勾股定理專項練習

選擇題（共29小題）

1.如圖，四個全等的直角三角形和中間的小正方形可以拼成一個大正方形，若直角三角形

的較長直角邊長為“，較短直角邊長為九大正方形面積為Si,小正方形面積為S2,則

（a+b）2可以表示為（）

51+52C.2sl-S?D.S]+2§2

2.我國古代數學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形

拼成一個大正方形（如圖所示）.如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直

角三角形的兩直角邊長分別為b,那么（a-b）2的值是（)

B.2C.12D.13

3.如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形

ABCD,正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S卜S2>S3.若S|+$2+63=60,則

$2的值是（）

4.如圖，在三角形A8C中，AB=AC=17,8c=16,點。為的中點，則點。到AC的

距離為（）

A

A.15B.—C.9D.120

15IT

5.Zk/IBC中，AB=13,AC=15,高40=12,則8c的長為()

A.14B.4C.14或4D.以上都不對

6.如圖所示，在RtAABC中，分別以三角形的三條邊為邊向外作正方形，面積分別記為

S|,S2,S3,若S|=7,另=24,則S3的值為（）

7.如圖，在3x3的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,

若是△ABC的邊4c上的高，則的長為（）

A.-^V26B.-1^V26C.-^V13D.-^V13

8.如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=8cm,AE平分/BAC,交BC于點E.。為AE上一

點，且NACD=NC4O,DE=3cm,連接CD.過點。作力FL4B,垂足為點尸，則下列

結論正確的有（）

@CD=5cm;②AC=10c?〃；③DF=3c/n;④△AC￡)的面積為10c〃?2.

9.如圖所示，以RSA8C的三條邊為直徑分別向外作半圓，設以8c為直徑的半圓的面積

記作S1,以AC為直徑的半圓的面積記作$2,以AB為直徑的半圓的面積記作53,則Si、

A.S|+S2>S3B.S|+S2<$3C.S]+S2=S3D.無法確定

10.如圖的陰影部分是兩個正方形，圖中還有兩個直角三角形和一個大正方形，則陰影部分

的面積是（）

A.16B.25C.144D.169

11.已知Rt^ABC中，ZC=90°,若a+b=14cm,c=Wcm,則RtAABC的面積是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60c/n2

12.已知直角三角形的兩條邊長分別是3和5,那么這個三角形的第三條邊的長為（）

A.4B.16C.734D.4或

13.如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、

B、C的面積依次為2、4、3,則正方形。的面積為（）

C

B

D

A.8B.9C.27D.45

14.已知直角三角形兩邊的長為3和4,則此三角形的周長為（)

A.12B.7+77C.12或7+4D.以上都不對

15.如圖所示，直角三角形三邊上的半圓面積從小到大依次記為Si、S?、S3,則S]、$2、S3

的關系是（）

222

A.Si+S2=S3B.5|+S2=S3

C.S]+S2>S3D.S]+S2VS3

16.在△ABC中，AB=15,4c=13,8C上的高AO長為12,則△ABC的面積為（）

A.84B.24C.24或84D.42或84

17.若直角三角形兩條直角邊長分別為2,3,則該直角三角形斜邊上的高為（）

B3后

「6日12>/13

A.V13V.------------------D.

,131313

18.直角三角形兩直角邊分別是55八12cm,其斜邊上的高是（)

B.歿皿

A.13cmC.-6-0-cmD.9cm

1313

19.滿足下列條件時，△ABC不是直角三角形的是)

A.AB=A/41，BC=4,AC=5B.AB:BC:AC=3:4:5

C.NA:ZB:ZC=3:4:5D.NA=40°,ZB=50°

20.如果用，a、b、c表示△ABC的三邊,那么分別滿足下列條件的三角形中，直角三角形

有（）

①接=/-a2

②a:b:c=3:4:5

③NC=ZA-ZB

④NA:NB:ZC=12:13:15

A.1個B.2個C.3個D.4個

21.下列三角形是直角三角形的是（）

A.直角三角形中，已知兩邊長為3和4,則第三邊長為5

B.三角形的三邊滿足“2=62-C2,則此三角形是直角三角形

C.以三個連續自然數為三邊長可能構成直角三角形

D.AA8C中，若/A:NB:ZC=1:5:6,則△ABC為直角三角形

23.滿足下列條件的△ABC,不是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB-ZCB.ZA:ZB:ZC=1:1:2

C.b2=a2-c2D.a:b:c=1:1:2

24.以下列數組作為三角形的三條邊長，其中能構成直角三角形的是（）

C.1.5,2,2.5D.2,---

A.1,3B.A/2,M，5

345

25.下列數組中，是勾股數的是（）

A.0.3、0.4、0.5B.6。、8。、10。

C.7、24、25D.1.5、2、2.5

26.下列各組數是勾股數的一組是（）

A.7,24,25B.行五甲C.1.5,2,2.5D.32,42,52

27.下列各組數是勾股數的一組是（）

A.6,7,8B.1,V3-2

C.5,12,13D.0.3,0.4,0.5

28.給出下列四個說法：

①由于0.3,0.4,0.5不是勾股數，所以以0.3,0.4,0.5為邊長的三角形不是直角三角形;

②由于以0.5,1.2,1.3為邊長的三角形是直角三角形，所以0.5,1.2,1.3是勾股數;

③若4,%,C是勾股數，且C最大，則一定有〃2+匕2=6.2；

④若三個整數a,b,c是直角三角形的三邊長，則2“，2b,2c,一定是勾股數，其中正確

的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

29.下列各組數中,以它們為邊長的線段能構成直角三角形的是（)

A.2,4,5B.6,8,11C.5,12,12D.1,I,衣

二.填空題（共16小題）

30.我國古代著作《周髀算經》中記載了“趙爽弦圖”.如圖，若勾AE=6,弦4。=10,則

小正方形EFGH的面積是

31.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方

形，設直角三角形較長直角邊長為處較短直角邊長為江若岫=4,大正方形的面積為

16,則小正方形的邊長為

32.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的

“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三

角形較長直角邊長為較短直角邊長為乩若岫=8,小正方形的面積為9,則大正方

形的面積為

33.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的個大正方形設

直角三角形較長直角邊長為明較短直角邊長為b.若ab=6,大正方形的面積為25,則

34.勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經》中就有“若勾三，股四,

則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關

系驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內得到的，NBAC=90。，AB=3,AC=4,點￡>,

E,F,G,H,/都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為.

35.如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成.若

較短的直角邊BC=5,將四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2

所示的“數學風車”，若△BCQ的周長是30,則這個風車的外圍周長是.

36.一株美麗的勾股樹如圖所示，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三

角形.若正方形A,B,C,D的面積分別為2,5,1,2,則最大的正方形E的面積是.

37.如圖，已知在RtAABC中，ZACB=90°,4c=9,8c=12,AB的垂直平分線交AB于

點D,交BC于點E,則BE的長為.

38.在△ABC中，ZC=90°,AB=5,則A^+Ad+BC2：.

39.直角三角形兩直角邊長分別為3和4,則它斜邊上的高為.

40.直角三角形的兩邊長分別為3cm、4cm,則第三邊的長為.

41.△ABC41,48=15,AC=13,高AO=12,則△ABC的周長是.

42.如圖，在RS4BC中，ZC=90°,ED垂直平分AB于點力，與AC相交于點E,若BE

平分NABC,AB=6,則AE的值是.

43.如圖所示的網格是正方形網格，NAPB='

44.在AA8C中，給出以下4個條件:

①/C=90°;

②N4+NB=NC；

③a:b:c=3:4:5;

?ZA:ZB:NC=3:4:5.

從中任取一個條件，可以判定出△ABC是直角三角形的有.（填序號）

45.觀察下列式子：

當"=2時，a=2x2=4,b=22-1=3,c=22+l=5

〃=3時，a=2x3=6,b=32-1=8,c=32+l=10

"=4時，a=2x4=8,b=42-1=15,c=42+l=17...

根據上述發現的規律，用含n（n>2的整數）的代數式表示上述特點的勾股數a=,

b=,c=.

三.解答題（共15小題）

46.（1）我國著名的數學家趙爽，早在公元3世紀，就把一個矩形分成四個全等的直角三

角形，用四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形（如圖1）,這個矩形稱為趙爽弦

圖，驗證了一個非常要的結論：在直角三角形中兩直角邊匕與斜邊c滿足關系式。2+層

=/.稱為勾股定理.

證明：???大正方形面積表示為5=修，又可表示為S=

______=c2

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

（2）愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形（如圖2）,

也能驗證這個結論，請你幫助小明完成驗證的過程，

（3）如圖3所示，ZABC=ZACE=90°,請你添加適當的輔助線證明結論。2+按=上

48.已知1△ABC中，ZB=90°,AB=Scm,BC=6cm,P、。是△ABC邊上的兩個動點，其

中點P從點A開始沿A-B方向運動且速度為每秒\cm,點。從點B開始沿B-CTA方

向運動，在8c邊上的運動速度是每秒2cm,在AC邊上的運動速度是每秒1.5a”，它們

同時出發，當其中一個點到達終點時?，另一個點也隨之停止，設運動時間為f秒.

(1)出發2秒后，求PQ的長；

(2)當點Q在邊上運動時，f為何值時，△ACQ的面積是△ABC面積的得；

(3)當點Q在邊CA上運動時，，為何值時，P。將AA8C周長分為23:25兩部分.

49.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8c”，現將直角邊AC沿直線

A。對折，使它落在斜邊48上，且與AE重合，求CO的長.

(1)直接寫出AB的長度_______.

(2)設點尸在AB上，若NPAC=NPCA.求AP的長；

(3)設點M在AC上.若為等腰三角形，直接寫出AM的長.

51.在我區“五水繞城”生態環境提升項目中，有一塊三角形空地將進行綠化，如圖，4ABC

中，AB=AC,E是AC上的一點，CE=50,BC=130,BE=120.

(1)判斷AABE的形狀，并說明理由.

(2)求△ABC的周長.

A

A

BC

52.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=\5,AC=20,CO是圖.

(1)求AB的長；

(2)求△ABC的面積；

(3)求CO的長.

C

4

RDA

53.已知：如圖，四邊形ABC。，AB=l,BC=2,CD=2,AQ=3,且AB_L3C求四邊形

ABC。的面積.

-------卜

54.在△ABC中，。是8c上一點，4B=10,BD=6,AO=8,AC=17,求△ABC的面積.

55.如圖,已知CD=6m,AD=Sm,ZADC=90°,BC=24m,AB=26tn;求圖中陰影部分

的面積.

'AC

B

56.如圖，四邊形A3C。中，AB=3,BC=4,CQ=13,AD=12,NB=90。，求四邊形48CZ)

的面積.

D

57.如圖所示：三個村莊4、B、C之間的距離分別是A8=5切I,BC=l2km,AC=l3km,

要從8修一條公路8。直達AC,已知公路的造價2600萬元/也7,求修這條公路的最低造

3,4,5;5,12,13;7,24,25；9,40,41;a,b,c.

根據你發現的規律，請寫出：

(1)當a=19H寸，b=,c=;

(2)當a=2w+l時，求6、c的值；

(3)用(2)的結論判斷15,111,112是否為一組勾股數，并說明理由.

59.王老師在一次“探究性學習”課中，設計了如下數表：

n2345

a22-132-142-152-1

h46810

c22+l32+l42+l52+l

(1)請你分別觀察“，兒。與”之間的關系，并用含自然數〃(?>1)的代數式表示：。

=,b=,c=.

(2)猜想：以a,b,c為邊的三角形是否為直角三角形？并證明你的猜想？

(3)觀察下列勾股數32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412,分析其中的

規律，寫出第五組勾股數.

60.王老師在一次“探究性學習”課中，設計了如下數表：

H2345...

a22-132-142-152-1

b46810

c22+132+142+152+1

(1)請你分別觀察“，b,c,與〃之間的關系，并用含自然數”(?>1)的代數式表示：a

=,b=,c=?

(2)猜想：以a,乩c為邊的三角形是否為直角三角形？并證明你的猜想？

(3)觀察下列勾股數32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412,分析其中的

規律，根據規律寫出第五組勾股數.

勾股定理1

參考答案與試題解析

--選擇題(共29小題)

1.如圖，四個全等的直角三角形和中間的小正方形可以拼成一個大正方形，若直角三角形

的較長直角邊長為〃，較短直角邊長為心大正方形面積為S1,小正方形面積為S2,則

(a+h)2可以表示為()

A.5i—S2B.S]+SzC.2sLs2D.S|+2s2

【分析】根據圖形和勾股定理可知Si=c2=a2+82,再由完全平方公式即可得到結果.

【解答】解：如圖所示：設直角三角形的斜邊為C,

則S1=。2=。2+力2

212

§2=(a-b)=a+b-2aby

.\2ab=S\-S2,

/.(a+b)2=a2+2ab+b2=S\+S]-Sz=,2S\~S2,

故選：C.

2.我國古代數學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形

拼成一個大正方形(如圖所示).如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直

角三角形的兩直角邊長分別為a、b,那么(a—b)2的值是()

B.2C.12D.13

【分析】根據勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的

面積，即可得到油的值，然后根據(a-b)2=層-2"+戶即可求解.

【解答】解：根據勾股定理可得。2+房=13,

四個直角三角形的面積是：X^x4=13-l=12,即：2ab=12

則(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1.

方法二、小正方形的邊長就是|a-弧其面積是1,

故選：A.

3.如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形

ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為Si、必、S3.若Si+$2+63=60,則

$2的值是()

?

0Fc

A.12B.15C.20D.30

【分析】設每個小直角三角形的面積為m,則S|=4/〃+S2,S3=S2-4W,依據S1+S2+S3

=60,可得4〃I+S2+S2+S2-4%=60,進而得出S2的值.

【解答】解：設每個小直角三角形的面積為根，則&=4,〃+S2,S3=S2-4m,

因為Si+S2+S3=60,

所以4〃?+S2+S2+S2-4/?=60,

即3s2=60,

解得$2=20.

故選：C.

4.如圖，在三角形ABC中，AB=AC=\1,8c=16,點。為8c的中點，則點。到AC的

距離為()

A

A.15B.—C.9D.

1517

【分析】連接AD,過點。作OELAC于點E,根據已知和等腰三角形的性質得出AO1.BC

和CO=8,根據勾股定理求出AD,根據三角形的面積公式求出即可.

【解答】解：如圖，連接A。，過點。作。ELAC于點E,DE的長即為所求，

?：AB=AC,。為BC的中點，BC=16,

：.ADLBC,BO=OC=8,

22=22=15

在RtAAQB中，由勾股定理得：^^VAC-CDV17-8>

,/SAADC=^AD-CD=-^AC>DE,

A—xl5x8=—x]7.D￡,

22

解得DE=^~

故選：D.

5.△ABC中，AB=13,AC=15,高AZ）=12,則BC的長為（）

A.14B.4C.14或4D.以上都不對

【分析】分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據勾股定理求得BD,CD,再

由圖形求出BC,在銳角三角形中，BC=BD+CD,在鈍角三角形中，BC=CD-BD.

【解答】解：（1）如圖，銳角AABC中，AB=\3,AC=\5,BC邊上高AO=12,

在RtaABO中A8=13,AD=\2,由勾股定理得

BD2=AB2-A￡>2=132-122=25,

則BD=5,

在RSAB。中AC=15,AD=12,由勾股定理得

CD2=AC2-AD2=152-122=81,

則CD=9,

故BC=BD+DC=9+5=14;

(2)鈍角△ABC中，AB=]3,AC=\5,8C邊上高AO=12,

在RSABO中AB=13,AD=12,由勾股定理得

BD2=AB2-AD2=]32-122=25,

貝ijBD=5,

在RtZiAC。中AC=15,AD=\2,由勾股定理得

CD2=AC2-AD2=152-122=81,

則CD=9,

故BC的長為力C-80=9-5=4.

故選：C.

6.如圖所示，在RtAABC中，分別以三角形的三條邊為邊向外作正方形，面積分別記為

N,S2,S3,若Si=7,52=24,則S3的值為（）

A.17B.20C.25D.31

I22

【分析】由正方形的面積公式可知S1=AB2,S2=AC,S3=BC,在RSABC中，由勾

股定理得AC2+AB2=8C2,即S|+S2=S3,由此可求S3.

【解答】解：在RS4BC中，AC2+AB2=BC2,

22

由正方形面積公式得舟=4#，S2=AC,S3=BC,

V5I=9,S2=16,

；.S3=SI+S2=7+24=31.

故選：D.

7.如圖，在3x3的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，

若BO是△ABC的邊AC上的高，則8。的長為（）

A.-^V26B.-y^V26C.--^13D.-^V13

【分析】根據勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的

面積公式即可得到答案.

【解答】解：由勾股定理得：AC=722+32=V13>

1117

VSA/1BC=3X3-—xlx2-—Xlx3-—X2x3=—,

2222

I7

：.—AC'BD=—,

22

.?.任.80=7,

?-?DOUn-,--7-V--1-3-,

13

故選：D.

8.如圖，在AABC中，AB=AC,BC=8cm,AE平分/BAC,交BC于點E.￡>為AE上一

點，且/AC￡>=/。。，DE=3cm,連接C￡>.過點。作力F_L4B,垂足為點尸，則下列

結論正確的有（）

@CD=5cm;②AC=10c，〃；?DF=3cm',④△AC￡>的面積為10a”2.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①根據等腰三角形的性質和勾股定理即可求解；

②根據等腰三角形的性質和勾股定理即可求解；

③根據相似三角形的判定與性質即可得到DF的長；

④根據三角形面積公式即可求解.

【解答】解：①?在AABC中，AB=AC,BC=8cm,AE平分NBAC,

：.AE1BC,BE=CE=4cm,

在R3OEC中，C￡)=^CE2+DE2=5COT,故①正確；

②：ZACD=ZCAD,

.\AD=CD=5cmy

?\AE=Scmy

在RtZiAEC中，AC=7AE2<E2=4V5C/?,故②錯誤；

③方法1：連接B。，

S&ABD=S>ABE-BDE

=—BE?AE--HE-DE

22

=Ax4x8--x4x3

22

=10(cm2),

■:SAABD=^AB-DF,

.?*DF=10X2-4V5=V5(cm),故③錯誤；

方法2:VZDAF=ZBAE,NAFD=NAEB,

:.XDAFsXBAE、

：.DF:AD=BE:AB,KPDF:5=4:475，

解得力尸=遙.

故。尸=遙57,故③錯誤；

④△4CO的面積為5X4+2=10C；”2,故④正確.

9.如圖所示，以RSABC的三條邊為直徑分別向外作半圓，設以BC為直徑的半圓的面積

記作S,以AC為直徑的半圓的面積記作S2,以AB為直徑的半圓的面積記作S3,則Si、

A.S|+S2>S3B.S|+S2<$3C.S\+S2=SyD.無法確定

【分析】根據勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于

斜邊長的平方.以及圓的面積公式，即可求出Si、S2、S3之間的關系.

【解答】解：■兀?（*G2=1■兀

S2=—7t?2=-^7t*AC2,

228

S3=3?（沫■）2=-^ifAB2,

又：BC2+AC2=AB2,

888

**?S[+82=83.

故選：c.

10.如圖的陰影部分是兩個正方形，圖中還有兩個直角三角形和一個大正方形，則陰影部分

的面積是（）

C.144D.169

【分析】兩個陰影正方形的面積和等于直角三角形另一未知邊的平方.利用勾股定理即

可求出.

【解答】解：兩個陰影正方形的面積和為132-122=25.

故選：B.

11.已知RSABC中，ZC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,則RtZkABC的面積是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

【分析】要求RQABC的面積，只需求出兩條直角邊的乘積.根據勾股定理，得那+廬

=c2=100.根據勾股定理就可以求出的值，進而得到三角形的面積.

【解答】解：???“+6=14

（a+b）2=196

**.2ab=196-（a2+h2）=96

'.-^-ab=24.

2

故選：A.

12.已知直角三角形的兩條邊長分別是3和5,那么這個三角形的第三條邊的長為（）

A.4B.16C.V34D.4或病

【分析】此題要分兩種情況：當3和5都是直角邊時；當5是斜邊長時；分別利用勾股

定理計算出第三邊長即可.

【解答】解：當3和5都是直角邊時，第三邊長為：V32+52=V34；

當5是斜邊長時，第三邊長為：752-32=4-

故選：

13.如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、

B、C的面積依次為2、4、3,則正方形。的面積為（）

C

B

D

A.8B.9C.27D.45

【分析】設正方形。的面積為x,根據圖形得出方程2+4=x-3,求出即可.

【解答】解：設正方形。的面積為羽

:正方形A、B、C的面積依次為2、4、3,

,根據圖形得：2+4=x-3,

解得：x=9,

故選：B.

14.已知直角三角形兩邊的長為3和4,則此三角形的周長為（）

A.12B.7+77C.12或7+4D.以上都不對

【分析】先設RSABC的第三邊長為x,由于4是直角邊還是斜邊不能確定，故應分4

是斜邊或x為斜邊兩種情況討論.

【解答】解：設RSA8C的第三邊長為x,

①當4為直角三角形的直角邊時，x為斜邊，

由勾股定理得，x=5,此時這個三角形的周長=3+4+5=12;

②當4為直角三角形的斜邊時，x為直角邊，

由勾股定理得，x=E此時這個三角形的周長=7+々，

故選：C.

15.如圖所示，直角三角形三邊上的半圓面積從小到大依次記為&、$2、s3,則Si、$2、S3

的關系是（）

222

A.SI+52=S3B.5I+S2=S3

C.S]+S2>S3D.S]+S2Vs3

【分析】設三個半圓的直徑分別為：*、刈、43,半圓的面積=^x2,將力、

為、由代入分別求出&、S2、S3,由勾股定理可得：由2+“22=為2,觀察三者的關系即可.

【解答】解：設三個半圓的直徑分別為：小、d2、d3,

5]=Ax7tx（3_）2="兀,

228

S3=—xnx(―^-)2=也「

228兀

由勾股定理可得：

d\2+d22=d32,

2

，S]+S2=-^-(t/r+i/22)=￡2_冗=§3,

88

所以Si、$2、S3的關系是：51+52=53.

故選：A.

16.在AABC中，AB=15,AC=13,BC上的高A。長為12,則△ABC的面積為()

A.84B.24C.24或84D.42或84

【分析】由于高的位置是不確定的，所以應分情況進行討論.

△A8C為銳角三角形，高4?在小A8C內部.^=VAB2-AD2=9>CD=A/AC2-AD2=

5

...△ABC的面積為/x(9+5)xl2=84;

△ABC為鈍角三角形，高A。在△ABC外部.方法同⑴可得到B￡>=9,CD=5

.,.△ABC的面積為/x(9-5)xl2=24.

故選：C.

17.若直角三角形兩條直角邊長分別為2,3,則該直角三角形斜邊上的高為()

A.V13B.應C.@D.位

v131313

【分析】已知兩直角邊長度，根據勾股定理即可求得斜邊長，三角形面積計算既可以用

直角邊計算，又可以用斜邊和斜邊上的高計算，根據這個等量關系即可求斜邊上的高.

【解答】解：設該直角三角形斜邊上的高為人，

???直角三角形的兩條直角邊長分別為2和3,

斜邊=^22+32='/lS>

,**2X3X/=

故選：C.

18.直角三角形兩直角邊分別是5cm、12cm,其斜邊上的高是（）

A.13cmB.^-cmC.D.9cm

1313

【分析】首先根據勾股定理，得直角三角形的斜邊是13,再根據直角三角形的面積公式,

得其斜邊上的高是瑞.

【解答】解：如圖：

設AC=5cwt,BC=12cm,根據勾股定理，AB=^52+122=13c/n>

根據三角形面積公式：1X5X12=AX13XCD,CD=^-cm.

2213

故選：C.

19.滿足下列條件時，△ABC不是直角三角形的是（）

A.BC=4>AC=5B.AB:BC:AC=3:4:5

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.ZA=40°,ZB=50°

【分析】根據勾股定理的逆定理和三角形的內角和定理逐個判斷即可.

【解答】解：A.V/1B=V41，BC=4,AC=5,

：.B（^+AC2=AB2=4l,

AZC=90°,

即△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意;

B."：AB:BC:AC=3:4:5(設AB=3x,BC=4x,AC=5x),

.,.AB2+BC2=AC2,

.,.ZB=90°,

...△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；

C.,?:NB:ZC=3:4:5,ZA+ZB+ZC=180°,

R

最大角/C=c;「><180°=75°,

3+4+5

.?.△48C不是直角三角形，故本選項符合題意；

D.VZA=40°,ZB=50°,

AZC=180°-ZA-ZB=90°,

.??△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：C.

20.如果用，八6、c表示AABC的三邊，那么分別滿足下列條件的三角形中，直角三角形

有()

①接=/-“2

②。：b'.c=3：4:5

③

④乙4:ZB:ZC=I2:13:15

A.I個B.2個C.3個D.4個

【分析】利用勾股定理逆定理和三角形內角和定理進行計算即可.

【解答】解：①62=c2-q2,可以變形為抉+〃2=/，是直角三角形；

②b:c=3:4:5,

，設a=3x,b=4x,c=5x,

V(3x)2+(4x)2=(5x)2,

.*.a2+Z72=c2,

是直角三角形；

@VZC=ZA-ZB,

.".ZC+ZB=ZA,

VZC+ZB+ZA=180°,

NA=90°,

二是直角三角形;

@VZA:ZB:ZC=12:13:15,

15

??.設NA=X180V90°

12+13+15

二不是直角三角形;

則直角三角形有3個,

故選：C.

21.下列三角形是直角三角形的是（）

【分析】根據勾股定理的逆定理進行分析，從而不難得到答案.

【解答】解：由勾股定理的逆定理得，因為。能滿足（折）2+（技）2=（2遍）2

所以。是直角三角形.

故選：D.

22.下列說法中，錯誤的是（）

A.直角三角形中，已知兩邊長為3和4,則第三邊長為5

B.三角形的三邊滿足。2=B-02,則此三角形是直角三角形

C.以三個連續自然數為三邊長可能構成直角三角形

D.aABC中，若/A:NB:ZC=1:5:6,則AABC為直角三角形

【分析】根據直角三角形的判定進行分析，從而得到答案.

【解答】解：A、應為“直角三角形中，已知兩直角邊的邊長為3和4,則斜邊的邊長為5”,

故本選項錯誤，符合題意；

B、三角形的三邊滿足a2=b2-c2,即。2+/=抉，符合勾股定理逆定理，此三角形是直

角三角形，故本選項正確，不符合題意；

C、比如：邊長分別為3,4,5,有32+42=25=52,能構成直角三角形，故本選項正確，

不符合題意；

D、根據三角形內角和定理可求出三個角分別為15°,75°,90°,因而是直角三角形，故

本選項正確，不符合題意.

故選：A.

23.滿足下列條件的△ABC,不是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB-ZCB.ZA:ZB:ZC=1:1:2

C.Z>2=a2-c2D.a:b:c=1:1:2

【分析】根據三角形內角和定理可判斷出A、8是否是直角三角形，根據勾股定理逆定理

可得C、O是否是直角三角形.

【解答】解：?：ZA=ZB-ZC,

AZB-ZC+ZB+ZC=180°,

.*.2ZB=180°,

：.ZB=9Q°,

.?.△ABC為直角三角形.

B、ZA:ZB:ZC=1:1:2,

2

ZC=--—x180°=90°,

1+1+2

.?.△ABC為直角三角形.

C、Z>2=a2-c2,

a2=b2+c2,

...△ABC為直角三角形.

D、''a',b:c=J:1:2,

/.12+1V22,

故不能判定△ABC為直角三角形.

故選：D.

24.以下列數組作為三角形的三條邊長，其中能構成直角三角形的是（）

A.1,a,3B.A/2,如,5C.1.5,2,2.5D.&J,

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方即可.

【解答】解：A、12+（加>2井2,不能構成直角三角形，故選項錯誤；

B、（&）2+（毒）%52,不能構成直角三角形，故選項錯誤；

C、1.52+22=2.52,能構成直角三角形，故選項正確；

D、（4）2+（［）2豐（1）2,不能構成直角三角形，故選項錯誤.

543

故選：C.

25.下列數組中，是勾股數的是（）

A.0.3>0.4、0.5B.6〃、8〃、10a

C.7、24、25D.1.5、2、2.5

【分析】三個正整數，其中兩個較小的數的平方和等于最大的數的平方，則這三個數就

是勾股數，據此判斷即可.

【解答】解：A、0.3、0.4、0.5,三邊都不是整數，不是勾股數，故不符合題意；

B、6a、8a、10%三邊不一定是整數，不一定是勾股數，故不符合題意；

C、72+242=252,能構成直角三角形，且都是正整數，是勾股數，故符合題意；

。、1.5、2、2.5,三邊不都是整數，不是勾股數，故不符合題意；

故選：C.

26.下列各組數是勾股數的一組是（）

A.7,24,25B.代，用C.1.5,2,2.5D.32,42,52

【分析】欲判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方

和是否等于最長邊的平方.

【解答】解：A、72+242=252,三邊是整數，同時能構成直角三角形，故是勾股數，此

選項符合題意；

B、加、我不是正整數，不是勾股數，此選項不合題意；

C、1.