10.3頻率與概率考法一頻率與概率【例1】（2024新疆和田）拋擲一枚質地均勻的硬幣，設事件“正面向上”，則下列說法正確的是（

）A．拋擲硬幣次，事件必發生次B．拋擲硬幣次，事件不可能發生次C．拋擲硬幣次，事件發生的頻率一定等于D．隨著拋擲硬幣次數的增多，事件發生的頻率逐漸穩定在附近【答案】D【解析】不管拋擲硬幣多少次，事件A發生的次數是隨機事件，故ABC錯誤；隨著拋擲硬幣次數的增多，事件A發生的頻率在0.5附近波動的幅度較大的可能性小；故選：D【一隅三反】1．（2023新疆喀什）給出下列四個命題：①設有一批產品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；②做100次拋硬幣的試驗，結果51次出現正面朝上，因此，出現正面朝上的概率是；③隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率；④拋擲骰子100次，得點數是1的結果有18次，則出現1點的頻率是.其中正確命題有（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】對于①，實驗中，出現的某種事件的頻率總在一個固定的值的附近波動，并不是一個確定的值，一批產品次品率為0.05，則從中任取200件，次品的件數在10件左右，而不一定是10件，①錯誤；對于②，100次并不是無窮多次，只能說明這100次試驗出現正面朝上的頻率為，故②錯誤；對于③，根據定義，隨機事件的頻率只是概率的近似值，它并不等于概率，③錯誤；對于④，頻率估計概率，頻率為出現的次數與重復試驗的次數的比值，拋擲骰子100次，得點數是1的結果有18次，則出現1點的頻率是，④正確.故選：D.2．（2023高一單元測試）將一枚硬幣擲10次，正面向上出現了6次，若用表示正面向上這一事件，則（）A．發生的概率為 B．發生的概率接近C．在這十次試驗中發生的頻率為 D．在這十次試驗中發生的頻率為6【答案】C【解析】概率是頻率的穩定值，發生的概率等于，故AB錯誤；在這十次試驗中發生的頻率為，故C正確，D錯誤.故選：C考法二頻率估計概率【例2-1】（2023黑龍江）（多選）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列說法正確的是（

）A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B．上海今天可能降雨，而北京可能沒有降雨C．北京和上海都可能沒降雨D．北京降雨的可能性比上海大【答案】BCD【解析】北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，說明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都沒有降雨，但是不能確定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正確．故選：BCD【例2-2】（2023海南）每年4月15日為全民國家安全教育日，某學校黨委組織黨員學習《中華人民共和國國家安全法》，為了解黨員學習的情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的學習時間（單位：時）進行調查，統計數據如下表所示：學習時間（時）黨員人數81391010則從該校隨機抽取1名黨員，估計其學習時間不少于6小時的概率為（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】B【解析】由統計表可知，樣本容量為人，學習時間不少于6小時有人，所以學習時間不少于6小時的概率為.故選：B【一隅三反】1．（2024北京）（多選）下列說法中錯誤的是（

）A．拋擲硬幣出現正面向上的概率為0.5，那么連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上B．如果某種彩票的中獎概率為，那么買10張這種彩票一定能中獎C．在乒乓球、排球等比賽中，裁判通過上拋均勻塑料圓板并讓運動員猜著地時是正面還是反面來決定哪一方先發球，這樣做公平D．一個骰子擲一次得到點數2的概率是，這說明一個骰子擲6次會出現一次點數2【答案】ABD【解析】概率反映的是隨機性的規律，但每次試驗出現的結果具有不確定性，因此A、B、D錯誤；拋擲均勻塑料圓板出現正面與反面的概率相等，是公平的，因此C正確.故選：ABD.2．（2023遼寧丹東）手機支付已經成為人們常用的付費方式.某大型超市為調查顧客付款方式的情況，隨機抽取了100名顧客進行調查，統計結果整理如下：顧客年齡（歲）20歲以下70歲及以上手機支付人數312149520其他支付方式人數0021327121從該超市顧客中隨機抽取1人，估計該顧客年齡在內且未使用手機支付的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在隨機抽取的100名顧客中，顧客年齡在內且未使用手機支付的共有（人），所以從該超市隨機抽取1名顧客，估計該顧客年齡在內且未使用手機支付的概率為.故選：B.3．（2023重慶渝中·期末）某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有100名志愿者服用此藥．結果：體重減輕的人數為59人，體重不變的21人，體重增加的20人．如果另外有一人服用此藥，請你估計這個人體重減輕的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：體重減輕的頻率為，用頻率估計概率可知：體重減輕的概率為.故選：A.考法三游戲的公平性【例3】（2024湖南）下面有三個游戲，其中不公平的游戲是（

）取球方式結果游戲1有3個黑球和1個白球，游戲時，不放回地依次取2個球取出的2個球同色→甲勝；取出的2個球不同色→乙勝游戲2有1個黑球和1個白球，游戲時，任取1個球.取出的球是黑球→甲勝；取出的球是白球→乙勝.游戲3有2個黑球和2個白球，游戲時，不放回地依次取2個球.取出的2個球同色→甲勝；取出的2個球不同色→乙勝.A．游戲1和游戲3B．游戲1 C．游戲2 D．游戲3【答案】D【解析】對于游戲1，樣本點共有12個，取出的2個球同色包含的樣本點有6個，其概率是，取出的2個球不同色的概率也是，故游戲1公平；對于游戲2，樣本點共有2個，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戲2公平；對于游戲3，樣本點共有12個，取出的2個球同色的概率是，取出的2個球不同色的概率是，故此游戲不公平，乙勝的概率大.故選D.【一隅三反】1．（2024湖北）一天，甲拿出一個裝有三張卡片的盒子（一張卡片的兩面都是綠色，一張卡片的兩面都是藍色，還有一張卡片一面是綠色，另一面是藍色），跟乙說玩一個游戲，規則是：甲將盒子里的卡片順序打亂后，由乙隨機抽出一張卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的顏色決定勝負，如果朝下的面的顏色與朝上的面的顏色一致，則甲贏，否則甲輸.乙對游戲的公平性提出了質疑，但是甲說：“當然公平！你看，如果朝上的面的顏色為綠色，則這張卡片不可能兩面都是藍色，因此朝下的面要么是綠色，要么是藍色，因此，你贏的概率為，我贏的概率也是，怎么不公平？”分析這個游戲是否公平.【答案】見解析.【解析】把卡片六個面的顏色記為，，，，，，其中，G表示綠色，B表示藍色；和是兩面顏色不一樣的那張卡片的顏色.游戲所有的結果可以用如圖表示.不難看出，此時，樣本空間中共有6個樣本點，朝上的面與朝下的面顏色不一致的情況只有2種，因此乙贏的概率為.因此，這個游戲不公平.2（2024河北）下面的三個游戲都是在袋子中裝球，然后從袋子中不放同地取球，分別計算三個游戲中甲獲勝的概率，你認為哪個游戲是公平的？游戲1游戲2游戲3袋子中球的數量和顏色1個紅球和1個白球2個紅球和2個白球3個紅球和1個白球取球規則取1個球依次取出2個球依次取出2個球獲勝規則取到紅球→甲勝兩個球同色→甲勝兩個球同色→甲勝取到白球→乙勝兩個球不同色→乙勝兩個球不同色→乙勝【答案】；；；游戲1和游戲3是公平的【解析游戲1中，甲獲勝的概率為；游戲2中，甲獲勝的視率為；游戲3中，甲獲勝的概率為，所以游戲1和游戲3是公平的.考法四隨機模擬【例4】（2023廣東佛山·階段練習）規定：投擲飛鏢次為一輪，若次中至少兩次投中環以上為優秀．根據以往經驗某選手投擲一次命中環以上的概率為．現采用計算機做模擬實驗來估計該選手獲得優秀的概率：用計算機產生到之間的隨機整數，用、表示該次投擲未有環以上，用、、、、、、、表示該次投擲在環以上，經隨機模擬試驗產生了如下組隨機數：據此估計，該選手投擲輪，可以拿到優秀的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，隨機模擬試驗產生了如下組隨機數中，代表“次中至少兩次投中環以上”的數組共組，因此，該選手投擲輪，可以拿到優秀的概率為.故選：A.【一隅三反】1．（2024福建）在一個實驗中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產生出[0，9]之間整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：192

907

966

925

271

932

812

458

569

683

257

393

127

556

488

730

113

537

989

431據此估計三只豚鼠中至少一只被感染的概率為（）.A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75【答案】D【解析】由題意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的對立事件為三只豚鼠都沒被感染，隨機數中滿足三只豚鼠都沒被感染的有907，966，569，556，989共5個，故三只豚鼠都沒被感染的概率為，則三只豚鼠中至少一只被感染的概率為故選：D2．（2024山東）池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預報8月1日后連續四天，每天下雨的概率為0.6，現用隨機模擬的方法估計四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十個整數值中，假定0，1，2，3，4，5表示當天下雨，6，7，8，9表示當天不下雨．在隨機數表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機數：95339522001874720018387958693281789026928280842539908460798024365987388207538935據此估計四天中恰有三天下雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表中數據可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8組，所以估計四天中恰有三天下雨的概率為.故選：B.3．（2024黑龍江哈爾濱）進入8月份后，我市持續高溫，氣象局一般會提前發布高溫橙色預警信號（高溫橙色預警標準為24小時內最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后的3天中，每一天最高氣溫在37攝氏度以上的概率是.用計算機生成了20組隨機數，結果如下：116

785

812

730

134

452

125

689

024

169334

217

109

361

908

284

044

147

318

027若用0，1，2，3，4，5表示高溫橙色預警，用6，7，8，9表示非高溫橙色預警，則今后的3天中恰有2天發布高溫橙色預警信號的概率估計是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知表示今后的3天中恰有2天發布高溫橙色預警信號的隨機數有：116

812

730

217

109

361

284

147

318

027共10個，故今后的3天中恰有2天發布高溫橙色預警信號的概率估計是，故選：B單選題1．（2023陜西咸陽）甲同學在數學探究活動中做拋硬幣實驗，共拋擲了2000次，其中正面朝上的有1034次，則下列說法正確的是（

）A．拋擲一枚硬幣，正面朝上的概率為0.517B．甲同學的實驗中，反面朝上的頻率為0.483C．拋擲一枚硬幣，反面朝上的概率小于0.5D．甲同學的實驗中，正面朝上的頻率接近0.517【答案】B【解析】甲同學的實驗中，正面朝上的頻率為0.517，反面朝上的頻率為0.483，故B正確；拋擲一枚硬幣，正面朝上與反面朝上的概率均為0.5，為定值，故AC錯誤；甲同學的實驗中，正面朝上的頻率就是0.517，而不是接近0.517，故D錯誤.故選：B2．（2023新疆）從存放號碼分別為1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統計結果如下：卡片號碼12345678910取到的次數1110585121910119則取到號碼為奇數的頻率是（

）A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47【答案】B【解析】由題意知，取到號碼為奇數的頻率為.故選：B.3．（2024河南）某地一種植物一年生長的高度如下表：高度/cm[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]頻數2030804030則該植物一年生長在[30，40）內的頻率是（）A．0.80 B．0.65C．0.40 D．0.25【答案】C【解析】根據表格中的數據，可得該植物一年生長在內的頻率.故選：C.4．（2023廣東惠州）手機支付已經成為人們常用的付費方式，某大型超市為調查顧客付款方式的情況，隨機抽取了100名顧客進行調查，統計結果整理如下，顧客年齡（歲）20歲以下70歲及以上手機支付人數312149520其他支付方式人數0021327121從該超市顧客中隨機抽取1人，估計該顧客年齡在內且未使用手機支付的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：該顧客年齡在內且未使用手機支付的頻率為，用頻率估計概率，估計該顧客年齡在內且未使用手機支付的概率為.故選：C.5．（2024廣東）張明與張華兩人做游戲,下列游戲中不公平的是()①拋擲一枚骰子,向上的點數為奇數則張明獲勝,向上的點數為偶數則張華獲勝;②同時拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則張明獲勝,兩枚都正面向上則張華獲勝;③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝,撲克牌是黑色的則張華獲勝;④張明、張華兩人各寫一個數字6或8,如果兩人寫的數字相同張明獲勝,否則張華獲勝.A．①② B．② C．②③④ D．①②③④【答案】B【解析】①拋擲一枚骰子,向上的點數為奇數和偶數是等可能的，均為，所以公平；②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)兩種情況,而兩枚都正面向上僅為(正,正),因此②中游戲不公平.③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色和黑色是等可能的，均為，所以公平；④張明、張華兩人各寫一個數字6或8,一共四種情況(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，兩人寫的數字相同和不同是等可能的，均為，所以公平；.故選B.6．（2024·河南）三國時期，諸葛亮曾經利用自身豐富的氣象觀測經驗，提前三天準確地預報出一場大霧，并在大霧的掩護下，演出了一場“草船借箭”的好戲，令世人驚嘆.諸葛亮應用的是（

）A．動力學方程的知識 B．概率與統計的知識C．氣象預報模型的知識 D．迷信求助于神靈【答案】B【解析】諸葛亮曾經利用自身豐富的氣象觀測經驗，提前三天準確地預報出一場大霧，屬于氣象業務實踐中的經驗預報法，利用的是概率與統計的知識.并未應用到動力學方程的知識和氣象預報模型的知識.故選：B.7（2024新疆）下列說法正確的是（

）A．隨著試驗次數的增大，隨機事件發生的頻率會逐漸穩定于該隨機事件發生的概率B．某種福利彩票的中獎概率為，買1000張這種彩票一定能中獎C．連續100次擲一枚硬幣，結果出現了49次反面，則擲一枚硬幣出現反面的概率為D．某市氣象臺預報“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺專家中，有70%認為明天會降水，30%認為明天不會降水【答案】A【解析】對于A,隨著試驗次數的增大，隨機事件發生的頻率會逐漸穩定于該隨機事件發生的概率，概率是頻率的穩定值，故A正確，對于B,某種福利彩票的中獎概率為，買1000張這種彩票不一定中獎，故B錯誤，對于C,連續100次擲一枚硬幣，結果出現了49次反面，則在100此拋硬幣的實驗中擲一枚硬幣出現反面的頻率為，而擲一枚硬幣出現反面的概率為，故C錯誤，對于D，某市氣象臺預報“明天本市降水概率為70%”，指的明天會降水的可能性為70%.故D錯誤，故選：A8．（2024湖北）天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為．我們通過設計模擬實驗的方法求概率，利用計算機產生之間的隨機數：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設事件“三天中至少有兩天下雨”，20個隨機數中，至少有兩天下雨有，即事件發生了13次，用頻率估計事件的概率近似為．故選：D．多選題9．（2023高一下·全國·課時練習）利用計算機模擬拋擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數分別為20，100，500時各做5組試驗，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”發生的頻數和頻率情況如下表：序號頻數頻率頻數頻率頻數頻率1120.6560.562610.522290.45500.52410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506根據以上信息，下面說法正確的有（

）A．試驗次數相同時，頻率可能不同，說明隨機事件發生的頻率具有隨機性B．試驗次數較小時，頻率波動較大；試驗次數較大時，頻率波動較小，所以試驗次數越多越好C．隨機事件發生的頻率會隨著試驗次數的增加而逐漸穩定在一個固定值附近D．我們要想得到某事件發生的概率，只需要做一次隨機試驗，得到事件發生的頻率即為概率【答案】ABC【解析】對于A選項：根據表中數據得到試驗次數相同時，頻率可能不同，則說明隨機事件發生的頻率具有隨機性，所以A選項正確；對于B選項：分別對比每個序號重復試驗次數分別為20，100，500的頻率可得試驗次數較小時，頻率波動較大；試驗次數較大時，頻率波動較小，則試驗次數越多越好，所以B選項正確；對于C選項：根據表中數據得到隨機事件發生的頻率會隨著試驗次數的增加而逐漸穩定在一個固定值附近，所以C選項正確；對于D選項：我們要想得到某事件發生的概率，需要進行多次重復試驗才能得到概率的估計值，所以D選項錯誤；故選：ABC.10．（2023遼寧朝陽·期中）下列說法不正確的是（

）A．某種福利彩票的中獎概率為，那么買1000張這種彩票一定能中獎B．頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值C．連續10次擲一枚骰子，結果都是出現1點，可以認為這枚骰子質地不均勻D．某市氣象臺預報“明天本市降水概率為70%”，指的是該市氣象臺專家中，有70%認為明天會降水，30%認為不降水【答案】AD【解析】中獎概率為，并不是買1000張這種彩票一定能中獎，故A錯誤；結合概率的概念即可判斷B項正確；C項中說的是“可以認為”，故C項正確：降水概率為70%就是降水的可能性有70%，故D錯誤.故選：AD.11．（2024湖南）下列說法不正確的是（

）A．甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，則比賽場，甲勝場B．某醫院治療一種疾病的治愈率為，前個病人沒有治愈，則第個病人一定治愈C．隨機試驗的頻率與概率相等D．用某種藥物對患有胃潰瘍的名病人治療，結果有人有明顯療效，現有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計其會有明顯療效的可能性為【答案】ABC【解析】概率只是說明事件發生的可能性大小，其發生具有隨機性，則A，B是錯的.頻率受試驗次數的影響，不穩定，但當試驗次數較多時頻率會穩定在概率附近，則C錯誤，D正確.故選：ABC.12．（2024廣東佛山市）下列說法中錯誤的有（）A．任何事件的概率總是在（0，1）之間B．頻率是客觀存在的，與試驗次數無關C．隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率D．概率是隨機的，在試驗前不能確定【答案】ABD【解析】必然事件發生的概率為1，不可能事件發生的概率為0，故A錯；頻率是由試驗的次數決定的，故B錯；概率是頻率的穩定值，故C正確，D錯.故選：ABD.填空題13．（2024上海虹口）某人拋擲一枚硬幣100次，結果正面朝上53次，設正面朝上為事件A，則事件A出現的頻率為．【答案】/0.53【解析】事件A出現的頻率為.故答案為：14．（2024湖北荊門）在一次羽毛球男子單打比賽中，運動員甲、乙進入了決賽．比賽規則是三局兩勝制．根據以往戰績，每局比賽甲獲勝概率為0.4，乙獲勝概率為0.6，利用計算機模擬實驗，產生內的整數隨機數，當出現隨機數1或2時，表示一局比賽甲獲勝，現計算機產生15組隨機數為：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，據此估計甲獲得冠軍的概率為．【答案】【解析】由計算機產生的15組數據中，甲獲得冠軍的數據有421，231，114，522，123，232，122，共7組，據此估計甲獲得冠軍的概率為．故答案為：.15．（2024河北）假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：9328124585696834312573930275564887301135據此估計，該運動員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為．【答案】/0.5【解析】兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數中有且只有一個數為1，2，3，4中的之一.它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10個，因此所求的概率為=0.5.故答案為：.16（2024·北京）某班有42名學生，其中選考物理的學生有21人，選考地理的學生有14人，選考物理或地理的學生有28人，從該班任選一名學生，則該生既選考物理又選考地理的概率為_______________.【答案】【解析】設選考物理的學生為集合，選考地理的同學為集合，由題意可得：，即，解得：，所以該班有人既選考物理又選考地理，所以從該班任選一名學生，則該生既選考物理又選考地理的概率為，故答案為：.解答題17．（2023甘肅）根據統計，某籃球運動員在5000次投籃中，命中的次數為2348次．(1)求這名運動員的投籃命中率；(2)若這名運動員要想投籃命中10000次，則大概需要投籃多少次？（結果精確到100）(3)根據提供的信息，判斷“該籃球運動員投籃3次，至少能命中1次”這一說法是否正確．【答案】(1)(2)(3)不正確【解析】（1）根據題意，某籃球運動員在5000次投籃中，命中的次數為2348次，則這名運動員的投籃命中率；（2）若這名運動員要想投籃命中10000次，則有；（3）雖然這名運動員的投籃命中率，但由概率的定義，“該籃球運動員投籃3次，至少能命中1次”說法不正確.18．（2024河南）對一批西裝進行了多次檢查，并記錄結果如下表：抽取件數50100150200300400檢出次品件數579152130檢出次品頻率(1)根據表中數據，計算并填寫每次檢出次品的頻率；(2)從這批西裝中任意抽取一件，抽到次品的經驗概率是多少？(3)如果要銷售1000件西裝，至少要額外準備多少件正品西裝以供買到次品的顧客調換？【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；(2)0.075；(3)75件.【解析】（1）利用頻率的計算公式可得，每次次檢出次品的頻率即為當次檢出次品件數除以本次抽取件數，所以從左到右的6次檢測對應的頻率分別為：，，，，，所以，對應的頻率表格如下：抽取件數50100150200300400檢出次品件數579152130檢出次品頻率0.10.070.060.0750.070.075（2）從這批西裝中任意抽取一件，抽到次品的經驗概率約為6次檢出次品頻率的穩定值，即，所以抽到次品的經驗概率約為；（3）由（2）可知，銷售1000件西裝大約有件次品，所以，應當準備75件正品西裝以供買到次品的顧客調換.19．（2024廣西）已知n是一個三位正整數，若n的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字，則稱n為“三位遞增數”（如135，256，345等）現要從甲乙兩名同學中，選出一個參加某市組織的數學競賽，選取的規則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數”中隨機抽取1個數，且只抽取1次，若抽取的“三位遞增數”是偶數，則甲參加數學競賽；否則，乙參加數學競賽.（1）由1，2，3，4，5，6可組成多少“三位遞增數”？并一一列舉出來.（2）這種選取規則對甲乙兩名學生公平嗎？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）不公平，理由見解析.【解析】（1）由題意知，所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數共有20個.分別是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數”有20個，記“甲參加數學競賽”為事件A，記“乙參加數學競賽”為事件B.則事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13個.由古典概型計算公式，得，又A與B對立，所以，所以.故選取規則對甲、乙兩名學生不公平.20．（2023·全國·模擬預測）魯班鎖是一種廣泛流傳于中國民間的智力玩具，相傳由春秋末期到戰國初期的魯班發明，它看似簡單，卻凝結著不平凡的智慧，易拆難裝，十分巧妙，每根木條上的花紋是賣點，也是手工制作的關鍵．某玩具公司開發了甲、乙兩款魯班鎖玩具，各生產了100件樣品，樣品分為一等品、二等品、三等品，根據銷售部市場調研分析，得到相關數據如下（單件成本利潤率＝利潤÷成本）：甲款魯班鎖玩具一等品二等品三等品單件成本利潤率10%8%4%頻數106030乙款魯班鎖玩具一等品二等品三等品單件成本利潤率7.5%5.5%3%頻數503020(1)用頻率估計概率，從這200件產品中隨機抽取一件，求該產品是一等品的概率；(2)若甲、乙兩款魯班鎖玩具的投資成本均為20000元，且每件的投資成本是相同的，分別求投資這兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤．【答案】(1)(2)甲魯班鎖玩具所獲得的利潤1400元；乙魯班鎖玩具所獲得的利潤1200元【解析】（1）用頻率估計概率，從這200件產品中隨機抽取一件，該產品是一等品的概率為．（2）甲款魯班鎖玩具一等品的利潤為（元），二等品的利潤為（元），三等品的利潤為（元），故100件甲款魯班鎖玩具的利潤為（元）．乙款魯班鎖玩具一等品的利潤為（元），二等品的利潤為（元），三等品的利潤為（元），故100件乙款魯班鎖玩具的利潤為（元）．21．（2023河北唐山）近年來，我國肥胖人群的規模急速增長，常用身體質量指數BMI來衡量人體胖瘦程度.其計算公式是：，成年人的BMI數值標準是：BMI<18.5為偏瘦；18.5≤BMI<24為正常；24≤BMI<28為偏胖；BMI≥28為肥胖.某公司隨機抽取了100個員工的體檢數據，將其BMI值分成以下五組：，，，，，得到相應的頻率分布直方圖.

(1)求