<xQ時，g'Q)>0,gVcV。時，g'3V0,

故g(c)在［—~^-,0)上先增后減，從而g?>min{g(0),g(一~^)}=0,從而/(1)>x.

對于A選項：由于一^-<an<0,an+i=ln(an+1)—sinan>an,故數列｛冊｝單調遞增，選項A錯誤.

對于石選項，由于｛冊｝單調遞增且一?1■&&<(),從而岫Q九=_4存在，由an+i=ln(an+1)-sinan>

冊可得Z=lnG4+1)—sinA,故>1=0,從而liman=0.故選項B錯誤.

TZ78

對于C選項，由于一1V2Vo時，

設0(/)=ln(x+1)—(―1<a?<0),p\x)=>0,

6+2力+i3+2)23+I)Q+2)2

所以0(力)是增函數，p(c)Vp(O)=0,所以ln(i+1)<(―1<rr<0),

0<￡C<1時，/>sin/,因此有sin力>%(1V/V0),

從而于(X)=ln(力+1)—5由為〈二^一/=二^7,故冊+i=ln(Q九+1)—sinan<―甥■，故選項C

錯誤.

對于。選項，由于an+1<-V0,即。>J>—―[，令與=一；，則—'+1>bn—2次，即

tt

為十/n+iananan

bn+i<2b之—bn<2bl—b九+、■=2(b九一十)，其中24勾Vbn+1,故lnbn+1<ln2+21n(bn—:)<ln2+

21116,從而lnb+ln2<2(lnb+ln2),即lnfe+ln2<2kl(inbi+ln2),2b<4’,即——<4*

nn+1nnHQn

9

故冊V—為R.從而選項。正確.

42

故選：D.

【點睛】難點點睛：本題考查數列的性質，難度很大，解題難點在于有關數列的不等關系，一是用數學歸

納法進行證明，二是需引入函數，利用導數研究函數的單調性，從而得出數列的不等關系，考查了學生

的邏輯能力，運算求解能力，屬于困難題.

例5.(2022?遼寧?二模)已知等差數列｛an｝的前n項和為Sn，滿足sin(a3-l)+2a3-5=0,sin(a9-l)+

2a9+l=0,則下列結論正確的是()

A..Su=11,CL^QgB.Su=11,(z>3dgC.Su---22,Q3a。D.Su22,CL^'^>CLQ

【答案】B

【解析】把已知等式變形為sin(a3-1)+2(。3—1)—3=0,sin(l—a9)+2(1—西)-3=0,構造函數

f(x)=sinc+26一3,可知。3—1和1一。9是函數/(2)的零點，故利用導數研究其/(1)單調性并研究

其零點，結合函數零點存在性定理求得的，。9的關系，再利用等差數列的性質與求和公式即可求解.

【詳解】

—

sin(a31)+2a3—5=0,sin(a9—1)+2a9+1=0

:.sin(a,3—1)+2(03—1)—3=0,sin(l—QJ+2(1—CLQ)—3=0

令/(力)=sin6+2c—3,即g一1和1一。9是函數/(力)的零點

Vf(x)=cos/+2>0,故/(比)最多有一個零點

.*?Q3—1=1—Qg,。3+。9==2

,c_11(?+an)_ll(a3+a9)_

,,22工工

又,."(]_)=sinl—1<0,J(2)=sin2+1>0,

.二1VQ3—1=1—Q9V2,

2VQ3V3,-1VQ9V0,；?。3>Q9.

故選:B

例6.(2022.上海.高三專題練習)若等差數列{%}的公差dV0,令函數力(，)=\x-a{\+a”g(x)=

min{/i(c),…九(土)},(其中i=1,2,…山)，則下列四個結論中：①g(z)=九(4)；②g(c+d)=gQ)+d；

③九(C+d)=九—13)+d；④OmaxQ)=；⑤OminQ)=%；錯誤的序號是.

【答案】②④

【解析】不妨取出=-l,d=-1,則f<x)=上+i|—i過原點，且y=fn(x)在最下方，根據性質逐項判

定，即可求解，得到答案.

【詳解】

不妨取ai=-l,d=-1,則力㈤=|c+i]-i過原點，且“=九㈤在最下方，

可得①中，函數g(x)=fn(z)是正確的；

②中,g(x+d)=fn(x—1)=|T—1+n|—n,g(x)+d=\x+n\—n—l,

所以g[x+d)Wg[x}+d,所以不正確；

③中,fn(x+d)=f(x—1)=|a;—1+n|—n,fn-^x)+d=|x+n—1|—(n—1)—1=|T—l+n|—n,

所以f<x+d)=于,“X)+d,所以是正確的；

④中，由g(H)=九(/)=也+卻一71,函數9(力)無最大值，所以9max㈤=%不正確；

⑤中，函數力(①)=|①+旬一71,所以當2=一八時，函數/n(c)取得最小值一九=為，

即函數gminQ)=M，所以是正確的.

故答案為：②④.

【點睛】本題主要考查了等差數列的性質，以及函數的基本行性質的應用，其中解答中認真審題，合理

利用題設條件，構造新函數，逐項判定是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中

檔試題.

【方法技巧與總結】

利用函數與數列知識的相互聯系、相似性質：

(1)抽象函數的關系與數列遞推關系式類似.

(2)函數單調性與數列單調性的相似性.

(3)數列與不等式的綜合可以利用數列的形式構造輔助函數，利用函數的性質證明不等式，因此解決

數列問題可轉化為函數問題，用函數的知識或方法解決.

題型二:函數與不等式的綜合

例7.(2022?全國?模擬預測)已知函數/(⑹是定義域為R的函數，/(2+/)+/(—.)=0,對任意傷,

力2C[1,+8)(力1<g)，均有f(x2)—/(血)>0,已知a,b(aj^b)為關于x的方程/一2/+/―3=0的

兩個解，則關于t的不等式/(a)+/(&)+/(t)>0的解集為()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由題可得函數/(，)關于點(1,0)對稱，函數/(力)在A上單調遞增,進而可得/⑴>0=/(1),

利用函數的單調性即得.

【詳解】

由/(2+x)+/(—立)=0,得/(1)=0且函數/(土)關于點(1,0)對稱.

由對任意①1,X2E[1,+8)(/1〈電)，均有/(42)-/(◎)>0,

可知函數/(工)在[1,+°°)上單調遞增.

又因為函數/(c)的定義域為R,

所以函數f(6在R上單調遞增.

因為a,b(a#b)為關于/的方程d—2/十廿一3=0的兩個解，

所以A=4—4(/一3)>0,解得-2〈力V2,

且0+6=2,即b=2—Q.

又/(2+工)+/(—*)=0,

令rr=-a,則/(a)+/(b)=0,

則由/(a)+f(&)+/(i)>0,得/⑺>0=/(1),

所以

綜上，力的取值范圍是(1,2).

故選：D.

(I]n(x_])I]3

例8.(2022.海南.模擬預測)已知函數/(2)=111"，若關于/的不等式/+小</

[2團—2,tW1

(⑼</+m+1有且僅有兩個整數解，則ni的取值范圍是.

【答案】[―3+ln2,-2)

【解析】令9(①)=/(①)一小討論9(立)的單調性，分析畫出函數的圖象，由—cc<?7z+l可知

—3+ln24TTIV—2.

【詳解】

關于力的不等式力+mV/(i)<x-\-m+l有且僅有兩個整數解，轉化為m<f(G—/Vm+l有且

―3x-2,化40

x—2,0V/W1

僅有兩個整數解，令g(/)=/(2)X—<

—In(a;-1)—0；,lVc42’

ln(rc—1)—x,2V/43

當2V/W3,g(/)=ln(x-l)-x,g'(x)=一］=<0,所以g(2)在(2,3］上

?丁JU_LJUJ_=J:u二.L:

單調遞減，同理已知g(i)在(—8,0],(1,2]上單調遞減，在(0,1]上單調遞增，且g(0)=—2,g⑴=

—l,g(2)=—2,g(3)=ln2—3,g(x)的圖象如下圖，而y=m,y=m+1的距離為1,即在y=m,y=m

+1之間有且僅有兩個整數解，所以一3+ln2Wm<—2,則m的取值范圍是：［—3+ln2,-2).

故答案為：［—3+ln2,-2).

例9.(2022?全國?高三專題練習)不等式(/_1)1。11+工2。。2+2/—iwo的解集為：

【答案］［—苧，掾］

【解析】將不等式化為(rc2)1011+x2<(1—/2)i°n+1一心構造/(力)=dn+c根據其單調性可得力

1一求解即可.

【詳解】

不等式變形為("一l)1011+rr2-l+(x2)1011+d&0,

所以(a:2)1011+a;2<(1—rr2)1011+l-rr2,

令/(力)=+/,則有/(")</(1一x2),顯然/(2)在R上單調遞增，

則力2&1—22,可得224,解得—,《力V

故不等式的解集為

故答案為：［—卒，乎］

例10.(2022.四川遂寧.三模(文))德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學屆的王子，19歲的高斯

得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》，在其年幼時，對1

+2+3+…+100的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈

現一定的規律生成,因此,此方法也稱之為高斯算法，現有函