PAGE18-湖南省新寧縣崀山培英學校2024-2025學年高二數學上學期第一次月考（9月）試題（A卷）分值：150分時間：120分鐘留意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（共10個小題，每題5分，共50分）1．已知全集，，，A． B．C． D．2．命題“，都有”的否定是（）A．，使得 B．，都有或C．，使得 D．，使得3．若函數的圖象如圖所示，則（）A．，B．，C．，D．，4．已知如表所示數據的回來直線方程為，則實數的值為（）A． B． C． D．5．拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為（）A．1 B．2 C． D．6．古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子擅長織布，每天織的布都是前一天的倍，已知她天共織布尺，問這女子每天分別織布多少？”依據上題的已知條件，該女子其次天織布多少尺？()A． B． C． D．7．為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度8．若是過橢圓中心的弦，為橢圓的焦點，則面積的最大值為（）A．4 B．8 C．12 D．249．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，，則實數λ＝()A． B． C． D．10．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、多選題（下列各題均有兩個及以上正確答案，多選或漏選均不得分，選對部分選項得3分）11．下面命題正確的是（）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“隨意，則”的否定是“存在，則”.C．設，則“且”是“”的必要而不充分條件D．設，則“”是“”的必要不充分條件12．某城市收集并整理了該市2024年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數據，繪制了下面的折線圖.（）已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關系，則依據折線圖，下列結論正確的是最低氣溫與最高氣溫為正相關10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C．月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現在1月D．最低氣溫低于0℃的月份有4第II卷（非選擇題）三、填空題（共4個小題，每題5分，共20分）13．已知，，且，則的最大值是__________．14．，則的值是______15．假如橢圓的焦點坐標為，離心率為，過作直線交橢圓于兩點，則的周長為_________.16．設，則______.四、解答題（6個小題，共70分）17．（10分）已知三角形中，.（1）求；（2）若，，求三角形的面積.18．（12分）已知數列前項和為，且．(1)證明：是等比數列；(2)若數列，求數列的前項和．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，點為棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成果（滿分100分，成果均為不低于40分的整數）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實數的值；（2）若該校高一年級共有學生1000人，試估計該校高一年級期中考試數學成果不低于60分的人數．（3）若從樣本中數學成果在，與，兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，試用列舉法求這2名學生的數學成果之差的肯定值大于10的槪率．21．（12分）已知雙曲線的離心率為，虛軸長為4．（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；（Ⅱ）過點，傾斜角為的直線與雙曲線相交于兩點，為坐標原點，求的面積．22．（12分）已知函數．(1)若，且函數有零點，求實數的取值范圍；(2)當時，解關于的不等式；(3)若正數滿意，且對于隨意的恒成立，求實數的值．參考答案1．A【解析】【分析】依據集合的補運算以及交運算，即可簡潔求得結果.【詳解】由題可知：且，故可得.故選：A.【點睛】本題考查集合的交運算和補運算，屬基礎題.2．C【解析】【分析】干脆利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題“,都有”的否定是,使得.故選：C.【點睛】本題考查的學問點是命題的否定,其中嫻熟駕馭全稱命題：“,”的否定是特稱命題：“,非”,是解答此類問題的關鍵.3．D【解析】試題分析：由圖易知，而函數的圖象是由函數的圖象向下平移個單位得到的，而函數恒過點，所以由圖可知，故選D．考點：函數的圖象．4．A【解析】【分析】依據表中數據求得，代入回來直線可構造方程求得結果.【詳解】由表中數據可知：；，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查利用回來直線方程求解實際數據點的問題，關鍵是明確回來直線必過.5．C【解析】試題分析：拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線方程為.由漸近線的對稱性可知，焦點到兩漸近線距離相等.不妨計算焦點到直線即的距離，，選.考點：1.雙曲線、拋物線的幾何性質；2.點到直線的距離公式.6．B【解析】【分析】先依據題意，得到該女子每天所織布的長度構成等比數列，依據題意求出首項和公比，即可求出結果.【詳解】由題意可得，該女子每天所織布的長度構成等比數列，設公比為，首項為，前項和為，由題意可得，解得，所以其次天織的布為.故選B【點睛】本題主要考查等比數列的基本量運算，熟記等比數列的通項公式與求和公式即可，屬于基礎題型.7．A【解析】【分析】依據,因此只需把函數的圖象向左平移個單位長度．【詳解】因為，所以只需把函數的圖象向左平移個單位長度即可得，故選：A.【點睛】本題主要考查就三角函數的變換，左加右減只針對，屬于基礎題．8．A【解析】【分析】依據題意,由橢圓的方程求出a、b、c的值,設為橢圓的右焦點,其坐標為,再設A的坐標則依據對稱性得：,再表示出面積,由圖知,當A點在橢圓的頂點時,其面積最大,最終結合橢圓的標準方程即可求出面積的最大值.【詳解】解：依據題意,橢圓的方程為,其中,,則,設為橢圓的右焦點,其坐標為,橢圓的中心為,若是過橢圓中心的弦,則A、B關于原點對稱,設A的坐標,則B的坐標為,面積,當A點在橢圓的頂點,即時,其面積最大,此時,故選：A.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質,留意橢圓的對稱性,屬于簡潔題.9．D【解析】【分析】利用向量的平行四邊形法則和平面對量基本定理即可得出．【詳解】如圖，D是AB邊上一點，過點D作DE∥BC，交AC于點E，過點D作DF∥AC，交BC于點F，連接CD，則,因為,所以,由△ADE∽△ABC，得,所以，故λ＝．故選D.【點睛】嫻熟駕馭向量的平行四邊形法則和平面對量基本定理是解題的關鍵．10．D【解析】【分析】依據各選項的條件及結論，可畫出圖形或想象圖形，再結合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項．【詳解】選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不肯定平行，可能相交，可能異面；選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內的直線不肯定平行，可能異面；選項C錯誤，一個平面內垂直于兩平面交線的直線，不肯定和另一平面垂直，可能斜交；選項D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【點睛】本題考查空間直線位置關系的判定，這種位置關系的推斷題，可以舉反例或者用定理簡潔證明，屬于基礎題.11．ABD【解析】【分析】分別推斷充分性與必要性，即可得出選項ACD的正誤；依據全稱命題的否定是特稱命題，推斷選項B的正誤．【詳解】解：對于A，或，則“”是“”的充分不必要條件，故A對；對于B，全稱命題的否定是特稱命題，“隨意，則”的否定是“存在，則”，故B對；對于C，“且”“”，“且”是“”的充分條件，故C錯；對于D，，且，則“”是“”的必要不充分條件，故D對；故選：ABD．【點睛】本題主要考查命題真假的推斷，考查充分條件與必要條件的推斷，考查不等式的性質與分式不等式的解法，屬于易錯的基礎題．12．ABC【解析】【分析】依據折線圖逐個選項分析即可.【詳解】對A,由圖可知,最低氣溫與最高氣溫走勢基本相同,故最低氣溫與最高氣溫為正相關.故A正確.對B,10月的最高氣溫超過,5月的最高氣溫低于.故B正確.對C,1月的月溫差最大,超過,故C正確.對D,僅1,2,4月的的最低溫低于,故D錯誤.故選：ABC【點睛】本題主要考查了折線圖的理解,屬于基礎題.13．4【解析】【分析】由基本不等式可得mn4，留意等號成立的條件即可．【詳解】∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，∴由基本不等式可得mn4，當且僅當m＝n＝2時，取等號，故答案為4【點睛】本題考查基本不等式的應用，屬于基礎題．14．【解析】【分析】設，則，利用誘導公式及二倍角公式即可求出.【詳解】設，則，且，則故答案為：【點睛】本題考查了誘導公式與二倍角的余弦公式的應用，考查利用換元法求值問題，屬于基礎題.15．6【解析】【分析】由橢圓的幾何性質，求得的值，再結合橢圓的定義，即可求得的周長，得到答案.【詳解】設橢圓的標準方程為，因為橢圓的焦點坐標為，離心率為，即，且，解得，由橢圓的定義，可得的周長.故答案為：.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義、標準方程和簡潔的幾何性質的應用，其中解答熟記橢圓的幾何性質，合理利用橢圓的定義求解是解答的關鍵.16．1【解析】【分析】由函數的解析式，可得，運算求得結果.【詳解】由函數得，故答案為：1【點睛】本題主要考查利用分段函數的解析式求函數的值，屬于基礎題.17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通過正弦定理化簡已知條件，利用兩角和的正弦公式與二倍角公式即可求；（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式求出結果.【詳解】（1）三角形中，角、、所對的邊分別為、、，，由正弦定理可知，可得，，，，可得，因此，；（2）依據正弦定理得，得，.因為，所以.由余弦定理得，得.可得.【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的應用，以及特別角的三角函數值，嫻熟駕馭正弦、余弦定理是解本題的關鍵，屬于中等題.18．（1）見解析；（2）【解析】【分析】⑴由已知條件求出，再依據，證明結果⑵運用裂項相消法求出數列的和【詳解】(1)當時，是以為首項，2為公比的等比數列.(2)由(1)得：，【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式的求法及運用裂項相消法求出數列的和，較為基礎。19．（1）見解析；（2）．【解析】試題分析：(1)利用題意首先證明面然后利用線面垂直的結論可得.(2)建立空間直角坐標系，由平面的法向量可求得二面角的余弦值為．試題解析：⑴證明：取中點，連接分別是的中點四邊形是平行四邊形面,面⑵以點為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則設面的法向量為由，令，即面的一個法向量設二面角的大小為，則20．（1）a=0.03．（2）850（人）．（3）．【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質能求出的值；（2）先求出數學成果不低于分的概率，由此能求出數學成果不低于分的人數；（3）數學成果在的學生為分，數學成果在的學生人數為人，由此利用列舉法能求出這名學生的數學成果之差的肯定值大于的概率．試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.03.（2）數學成果不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴數學成果不低于60分的人數為：1000×0.85=850（人）．（3）數學成果在[40，50）的學生為40×0.05=2（人），數學成果在[90，100]的學生人數為40×0.1=4（人），設數學成果在[40，50）的學生為A，B，數學成果在[90，100]的學生為a，b，c，d，從樣本中數學成果在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，基本領件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中兩名學生的數學成果之差的肯定值大于10的狀況有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，∴這2名學生的數學成果之差的肯定值大于10的槪率為．考點：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解．21．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）依據已知條件及可得關于的方程組,從而可求得.（Ⅱ）由點斜式可得直線方程,與雙曲線聯立消去可得關于的一元二次方程.可得兩根之和,兩根之積.由弦長公式可得,依據點到面的距離公式可得原點到直線的距離,從而可求得的面積.試題解析：解：(Ⅰ)依題意可得解得雙曲線的標準方程為．(Ⅱ)直線的方程為設、由可得由韋達定理可得，即原點到直線的距離為于是的面積為考點：1雙曲線的方程,簡潔幾何性質;2直線與雙曲線的位置關系問題.22．(1)；(2)時；時；時；(3)；【解析】【分析】(1)由可得結果；(2)時，，分三種狀況探討，分別利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)時恒成立，當且僅當，即，即，由，可得，則，解不等式即可的結果．【詳解】(1)時，，由函數有零點，可得，即或；(2)時，，當即