第第頁1.2集合間的基本關系課程標準學習目標①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集、真子集;②理解與掌握空集的含義，在解題中把握空集與非空集合、任意集合的關系。1．能利用集合間的包含關系解決兩個集合間的問題。2．在解決集合問題時，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集時參數所具備的意義。3.能利用Venn圖表達集合間的關系。4.判斷集合之間的關系時，要從元素入手。知識點01：SKIPIF1<0圖（韋恩圖）在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖形稱為SKIPIF1<0圖。SKIPIF1<0圖和數軸一樣，都是用來解決集合問題的直觀的工具。利用SKIPIF1<0圖，可以使問題簡單明了地得到解決。對SKIPIF1<0圖的理解(1)表示集合的SKIPIF1<0圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.(2)用SKIPIF1<0圖表示集合的優點是能夠呈現清晰的視覺形象,即能夠直觀地表示集合之間的關系,缺點是集合元素的公共特征不明顯.知識點02：子集1子集：一般地，對于兩個集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果集合SKIPIF1<0中任意一個元素都是集合SKIPIF1<0中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合SKIPIF1<0為集合SKIPIF1<0的子集（1）記法與讀法：記作SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)，讀作“SKIPIF1<0含于SKIPIF1<0”(或“SKIPIF1<0包含SKIPIF1<0”)（2）性質：①任何一個集合是它本身的子集，即SKIPIF1<0.②對于集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0圖表示：2集合與集合的關系與元素與集合關系的區別符號“SKIPIF1<0”表示集合與集合之間的包含關系,而符號“SKIPIF1<0”表示元素與集合之間的從屬關系.【即學即練1】（2023·全國·高三專題練習）寫出集合SKIPIF1<0的所有子集．【答案】SKIPIF1<0【詳解】集合SKIPIF1<0的所有子集有：SKIPIF1<0知識點03：集合相等一般地,如果集合SKIPIF1<0的任何一個元素都是集合SKIPIF1<0的元素,同時集合SKIPIF1<0的任何一個元素都是集合SKIPIF1<0的元素,那么集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0相等,記作SKIPIF1<0.也就是說,若SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0.

（1）SKIPIF1<0的SKIPIF1<0圖表示（2）若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關【即學即練2】（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？茧A段練習）下面說法中不正確的為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】對于A，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A正確；對于B，因集合SKIPIF1<0的元素為有序數對，而SKIPIF1<0的元素為實數，兩個集合的對象不同，B不正確；對于C，因集合SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都表示大于2的數形成的集合，即SKIPIF1<0，C正確；對于D，由列舉法表示集合知SKIPIF1<0正確，D正確.故選：B知識點04：真子集的含義如果集合SKIPIF1<0，但存在元素SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，我們稱集合SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的真子集;（1）記法與讀法：記作SKIPIF1<0，讀作“SKIPIF1<0真包含于SKIPIF1<0”(或“SKIPIF1<0真包含SKIPIF1<0”)（2）性質：①任何一個集合都不是是它本身的真子集.②對于集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0圖表示：【即學即練3】（2023·全國·高三專題練習）滿足條件：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的集合M的個數為______.【答案】7【詳解】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0可知，M中的元素個數多于SKIPIF1<0中的元素個數，不多于SKIPIF1<0中的元素個數，因此M中的元素來自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素時，M有3個；取2個元素時，有3個；取3個元素時，有1個，故足條件：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的集合M的個數有7個，故答案為：7.知識點05：空集的含義我們把不含任何元素的集合，叫做空集，記作：SKIPIF1<0規定：空集是任何集合的子集，即SKIPIF1<0;性質：①空集只有一個子集，即它的本身，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相同點都表示無都是集合都是集合不同點SKIPIF1<0表示集合；SKIPIF1<0是實數SKIPIF1<0不含任何元素SKIPIF1<0含有一個元素SKIPIF1<0SKIPIF1<0不含任何元素SKIPIF1<0含有一個元素，該元素為：SKIPIF1<0關系SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0【即學即練4】（2023·甘肅慶陽·高一校考階段練習）有下列四個命題：①＝{0}；②SKIPIF1<0{0}；③{1}SKIPIF1<0{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①錯誤，②正確；SKIPIF1<0，故③正確，④錯誤，正確的個數為2.故選：B題型01判斷兩個集合的包含關系【典例1】（2023·寧夏銀川·校聯考二模）下列集合關系中錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】對于A：集合SKIPIF1<0為點集，含有元素SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0含有兩個元素SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不包含于SKIPIF1<0，故A錯誤；對于B：SKIPIF1<0，故B正確；對于C：SKIPIF1<0，故C正確；對于D：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確；故選：A【典例2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統考期末）已知集合SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意知，，所以SKIPIF1<0.故選：B.【典例3】（2023·高三課時練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的關系滿足（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B．【典例4】（2023·高一單元測試）設集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則集合SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系是______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中元素都屬于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0中元素SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學?？茧A段練習）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則這三個集合間的關系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，{偶數}SKIPIF1<0，因此集合SKIPIF1<0中的任意元素都是集合SKIPIF1<0中的元素，即有SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0中的每一個元素都是集合SKIPIF1<0中的元素，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C題型02判斷子集（真子集）的個數【典例1】（2023·陜西咸陽·統考三模）設集合SKIPIF1<0，則集合SKIPIF1<0的真子集個數是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】B【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以集合A的真子集個數是SKIPIF1<0，故選：B．【典例2】（2023·高一單元測試）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足條件SKIPIF1<0的集合SKIPIF1<0的個數為_____個.【答案】31【詳解】集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，故有SKIPIF1<0，故答案為：31【變式1】（2023·江西吉安·統考模擬預測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，滿足這樣的集合SKIPIF1<0的個數（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】根據題意可知，集合SKIPIF1<0還應包含集合SKIPIF1<0中除元素1，2之外的其他元素；若集合SKIPIF1<0中有三個元素，則SKIPIF1<0可以是SKIPIF1<0；若集合SKIPIF1<0中有四個元素，則SKIPIF1<0可以是SKIPIF1<0；若集合SKIPIF1<0中有五個元素，則SKIPIF1<0可以是SKIPIF1<0；即這樣的集合SKIPIF1<0的個數為7個.故選：B【變式2】（2023·全國·高一專題練習）集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的子集的個數為（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【詳解】集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0有SKIPIF1<0個子集.故選：D．題型03求集合中子集（真子集）【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0成立的實數SKIPIF1<0的取值集合為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的一個真子集可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】由題意集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,則M的一個真子集可以是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：BC.【典例2】（2023·高一課時練習）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若用列舉法表示，則集合SKIPIF1<0是________.【答案】{?，{1}，{2}，{1,2}}【詳解】由題意得，A＝{1,2}，B＝{x|x?A}，則集合B中的元素是集合A的子集：?，{1}，{2}，{1,2}，所以集合B＝{?，{1}，{2}，{1,2}}，故答案為：{?，{1}，{2}，{1,2}}.【變式1】（多選）（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學?？计谀┮阎蟂KIPIF1<0，集合SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，則集合N可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【詳解】集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則集合SKIPIF1<0中至少包含2，4兩個元素，又不能等于或多于SKIPIF1<0，2，3，4，SKIPIF1<0中的元素，所以集合SKIPIF1<0可以是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故選：ABC題型04空集的概念集判斷【典例1】（2023·河北·高三學業考試）下列集合中，結果是空集的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】A選項：SKIPIF1<0，不是空集；B選項：SKIPIF1<0{x|x>6或x<1}，不是空集；C選項：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項：不存在既大于6又小于1的數，即：{x|x>6且x<1}=SKIPIF1<0.故選：D【典例2】（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中校考期中）下列各式中：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0.正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】①集合之間只有包含、被包含關系，故錯誤；②兩集合中元素完全相同，它們為同一集合，則SKIPIF1<0，正確；③空集是任意集合的子集，故SKIPIF1<0，正確；④空集沒有任何元素，故SKIPIF1<0，錯誤；⑤兩個集合所研究的對象不同，故SKIPIF1<0為不同集合，錯誤；⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關系，故錯誤；∴②③正確.故選：B.【變式1】（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）下列六個關系式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0．其中正確的個數是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【詳解】①正確，集合中元素具有無序性；②正確，任何集合是自身的子集；③錯誤，SKIPIF1<0表示空集，而SKIPIF1<0表示的是含SKIPIF1<0這個元素的集合，所以SKIPIF1<0不成立.④錯誤，SKIPIF1<0表示空集，而SKIPIF1<0表示含有一個元素0的集合，并非空集，所以SKIPIF1<0不成立；⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；⑥正確，由元素與集合的關系知，SKIPIF1<0．故選：C.【變式1】（多選）（2023·全國·高一校聯考階段練習）下列關系中正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】選項A：空集中沒有元素，故A錯誤；選項B：SKIPIF1<0中只有一個元素SKIPIF1<0，故B正確；選項C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正確，故選：BCD題型05空集的性質及應用【典例1】（2023·全國·高一專題練習）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是____.【答案】m≥1【詳解】∵M＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案為m≥1【典例2】（2023·高一課時練習）不等式組SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是_____________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：∵不等式組SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，故不等式組SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，故不滿足條件；②當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，不等式組SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，滿足條件；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，不等式組SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，不滿足條件，綜上可得實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【變式1】（2022秋·湖南永州·高一?？茧A段練習）若集合SKIPIF1<0為空集，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是______.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】因為集合SKIPIF1<0為空集，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0題型06判斷兩個集合是否相等【典例1】（2023·全國·高三專題練習）下列集合中表示同一集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】對AD，兩集合的元素類型不一致，則SKIPIF1<0，AD錯；對B，由集合元素的無序性可知，SKIPIF1<0，B對；對C，兩集合的唯一元素不相等，則SKIPIF1<0，C錯；故選：B【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）下列與集合SKIPIF1<0表示同一個集合的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【詳解】由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以根據集合的表示方法知A，C與集合M表示的是同一個集合，集合SKIPIF1<0的元素是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩個數，SKIPIF1<0的元素是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0這兩個等式，與集合M的元素是有序數對(可以看做點的坐標或者對應坐標平面內的點)不同,故BD錯誤.故選：SKIPIF1<0．【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）下面說法中，正確的為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】解：方程SKIPIF1<0中x的取值范圍為R，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以A正確；SKIPIF1<0表示直線SKIPIF1<0上點的集合，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B錯誤；集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都表示大于2的實數構成的集合，所以C正確；由于集合的元素具有無序性，所以SKIPIF1<0，所以D正確．故選：ACD．題型07根據兩個集合相等求參數【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．1或2 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．2 D．1【答案】C【詳解】解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，與集合元素互異性矛盾，故SKIPIF1<0不正確.經檢驗可知SKIPIF1<0符合.故選：C【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一秀全中學校考期末）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的值；【答案】(1)SKIPIF1<0【詳解】（1）由已知得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；【變式1】（2023秋·廣東江門·高一統考期末）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若P=Q，則SKIPIF1<0_________.【答案】-2【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若P=Q，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：-2.題型08根據集合的包含關系求參數【典例1】（2023·吉林·統考模擬預測）已知集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或1 B．0或1 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：由集合SKIPIF1<0，對于方程SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，此時方程無解，可得集合SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，解得SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以實數SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023春·上海寶山·高一上海交大附中校考期中）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的值是_________．【答案】-3【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.經檢驗，SKIPIF1<0符合題意，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·湖北黃石·高一校聯考期末）已知集合SKIPIF1<0（1）當SKIPIF1<0時，求實數SKIPIF1<0的值；（2）當SKIPIF1<0時，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】分析：利用一元二次不等式的解法，化簡集合SKIPIF1<0化簡集合SKIPIF1<0（1）利用集合相等的定義可得結果；（2）利用子集的定義可得結果.詳解：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0集合SKIPIF1<0（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即實數SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0成立的實數a的取值范圍是_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故實數a的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式2】（2023·高一課時練習）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B?A，求實數a，b的值．【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．【詳解】因為B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B?A，①當B中有一個元素時，B＝{1}或B＝{﹣1}當B＝{1}時，SKIPIF1<0，解得a＝2，b＝1；當B＝{﹣1}時，SKIPIF1<0，解得a＝﹣2，b＝1；②當B中有兩個元素時，B＝A，即B＝{﹣1，1}，SKIPIF1<0，解得a＝0，b＝﹣1；③當SKIPIF1<0時，只需滿足a2﹣4b＜0，題型09新定義題【典例1】（2023·全國·高一專題練習）給定集合SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個“好元素”，由SKIPIF1<0的3個元素構成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________個．【答案】6【詳解】若不含好元素，則集合S中的3個元素必須為連續的三個數，故不含好元素的集合共有SKIPIF1<0，共有6個.故答案為：6．【典例2】（2023·高一課時練習）設SKIPIF1<0是整數集的一個非空子集，對于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個“孤立元”，給定SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________個．【答案】7【詳解】由集合的新定義知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合SKIPIF1<0不含“孤立元”，則集合SKIPIF1<0中的三個數必須連在一起，所以符合題意的集合是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共7個．故答案為：7.本節重點方法（數軸輔助法）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍_________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】用數軸表示兩集合的位置關系，如上圖所示，或要使SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以實數SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，滿足要求；當SKIPIF1<0時，根據題意作出如圖所示的數軸，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．

綜上，實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.本節數學思想方法（分類討論法）【典例1】（2023·高一課時練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】由題意知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，則方程為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，不合題意，舍去，當SKIPIF1<0時，則方程為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不合題意，舍去，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則由題意知SKIPIF1<0，則1,4為方程SKIPIF1<0兩根，根據韋達定理得SKIPIF1<0，綜上所述SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【典例2】（2023·高一課時練習）已知集合SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.綜合①②，得實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.（2）（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.本節易錯題（忽略空集）【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，符合題意；當SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上可得SKIPIF1<0，即實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值構成的集合為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】∵集合SKIPIF1<0，∴集合SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0三種情況，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴實數m的取值構成的集合為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<01.2集合間的基本關系A夯實基礎一、單選題1．（2023秋·貴州遵義·高一統考期末）已知集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則集合A的子集的個數為（

）A．15 B．16 C．31 D．32【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可知，集合SKIPIF1<0中含有5個元素，所以集合SKIPIF1<0的子集個數為SKIPIF1<0.故選：D.2．（2023·全國·高一專題練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則a的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A3．（2023春·湖北孝感·高一統考開學考試）下面五個式子中：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，正確的有（

）A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤【答案】C【詳解】解：①中，SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0中的一個元素，SKIPIF1<0，所以①錯誤；②中，空集是任一集合的子集，所以②正確；③中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的子集，SKIPIF1<0，所以③錯誤；④中，任何集合是其本身的子集，所以④正確；⑤中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的元素，所以⑤正確.故選：C.4．（2023春·云南紅河·高二?？茧A段練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由數軸法可知SKIPIF1<0.故選：C．5．（2023·北京東城·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值集合為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以實數m的取值集合為SKIPIF1<0.故選：C6．（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學?？茧A段練習）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】A【詳解】因為集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.二、多選題7．（2023秋·四川瀘州·高一統考期末）給出下列四個結論，其中正確的結論有（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．集合SKIPIF1<0是無限集D．集合SKIPIF1<0的子集共有4個【答案】BCD【詳解】對于A：SKIPIF1<0是指不含任何元素的集合，故A錯誤；對于B：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故B正確；對于C：有理數有無數個，則集合SKIPIF1<0是無限集，故C正確；對于D：集合SKIPIF1<0元素個數為2個，故集合SKIPIF1<0的子集共有SKIPIF1<0個，故D正確．故選：BCD．8．（2023秋·廣東揭陽·高一惠來縣第一中學?？计谥校┮阎蟂KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列命題中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】ABC【詳解】SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故A正確.SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故D不正確.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故B正確.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故C正確.故選：ABC．三、填空題9．（2023·全國·高一專題練習）已知集合M滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0則集合M的個數為______．【答案】7【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可以為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共計7個，故答案為：7.10．（2023·高一單元測試）已知集合SKIPIF1<0有且僅有兩個子集，則SKIPIF1<0的取值集合為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，集合SKIPIF1<0有且僅有兩個子集，則集合SKIPIF1<0只有一個元素，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，符合題意；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合題意，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合題意.綜上所述，SKIPIF1<0的取值集合為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題11．（2023·高一課時練習）設集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0中元素，所以將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0中元素，當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，此時SKIPIF1<0符合題意；當SKIPIF1<0時，①SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0符合題意；②SKIPIF1<0，此時不滿足集合元素的互異性，舍去；綜上SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.12．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－SKIPIF1<0<x≤2}．若B?A，求實數a的取值范圍．【答案】實數a的取值范圍SKIPIF1<0.【詳解】解：SKIPIF1<0時，A＝R，B＝{x|－SKIPIF1<0<x≤2}，滿足B?A，符合題意；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為B?A，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為B?A，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故綜上可知，實數a的取值范圍為SKIPIF1<0.B能力提升1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的關系表示最準確的為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互不包含【答案】C【詳解】對于集合SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習）設a，b是實數，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．S