第六章實數教材簡析本章的內容包括：平方根、立方根、實數．在學習了有理數的基礎上，加強與實際的聯系，從現實世界中抽象出一種不同于有理數的數，即無理數，開平方運算與開立方運算也是實際中經常用到的兩種運算；注意將新舊知識進行聯系與類比，數的范圍由有理數擴充到實數，與有理數有關的運算法則、運算律、運算順序在實數范圍內都仍然適用．在中考中，本章的考點有平方根、立方根的定義及運算，實數的運算及大小比較等，考查基本概念及基本計算．教學指導【本章重點】平方根、算術平方根、立方根、無理數、實數的有關概念和運算．【本章難點】對無理數意義的理解、用有理數估計無理數的方法及實數與數軸上點的對應關系．【本章思想方法】1．體會分類的數學思想，如：對實數進行分類．2．掌握分類討論思想，如：由于一個正數的平方根有兩個，且這兩個數互為相反數，因此與平方根有關的題目往往需要進行分類討論．3．掌握轉化思想，如：學習了平方根和立方根后，運用轉化思想將某些二次方程、三次方程轉化為求平方根、立方根的問題求解．4．體會數形結合思想，如：數的范圍由有理數擴充到實數，實數與數軸上的點建立了一一對應關系，這樣可以通過觀察“形”的特點，解答一些關于實數的比較抽象的問題．課時計劃6．1平方根3課時6．2立方根1課時6．3實數1課時6．1平方根第1課時算術平方根教學目標一、基本目標【知識與技能】1．了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數的算術平方根．2．根據算術平方根的概念求出非負數的算術平方根．3．了解算術平方根的性質．【過程與方法】加強概念形成過程的教學，提高學生的思維水平，鼓勵學生進行探索和交流，培養他們的創新意識和合作精神．【情感態度與價值觀】通過對實際生活中問題的解決，讓學生體驗數學與生活實際是緊密聯系著的，通過探究活動培養動手能力和激發學生學習數學的興趣．二、重難點目標【教學重點】算術平方根的概念．【教學難點】根據算術平方根的概念正確求出非負數的算術平方根．教學過程環節1自學提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P40的內容，完成下面練習．【3min反饋】1．一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算術平方根．a的算術平方根記為eq\r(a)，讀作“根號a”，a叫做被開方數.2．規定：0的算術平方根是0.3．算術平方根具有雙重非負性：(1)eq\r(a)≥0；(2)a≥0.4．求下列各數的算術平方根：(1)81；(2)0.25；(3)23.解：(1)9.(2)0.5.(3)eq\r(23).環節2合作探究，解決問題活動1小組討論(師生互學)【例1】求下列各數的算術平方根：(1)64；(2)0.36；(3)2eq\f(1,4)；(4)eq\r(412－402).【互動探索】(引發學生思考)如何根據算術平方根的定義求非負數的算術平方根？【解答】(1)∵82＝64，∴64的算術平方根是8.(2)∵0.62＝0.36，∴0.36的算術平方根是0.6.(3)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝eq\f(9,4)＝2eq\f(1,4)，∴2eq\f(1,4)的算術平方根是eq\f(3,2).(4)∵eq\r(412－402)＝eq\r(81)，92＝81，∴eq\r(81)＝9.∵32＝9，∴eq\r(412－402)的算術平方根是3.【互動總結】(學生總結，老師點評)(1)求一個數的算術平方根時，首先要弄清是求哪個數的算術平方根，分清求eq\r(81)與81的算術平方根的不同意義，不要被表面現象迷惑．(2)求一個非負數的算術平方根常借助平方運算，因此熟記常用平方數對求一個數的算術平方根十分有用．活動2鞏固練習(學生獨學)1．5的算術平方根為(A)A.eq\r(5) B．25C．±25 D．±eq\r(5)2．一個數的算術平方根是eq\f(3,4)，這個數是(C)A.eq\f(3,2) B．eq\r(\f(3,4))C.eq\f(9,16) D．不能確定3．要切一塊面積為0.81m2的正方形鋼板，4.eq\r(4)的算術平方根是eq\r(2).5．已知3＋a的算術平方根是5，求a的值．解：因為52＝25，所以25的算術平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.活動3拓展延伸(學生對學)【例2】已知x、y為有理數，且eq\r(x－1)＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．【互動探索】算術平方根和平方式都具有非負性，即eq\r(a)≥0，a2≥0，由幾個非負數相加和為0，可得出什么結論？【解答】由題意，得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.【互動總結】(學生總結，老師點評)算術平方根、絕對值和平方式都具有非負性，即eq\r(a)≥0，|a|≥0，a2≥0，當幾個非負數的和為0時，各數均為0.環節3課堂小結，當堂達標(學生總結，老師點評)算術平方根eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(概念：非負數a的算術平方根記作\r(a),性質：雙重非負性\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0,\r(a)≥0))))練習設計請完成本課時對應練習！第2課時估算算術平方根教學目標一、基本目標【知識與技能】1．會比較兩個數的算術平方根的大小．2．會估算一個數的算術平方根的大致范圍，掌握估算的方法，形成估算的意識．3．會用計算器求一個數的算術平方根．【過程與方法】體驗“無限不循環小數”的含義，感受存在著不同于有理數的一類新數．【情感態度與價值觀】培養學生的探究能力和歸納問題的能力．二、重難點目標【教學重點】夾值法及估計一個(無理)數的大小．【教學難點】夾值法及估計一個(無理)數的大小的思想．教學過程環節1自學提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P41～P44的內容，完成下面練習．【3min反饋】1．無限不循環小數是指小數位數無限，且小數部分不循環的小數．實際上，許多正有理數的算術平方根(例如eq\r(,3)，eq\r(,5)，eq\r(,7))都是無限不循環小數．2．被開方數擴大(或縮小)與它的算術平方根擴大(或縮小)的規律：當被開方數擴大(或縮小)到原來的100倍eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))，10000倍eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10000)))…時，其算術平方根相應地擴大(或縮小)到原來的10倍eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))，100倍eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))…3．用計算器求一個正有理數的算術平方根的方法：大多數計算器都有eq\x(\r())鍵，用它可以求出任意一個正有理數的算術平方根(或其近似值)．先按eq\x(ON)鍵開機，再按eq\x(\r())鍵、“被開方數”、eq\x(＝)，即可顯示“算術平方根”．4．與eq\r(,37)最接近的整數是(B)A．5 B．6C．7 D．8環節2合作探究，解決問題活動1小組討論(師生互學)【例1】通過估算比較下列各組數的大小：(1)eq\r(5)與1.9；(2)eq\f(\r(6)＋1,2)與1.5.【互動探索】(引發學生思考)(1)估算eq\r(5)的大小，或先求1.9的平方，再比較5與1.92的大小；(2)先估算eq\r(6)的大小，再比較eq\r(6)與2的大小，從而進一步比較eq\f(\r(6)＋1,2)與1.5的大小．【解答】(1)(方法一)因為5>4，所以eq\r(5)>eq\r(4)，即eq\r(5)>2，所以eq\r(5)>1.9.(方法二)因為1.92＝3.61,3.61＜5，所以eq\r(5)>1.9.(2)因為6>4，所以eq\r(6)>eq\r(4)，所以eq\r(6)>2，所以eq\f(\r(6)＋1,2)>eq\f(2＋1,2)＝1.5，即eq\f(\r(6)＋1,2)>1.5.【互動總結】(學生總結，老師點評)比較兩個數的大小常用方法有：①作差比較法；②作商比較法；③移因數于根號內，再比較大小；④利用平方法比較無理數的大小等．比較無理數與有理數的大小時要先估算無理數的近似值，再比較它與有理數的大小．活動2鞏固練習(學生獨學)1．估計eq\r(,5)＋1的值，應在(C)A．1和2之間 B．2和3之間C．3和4之間 D．4和5之間2．估算eq\r(19)－2的值(B)A．在1和2之間 B．在2和3之間C．在3和4之間 D．在4和5之間3．計算：(1)eq\r(1225)；(2)eq\r(36.42)(精確到0.001)；(3)eq\r(13)(精確到0.001)．解：(1)eq\r(1225)＝35.(2)eq\r(36.42)≈6.035.(3)eq\r(13)≈3.606.活動3拓展延伸(學生對學)【例2】全球氣候變暖導致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一種低等植物苔蘚開始在巖石上生長．每個苔蘚都會長成近似圓形，苔蘚的直徑和冰川消失的時間近似地滿足如下關系式：d＝7×eq\r(t－12)(t≥12)．其中d代表苔蘚的直徑，單位是厘米；t代表冰川消失的時間，單位是年．(1)計算冰川消失16年后苔蘚的直徑；(2)如果測得一些苔蘚的直徑是35厘米，則冰川約是在多少年前消失的？【互動探索】(1)根據題意可知是求當t＝16時d的值，直接把對應數值代入關系式即可求解；(2)根據題意可知是求當d＝35時t的值，直接把對應數值代入關系式即可求解．【解答】(1)當t＝16時，d＝7×eq\r(16－12)＝7×2＝14.即冰川消失16年后苔蘚的直徑是14厘米．(2)當d＝35時，即7×eq\r(t－12)＝35，所以t－12＝25，解得t＝37.即冰川約是在37年前消失的．【互動總結】(學生總結，老師點評)本題考查算術平方根的實際應用，注意實際問題中涉及開平方通常取算術平方根．環節3課堂小結，當堂達標(學生總結，老師點評)1．夾值法及估計一個(無理)數的大小．2．用計算器求一個正數的算術平方根．練習設計請完成本課時對應練習！第3課時平方根教學目標一、基本目標【知識與技能】掌握數的開方的意義、平方根的意義、平方根的表示方法．【過程與方法】通過帶領學生探究一個數的平方根，使學生理解數的開方、平方根的概念．【情感態度與價值觀】培養學生的探究能力和歸納問題的能力．二、重難點目標【教學重點】平方根的概念．【教學難點】求一個數的平方根．教學過程環節1自學提綱、生成問題【5min閱讀】閱讀教材P44～P46的內容，完成下面練習．【3min反饋】1．一般地，如果一個數x的平方等于a，那么這個數x就叫做a的平方根或叫二次方根．也就是說，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．2．一個正數有兩個平方根，且它們互為相反數；0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根．3．求一個數a的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算．4．下列說法不正確的是(C)A．－eq\r(2)是2的平方根B.eq\r(2)是2的平方根C．2的平方根是eq\r(2)D．2的算術平方根是eq\r(2)5．求下列各數的平方根：16,0，eq\f(4,9)，242.解：16的平方根是±4.0的平方根是0.eq\f(4,9)的平方根是±eq\f(2,3).242的平方根是±24.環節2合作探究，解決問題活動1小組討論(師生對學)【例1】求下列各數的平方根：(1)1eq\f(24,25)；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)eq\r(81).【互動探索】(引發學生思考)把帶分數化為假分數，含有乘方運算先求出它的冪．注意正數有兩個互為相反數的平方根．【解答】(1)∵1eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(7,5)))2＝eq\f(49,25)，∴1eq\f(24,25)的平方根是±eq\f(7,5)，即±eq\r(1\f(24,25))＝±eq\f(7,5).(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±eq\r(0.0001)＝±0.01.(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±eq\r(－42)＝±4.(4)∵(±3)2＝9＝eq\r(81)，∴eq\r(81)的平方根是±3.【互動總結】(學生總結，老師點評)正確理解平方根的概念，明確是求哪一個數的平方根．如(4)中就是求9的平方根．【例2】已知一個正數的兩個平方根分別是2a＋1和a－4，求這個數【互動探索】(引發學生思考)一個正數的平方根有兩個，它們之間有什么關系呢？【解答】由于一個正數的兩個平方根分別是2a＋1和a－4，則有2a＋1＋即3a－3＝0，解得a所以這個數為(2a＋1)2＝(2＋1)2【互動總結】(學生總結，老師點評)一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數，即它們的和為零．活動2鞏固練習(學生獨學)1．關于平方根，下列說法正確的是(B)A．任何一個數有兩個平方根，并且它們互為相反數B．負數沒有平方根C．任何一個數只有一個算術平方根D．以上都不對2．如果a、b分別是16的兩個平方根，那么ab＝－