第十章概率章末總結(jié)提升人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·歸納整合專(zhuān)題突破·素養(yǎng)提升專(zhuān)題一求古典概型的概率1.古典概型是一種最基本的概率模型,是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ),解題時(shí)要抓住兩個(gè)基本特征:有限性和等可能性.2.掌握古典概型的概率公式及其應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【例1】

為了促進(jìn)電影市場(chǎng)快速回暖,各地紛紛出臺(tái)各種優(yōu)惠措施.某影院為回饋顧客,擬通過(guò)抽球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)觀(guān)影卡充值滿(mǎn)200元的顧客進(jìn)行減免,規(guī)定每人在裝有4個(gè)白球、2個(gè)紅球的抽獎(jiǎng)箱中一次抽取兩個(gè)球.已知抽出1個(gè)白球減20元,抽出1個(gè)紅球減40元.(1)求某顧客所獲得的減免金額為40元的概率;(2)若某顧客去影院充值并參與抽獎(jiǎng),求其減免金額低于80元的概率.解

(1)設(shè)4個(gè)白球?yàn)閍,b,c,d,2個(gè)紅球?yàn)閑,f,則一次抽取兩個(gè)球,共ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef

15種情況,設(shè)事件A為顧客所獲得的減免金額為40元,則A共有ab,ac,ad,bc,bd,cd

6種情況,所以顧客所獲得的減免金額為40元的概率為(2)設(shè)事件B為顧客所獲得的減免金額為80元,則事件B只包含ef

1種情況,所以顧客所獲得的減免金額為80元的概率為P(B)=,故減免金額低于80元的概率P=1-P(B)=.規(guī)律方法

古典概型的解題方法主要有以下兩種:(1)采取適當(dāng)?shù)姆椒?按照一定的順序,把試驗(yàn)的所有結(jié)果一一列舉出來(lái),正確理解樣本點(diǎn)與事件A的關(guān)系.應(yīng)用公式P(A)=計(jì)算概率.(2)若所求概率的事件比較復(fù)雜,可把它分解成若干個(gè)互斥的事件,利用概率的加法公式求解;或求其對(duì)立事件,利用對(duì)立事件的概率求解.變式訓(xùn)練1[2023湖南郴州期末]數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,在古代我國(guó)人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計(jì)數(shù)方法.十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造,算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.例如:3可表示為“≡”,26可表示為“=⊥”.現(xiàn)有5根算籌,據(jù)此表示方法,若算籌不能剩余,則用1~9這9個(gè)數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是(

)A解析

1根算籌只能表示1,2根算籌可表示2和6,3根算籌可表示3和7,4根算籌可表示4和8,5根算籌可表示5和9,因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12個(gè),其中個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14,41,23,32,共4個(gè),所以所求概率為專(zhuān)題二互斥事件、對(duì)立事件的判斷及概率公式的應(yīng)用1.互斥事件是在一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生的事件,對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外,還要求二者必有一個(gè)發(fā)生.對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的事件,一般先要將它表示為若干個(gè)互斥事件的和.2.掌握互斥事件和對(duì)立事件的概率公式,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【例2】

某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱,記事件A=“只訂甲報(bào)”,事件B=“至少訂一種報(bào)”,事件C=“至多訂一種報(bào)”,事件D=“不訂甲報(bào)”,事件E=“一種報(bào)也不訂”,判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對(duì)立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E.解

(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)”中有可能只訂甲報(bào),即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生,故A與C不互斥.(2)事件B“至少訂一種報(bào)”與事件E“一種報(bào)也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的,故B與E是互斥事件;由于事件B與事件E在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,故B與E還是對(duì)立事件.(3)事件B“至少訂一種報(bào)”中有可能只訂乙報(bào),即有可能不訂甲報(bào),即事件B發(fā)生時(shí),事件D也可能發(fā)生,故B與D不互斥.(4)事件B“至少訂一種報(bào)”中包括“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”,事件C“至多訂一種報(bào)”中包括“什么也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”.由于這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生,故B與C不互斥.(5)由(4)的分析知,事件E“一種報(bào)也不訂”只是事件C的一種可能,事件C與事件E有可能同時(shí)發(fā)生,故C與E不互斥.【例3】

(多選題)黃種人群中各種血型的人所占的比例見(jiàn)下表:血型ABABO該血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同種血型的人可以輸血,O型血可以給任何一種血型的人輸血,任何血型的人都可以給AB型血的人輸血,其他不同血型的人不能互相輸血,下列結(jié)論正確的是(

)A.任找一個(gè)人,其血可以輸給A型血的人的概率是0.63B.任找一個(gè)人,B型血的人能為其輸血的概率是0.29C.任找一個(gè)人,其血可以輸給O型血的人的概率為1D.任找一個(gè)人,其血可以輸給AB型血的人的概率為1AD解析

任找一個(gè)人,其血型為A,B,AB,O型血的事件分別記為A',B',C',D',它們兩兩互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因?yàn)锳,O型血可以輸血給A型血的人,所以“任找一個(gè)人,其血可以輸給A型血的人”為事件A'∪D',根據(jù)互斥事件概率的加法公式,得P(A'∪D')=P(A')+P(D')=0.28+0.35=0.63,故A正確;B型血的人能為B,AB型血的人輸血,其概率為0.29+0.08=0.37,B錯(cuò)誤;由O型血只能接受O型血的人輸血知,C錯(cuò)誤;由任何血型的人都可以給AB型血的人輸血知,D正確.規(guī)律方法

1.互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別(1)不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱(chēng)為互斥事件.(2)對(duì)立事件則要同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件:一是不可能同時(shí)發(fā)生;二是必有一個(gè)發(fā)生.(3)在一次試驗(yàn)中,兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生,也可能只有一個(gè)發(fā)生,而兩個(gè)對(duì)立事件則必有一個(gè)發(fā)生且不可能同時(shí)發(fā)生.(4)對(duì)立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是對(duì)立事件.2.互斥事件與對(duì)立事件的概率計(jì)算(1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).3.求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和.(2)先求其對(duì)立事件的概率,然后再應(yīng)用公式P(A)=1-P()求解.變式訓(xùn)練2(多選題)不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張,一次任意取出2張卡片,則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而非對(duì)立的事件是(

)A.2張卡片都不是紅色B.2張卡片恰有一張紅色C.2張卡片至少有一張紅色D.2張卡片都為綠色ABD解析

從6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有“2張都為紅色”“2張都為綠色”“2張都為藍(lán)色”“1張紅色1張綠色”“1張紅色1張藍(lán)色”“1張綠色1張藍(lán)色”,在選項(xiàng)給出的四個(gè)事件中與“2張卡片都為紅色”互斥而非對(duì)立的事件有“2張卡片都不是紅色”“2張卡片恰有一張紅色”“2張卡片都為綠色”,其中“2張卡片至少有一張紅色”包含事件“2張卡片都為紅色”,二者并非互斥事件.專(zhuān)題三獨(dú)立事件及其概率求解1.相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件綜合在一起考查,解題時(shí)先要將復(fù)雜事件表示為若干個(gè)簡(jiǎn)單的互斥事件的和,判斷每個(gè)簡(jiǎn)單事件是否可寫(xiě)為相互獨(dú)立事件的積,再用互斥事件的概率加法公式求解.2.掌握相互獨(dú)立事件的概率公式,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【例4】

甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽,采取“三局兩勝”制,即兩人比賽過(guò)程中,誰(shuí)先勝兩局即結(jié)束比賽,先勝兩局的是勝方,另一方是敗方.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析,每局比賽甲獲勝的概率均為,甲、乙比賽沒(méi)有平局,且每局比賽是相互獨(dú)立的.(1)求比賽恰進(jìn)行兩局就結(jié)束的概率;(2)求這場(chǎng)比賽甲獲勝的概率.解

(1)比賽恰進(jìn)行兩局就結(jié)束對(duì)應(yīng)的事件A有兩種可能,事件A1:甲獲勝,事件A2:乙獲勝.(2)這場(chǎng)比賽甲獲勝對(duì)應(yīng)的事件B有兩種可能,事件B1:比賽兩局結(jié)束且甲獲勝;事件B2:比賽三局結(jié)束且甲獲勝.規(guī)律方法

求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.變式訓(xùn)練3甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是

.

0.18解析

前五場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸時(shí),甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸時(shí),甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.綜上所述,甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.108+0.072=0.18.專(zhuān)題四統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用1.概率和統(tǒng)計(jì)往往放到一塊進(jìn)行考查,處理時(shí)要分清各數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的事件,理解頻率與概率的關(guān)系,然后準(zhǔn)確求解問(wèn)題.2.掌握概率和統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用,提升數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【例5】

中華文明,源遠(yuǎn)流長(zhǎng);中華漢字,寓意深廣.為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,我市某中學(xué)舉行“漢字聽(tīng)寫(xiě)”比賽,賽后整理參賽學(xué)生的成績(jī),將學(xué)生的成績(jī)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí),并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,但均不完整.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題:(1)參加比賽的學(xué)生共有多少名?(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m的值為多少?表示D

等級(jí)的扇形的圓心角為多少度?(3)組委會(huì)決定從本次比賽獲得A等級(jí)的學(xué)生中,選出2名去參加全市中學(xué)生“漢字聽(tīng)寫(xiě)”大賽.已知A等級(jí)學(xué)生中男生有1名,請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求出所選2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率.解

(1)3÷15%=20,所以參加比賽的學(xué)生共有20名.(3)列表如下:第1人第2人男女1女2男

(男,女1)(男,女2)女1(女1,男)

(女1,女2)女2(女2,男)(女2,女1)

所有可能的結(jié)果共有6種情況,其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種,所以規(guī)律方法

1.概率和統(tǒng)計(jì)的交匯題在統(tǒng)計(jì)方面一般考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和一些統(tǒng)計(jì)的圖示,在概率方面一般是歸結(jié)為古典概型的知識(shí).2.求解古典概型的交匯問(wèn)題,關(guān)鍵是把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件,然后利用古典概型的有關(guān)知識(shí)解決,一般步驟為:(1)將題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件;(2)判斷事件是否為古典概型;(3)選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù);(4)代入古典概型的概率公式求解.變式訓(xùn)練4某大學(xué)藝術(shù)專(zhuān)業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng),根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層隨機(jī)抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小