第01講6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理課程標準學習目標①熟練掌握兩個計數原理。②靈活應用兩個計數原理解決數學與生活中的計數問題。③理解兩個計數原理的區別與聯系。④掌握分類與分步的計數原則及分類標準。1.理解與掌握兩個計數原理的計數方法；2能應用兩個計數原理解決一些簡單的實際問題；知識點01：分類加法計數原理（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：如果完成一件事情有類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,……在第類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.【即學即練1】（2023上·高二課時練習）音樂播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任選一首歌曲進行播放，有多少種不同的選法？【答案】【詳解】依題意一共有種選法.知識點02：分步乘法計數原理（1）定義：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：完成一件事需要個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……做第步有種不同的方法,則完成這件事共有種不同的方法.【即學即練2】（2023上·高二課時練習）一種號碼撥號鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數字，這4個撥號盤可以組成個四位數號碼？．【答案】【詳解】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第1步，有10種撥號方式，第2步，有10種撥號方式，第3步，有10種撥號方式，第4步，有10種撥號方式，根據分步計數原理，共可以組成個四位數的號碼.故答案為：.知識點03：兩個計數原理的聯系與區別聯系：分類加法計數原理和分步乘法計數原理,回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題.區別：①分類加法計數原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事.②分步乘法計數原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法相互依存,只有每一個步驟都完成才算做完這件事.題型01利用分類加法計數原理解題【典例1】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考期中）完成一項工作，有兩種方法，有6個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方法，從這10個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（

）A．6種 B．10種 C．4種 D．60種【典例2】（2023上·高二課時練習）某校高中三年級一班有優秀團員8人，二班有優秀團員10人，三班有優秀團員6人，學校組織他們去參觀某愛國主義教育基地．推選1名優秀團員為總負責人，有種不同的選法．【典例3】（2023上·高二課時練習）如圖，在由電鍵組A與B所組成的并聯電路中，要接通電源，使電燈發光的方法種數是．【典例4】（2023·全國·高二課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道、本地臺10個頻道和其他省市46個頻道的節目．(1)當這些頻道播放的節目互不相同時，一臺電視機共可以選看多少個不同的節目？(2)如果有3個頻道正在轉播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節目，一臺電視機共可以選看多少個不同的節目？【變式1】（2024·全國·高三專題練習）已知直線方程，若從0、1、2、3、5、7這六個數中每次取兩個不同的數分別作為A、B的值，則可表示條不同的直線．【變式2】（2023上·陜西漢中·高二校聯考階段練習）已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，現從這三個班中任選1人去參加活動，則不同的選法共有種.【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，組成數對，則其中的數對有多少個?題型02利用分步乘法計數原理解題【典例1】（2023上·山東·高二校聯考階段練習）甲同學計劃從3本不同的文學書和4本不同的科學書中各選1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．81種 B．64種 C．12種 D．7種【典例2】（2023下·高二課時練習）某公司員工義務獻血，在體檢合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人．從4種血型的人中各選1人去獻血，不同的選法種數為（）A．1200 B．600 C．300 D．26【典例3】（2023下·高二課時練習）在圖中的電路中，僅合上2只開關接通電路，有多少種不同的方法？

【變式1】（2023上·江西南昌·高二江西師大附中校考期中）用1，2，3，4可以組成無重復數字的三位數的個數為（

）A．16 B．24 C．36 D．48【變式2】（2023上·高二課時練習）某商場共有4個門，若從一個門進，另一個門出，不同走法的種數是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【變式3】（2023下·高二課時練習）現有3名老師、8名男生和5名女生共16人.若需1名老師和1名學生參加評選會議，則不同的選法種數為（）A．39 B．24C．15 D．16題型03兩個計數原理的綜合應用【典例1】（2023·全國·模擬預測）在正方形的每一個頂點處分別標上中的某一個數字（可以重復），則頂點處的數字都大于頂點處的數字的標注方法有（

）A．36種 B．48種 C．24種 D．26種【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（）A．48 B．18 C．24 D．36【典例3】（2023·全國·高二課堂例題）某班班委由2位女同學、3位男同學組成，現要從該班委里選出2人去參加學校組織的培訓活動，要求至少要有1位女同學參加，則不同的選法共有多少種？【變式1】（2023上·山東臨沂·高二校考階段練習）集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【變式2】（2023下·山東菏澤·高二校考階段練習）口袋中裝有8個白球和10個紅球每個球有不同編號，現從中取出2個球．(1)至少有一個白球的取法有多少種？(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？【變式3】（2023上·高二課時練習）從a、b、c、d、e這5個元素中取出4個，放在4個不同的格子中，且元素b不能放在第二個格子里．問：一共有多少種不同的放法？題型04用計數原理解決涂色（種植）問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）現有紅、黃、藍三種顏色，對如圖所示的正五角星的內部涂色（分割成六個不同區域），要求每個區域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區域）的顏色不同，則不同的涂色方法有（

）

A．48種 B．64種 C．96種 D．144種【典例2】（2023下·山東·高二校聯考階段練習）如圖，現要對某公園的4個區域進行綠化，有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個區域不能用同一種顏色的花卉，則不同的綠化方案有（

）A．48種 B．72種 C．64種 D．256種【典例3】（2023·全國·高三專題練習）用5種不同的顏色給圖中的四個區域涂色，每個區域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區域不同色，則共有多少種不同的涂色方法？1234【變式1】（2023下·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學校考期中）在如圖所示的四個區域中，有5種不同的花卉可選，每個區域只能種植一種花卉，且相鄰區域花卉不同，則不同的種植方法共有種（用數字作答）【變式2】（2023·山西臨汾·統考一模）如圖，現要對某公園的4個區域進行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個區域不能用同一種顏色的花卉，共有種不同的綠化方案（用數字作答）.【變式3】（2023下·江蘇常州·高二常州市北郊高級中學校考期中）如圖所示的一圓形花圃，擬在A，B，C，D區域種植花苗，現有3種不同顏色的花苗，每個區域種植1種顏色的花苗，且相鄰的2塊區域種植顏色不同的花苗，則不同的種植方法總數為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【變式4】（2023下·高二課時練習）用6種不同的顏色為如圖所示的廣告牌涂色，要求在A，B，C，D四個區域中相鄰(有公共邊的)區域不用同一種顏色，求共有多少種不同的涂色方法？A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學校考期末）甲?乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲?乙所選的課程不相同的選法共有（

）A．6種 B．12種 C．3種 D．9種2．（2023下·安徽池州·高二校聯考期中）“聲東擊西”是游擊戰爭的一種戰術：聲東可以擊東、南、西、北中的任意一個方向，以此靈活地打擊或消滅敵人.同樣還有“聲南擊北”等不同的戰術，由此可知這類戰術中打擊或消滅敵人的方法總數為（

）A．16 B．12 C．4 D．33．（2023下·福建泉州·高二校考期末）有5名學生報名參加3項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數為（

）A．243 B．125 C．60 D．1204．（2023下·黑龍江大慶·高二校考期中）完成一件事有三類不同方案，在第類方案中有種不同的方法，在第類方案中有種不同的方法，在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，其中（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（）A．48 B．18 C．24 D．366．（2023下·河北邯鄲·高二校聯考期中）有序數對滿足，且使關于的方程有實數解，則這樣的有序數對的個數為（

）A．15 B．14 C．13 D．107．（2023·全國·模擬預測）在正方形的每一個頂點處分別標上中的某一個數字（可以重復），則頂點處的數字都大于頂點處的數字的標注方法有（

）A．36種 B．48種 C．24種 D．26種8．（2023下·山東德州·高一統考期末）根據歷史記載，早在春秋戰國時期，我國勞動人民就普遍使用算籌進行計數.算籌計數法就是用一根根同樣長短和粗細的小棍子以不同的排列方式來表示數字，如圖所示.如果用算籌隨機擺出一個不含數字0的兩位數，個位用縱式，十位用橫式，則個位和十位上的算籌不一樣多的概率為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2023下·廣東茂名·高二統考期中）現有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（

）A．從中任選1個球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法10．（2023下·山東棗莊·高二棗莊八中校考階段練習）現有4個興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的是（

）A．選1人為負責人的選法種數為30B．每組選1名組長的選法種數為3024C．若推選2人發言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數為335D．若另有3名學生加入這4個小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種三、填空題11．（2023上·山東日照·高二日照一中校考階段練習）某次足球比賽共12支球隊參加，分三個階段進行（1）小組賽：經抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊進行單循環比賽，以積分及凈勝球數取前兩名；（2）半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場交叉淘汰賽（每兩隊主客場各賽一場決出勝者；（3）決賽：兩個勝隊參加決賽一場，決出勝負．則全部賽程共需比賽場．12．（2023下·江蘇揚州·高二揚州中學校考期中）已知直線中的a，b，c是取自集合中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數是．四、解答題13．（2023上·高二課時練習）已知某容器中，H有3種同位素，Cl有2種同位素，Na有3種同位素，O有4種同位素，試問一共可以組成多少種HCl和NaOH的分子？14．（2023·全國·高三專題練習）用6種不同顏色的彩色粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不能用同一種顏色的彩色粉筆.若允許同一種顏色多次使用，則該板報有多少種書寫方案?

B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習）“回文聯”是對聯中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數”，n為自然數，且n的各位數字反向排列所得自然數與n相等，這樣的n稱為“回文數”，如：1221，2413142．則所有5位數中是“回文數”且各位數字不全相同的共有（

）A．648個 B．720個 C．810個 D．891個2．（2023下·高二單元測試）算盤是中國古代的一項重要發明．現有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數字，梁下五珠，上撥一珠記作數字（如圖2中算盤表示整數）．如果撥動圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數的個數為（