第二十八章

圓28.2過三點的圓1課堂講解2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升確定圓的條件三角形的外接圓

問題1：小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是哪一塊？

問題2：玻璃店里的師傅，要劃出一塊與原來大小一樣的圓形玻璃，他只要知道圓的什么就可以了？為什么？

問題3：如果店里師傅僅僅知道圓的半徑，他可以畫出多少個這樣的圓？為什么？1知識點確定圓的條件知1－導1.如圖，平面上有兩點A，B，過點A，B的圓有多少

個?這些圓的圓心到點A，B的距離具有怎樣的關系？

圓心是否在線段的垂直平分線上？知1－導2.如圖，平面上三點A，B，C不在一條直線上.過點A，B，C的圓是否存在？如果存在，這樣的圓有

多少個？你能確定經過A，B，C三點的圓的圓心

及半徑嗎？說出你的想法并和同學進行交流.知1－導討論

當點A，B，C在同一條直線上時，過這三點的圓是否存在？

我們發現：過兩點A，B的圓也有無數個，這些圓的圓心都在線段AB的垂直平分線上.過不在同一條直線上三點A，B，C的圓有且只有一個，這個圓的圓心為線段AB，BC的垂直平分線的交點.過在同一條直線上三點的圓不存在.結論不在同一條直線上的三點確定一個圓.(1)經過平面內一點可以作無數個圓；圓心可以是這一點之外任何點．(2)經過平面內兩點可以作無數個圓；圓心在連接這兩點的線段的垂直平分線上．(3)經過平面內不在同一直線上的三點，可以作一個圓，并且只能作一個圓；圓心為連接其中任意兩點的線段的垂直平分線的交點．知1－講（來自《點撥》）下列關于確定一個圓的說法正確的是________．①已知圓心一定能確定一個圓；②以已知線段作為半徑一定能確定一個圓；③以已知線段作為直徑一定能確定一個圓；④經過不在同一直線上的三個點一定能確定一個圓；⑤經過菱形的四個頂點一定能確定一個圓．知1－講例1導引：“確定”的含義是“有且只有”，而且確定一個圓需

要兩個條件：圓心和半徑．①缺少半徑的長度；②缺少圓心的位置；⑤顯然錯．所以答案為③④.③④（來自《點撥》）總

結知1－講（來自《點撥》）

過平面內任意四點不一定能作出一個圓．過四點作圓，應先過不在同一直線上的三點作圓，若第四個點到圓心的距離等于半徑，則第四個點在圓上，即過這四點可以作一個圓；否則不能．1下列說法中正確的是(

)A．兩個點確定一個圓B．三個點確定一個圓C．四個點確定一個圓D．不共線的三個點確定一個圓知1－練（來自《典中點》）當點A，B，C滿足下列條件時，總能確定一個

圓的是(

)A．AB＝1，BC＝4B．AB＝1，BC＝2，AC＝1C．AB＝

－1，BC＝2＋2，AC＝

＋3D．AB＝3，BC＝7，AC＝5知1－練（來自《典中點》）知1－講例2用尺規作過三角形三個頂點的圓.

已知：如圖，△ABC.

求作：⊙O，使它過三點A，B，C.作法：如圖.(1)分別作線段AB和BC的垂直平分線l1和l2.

設l1與l2相交于點O.(2)以點O為圓心，OA為半徑畫圓.⊙O即為所求.（來自《教材》）

本題運用分類討論思想解答，三點在和不在同一條直線上，所得結果不同．當三點在同一條直線上時，任意連兩條線段，并作它們的垂直平分線，這兩條垂直平分線是平行的，兩直線沒有交點，即無法確定圓心和半徑，所以此時無法作圓．結

論知1－講（來自《點撥》）1如圖，已知直線a和直線外的兩點A，B，經過A，B作一圓，使它的圓心在直線a上．知1－練（來自《點撥》）知1－練

如圖，點A，B，C在同一條直線上，點D在直

線AB外，過這四點中的任意三個點，能畫圓的個數是(

)A．1

B．2C．3

D．4（來自《典中點》）2知識點三角形的外接圓知2－導

我們把經過三角形三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓(circumcircle)，外接圓的圓心叫做三角形的外心(circumcenter).

(1)三角形的外心的位置：銳角三角形的外心在銳角三角形的內部，直角三角形的外心在直角三角形的斜邊的中點處，鈍角三角形的外心在鈍角三角形的外部．

(2)三角形外接圓的作法：①作三角形任意兩邊的垂直平分線，確定其交點；②以該交點為圓心，以交點到三個頂點中任意一點的距離為半徑作圓即可．

注意：一個三角形只有一個外接圓，而一個圓有無數個內接三角形.知2－講（來自《點撥》）知2－講例3已知△ABC中，∠A︰∠B︰∠C＝1︰3︰5，則

這個三角形的外心在(

)A．三角形的內部

B．三角形的外部C．三角形的邊上D．無法確定導引：根據三角形的內角和定理可知三個角的度數分別

是20°、60°和100°，所以這個三角形是鈍角三

角形，外心在三角形的外部.（來自《點撥》）B

要確定三角形的外心的位置，我們首先要確定三角形的形狀，由三角形的內角和等于180°，可以求得∠C＝100°，故此三角形的外心在三角形的外部．結

論知2－講（來自《點撥》）知2－練1如圖所示，A，B，C分別表示三個村莊，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，為了豐富群眾生活，擬建一個文化活動中心，要求這三個村莊到活動中心的距離相等，則活動中心P的位置應在(

)A．邊AB的中點處B．邊BC的中點處C．邊AC的中點處D．∠C的平分線與邊AB的交點處

（來自《點撥》）知2－練2下列說法中，正確的是(

)A．三點確定一個圓B．圓有且只有一個內接三角形C．三角形的外心到三角形三邊的距離相等D．三角形有且只有一個外接圓3下列說法中，真命題的個數是(

)①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只

有一個內接三角形；③三角形的外心不一定在三角形

內；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經

過三點確定一個圓．A．1B．2C．3D．4（來自《典中點》）1.三角形外心的性質：三角形的外心是它的外接圓的圓

心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形

各個頂點的距離相等；銳角三角形的外心在三角