高中數學精編資源河北省“五個一”名校聯盟高一年級聯考(2023.06)數學試卷(滿分:150分,測試時間:120分鐘)一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知向量,則下列選項中與共線的單位向量是()A.; B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出與向量共線的單位向量即可得解.【詳解】,,與共線的單位向量是,故選:B2.某學校為了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣作抽樣調查,擬從初中部和高中部兩層共抽取名學生,已知該校初中部和高中部分別有和名學生,則正確的()A.高中部產生個樣本B.初中部產生個樣本C.不同級部每個學生被抽取的可能性不相同D.可以從兩個級部各抽取個樣本【答案】A【解析】【分析】利用分層抽樣可得出高中部和初中部樣本的容量,即可得出合適的選項.【詳解】從初中部和高中部兩層共抽取名學生,已知該校初中部和高中部分別有和名學生,所有,初中部產生的樣本的容量為,高中部產生的樣本的容量為,則A對,BCD均錯.故選:A.3.已知為虛數單位,若復數,則下列四個選項正確的是()A.B.若是復數的共軛復數,則C.復數的虛部為D.復數在復平面內對應的點位于第一象限【答案】B【解析】【分析】利用復數的四則運算化簡復數,利用復數的模長公式可判斷A選項;利用共軛復數的定義可判斷B選項;利用復數的概念可判斷C選項;利用復數的幾何意義可判斷D選項.【詳解】因為.對于A選項,,A錯;對于B選項,,B對;對于C選項,復數的虛部為,C錯;對于D選項,復數在復平面內對應的點位于第二象限,D錯.故選:B.4.若的周長等于20,面積是,則邊的長是A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用面積公式得到的值,結合周長為,再根據余弦定理列出關于的方程,求出的值即為的值.【詳解】因為面積公式,所以,得,又周長為,故,由余弦定理得,,故,解得,故選C.【點睛】考查主要考查余弦定理,以及會用三角形的面積公式的應用,屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數有關的問題時,還需要記住等特殊角的三角函數值,以便在解題中直接應用.5.已知平面向量滿足,,,則向量與向量的夾角為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據模長公式得,結合夾角公式即可求解.【詳解】,,,由于向量與向量的夾角為.故選:D.6.元宵節是春節之后的第一個重要節日,元宵節又稱燈節,很多地區家家戶戶都掛花燈.下圖是小明為自家設計的一個花燈,該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成,若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為40cm和20cm,正六棱臺與正六棱柱的高分別為10cm和60cm,則該花燈的體積為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定的幾何體,求出正六棱臺兩底面積,再利用臺體、柱體的體積公式計算作答.【詳解】依題意,花燈的體積等于上面的正六棱臺體積與下面的正六棱柱體積的和,正六棱臺的兩個底面積分別為,,所以花燈的體積.故選:C7.已知圓錐的頂點為,底面圓心為,為底面直徑,,,點在底面圓周上,且二面角為,則下列各選項正確的是()A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側面積為C. D.過圓錐任意兩條母線的截面中面積最大的為【答案】C【解析】【分析】根據圓錐的體積、側面積判斷A、B選項的正確性;利用二面角的知識判斷C;對于D選項,結合三角形的面積公式求解判斷即可.【詳解】依題意,,,所以,A選項,圓錐的體積為,A選項錯誤;B選項,圓錐的側面展開圖扇形弧長為,所以圓錐的側面積為,B選項錯誤;C選項,設是的中點,連接,則,所以是二面角的平面角,則,所以,故,則,C選項正確;D選項,設過圓錐任意兩條母線的截面為,,在中,,因為,所以當時,截面面積最大,而,故D選項錯誤.故選:C.8.已知,,且,令,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據,,求得的關系,然后將向量的坐標運算,,轉化成只含或的關系式,,最后結合二倍角公式代入計算求解;【詳解】由,,所以,故,所以,,所以所以.故選:B.二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.設為復數,則下列命題中一定成立的是()A.如果,那么B.如果,那么C.如果,那么D.如果,那么【答案】BC【解析】【分析】舉例即可說明A、D項;根據即可得出B項;由,即可判斷C項.【詳解】對于A項,取,時,,但虛數不能比較大小,故A項錯誤;對于B項,由,得.又,,所以,故B項正確;對于C項,因為,所以,故C項正確;對于D項,取,,滿足,但是,故D項錯誤.故選:BC.10.小明在一次面試活動中,10位評委給他的打分分別為:70、85、86、88、90、90、92、94、95、100.則下列說法正確的有()A.這10個分數的中位數為90B.這10個分數第60百分位數為91C.這10個分數的平均數大于中位數D.去掉一個最低分和一個最高分后,平均分數會變大,而分數方差會變小【答案】ABD【解析】【分析】分別求得中位數、百分位數、平均值、方差判斷各選項.【詳解】對于選項A,10個分數從小到大排列后第5個和第6個數的平均值為,即中位數是90,A正確;對于選項B,由于,所以第60百分位數是第6個數90與第7個數92的平均數,即,所以B正確;對于C選項:方法1:平均數相對于中位數總在“拖尾”的一則,所以C錯誤;方法2:這10個數的均值為分,中位數是90,所以C錯誤;對于D選項:這10個數的方差為,去掉70和100后,平均數為,方差為,90>89,,所以D正確.故選:ABD.11.已知,函數,下列選項正確的有()A.若的最小正周期,則B.當時,函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象C.若在區間上單調遞增,則的取值范圍是D.若在區間上只有一個零點,則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】由余弦函數周期的公式,可判定A正確;利用三角函數的圖象變換,可判定B錯誤;根據在區間上單調遞增,列出不等式組,求得的范圍,得到當時,不等式有解,可判定C正確;由在區間上只有一個零點,列出不等式組,求得的范圍,可判定D正確.【詳解】解:由余弦函數圖象與性質,可得,得,所以A正確;當時,可得,將函數的圖象向右平移個單位長度后得,所以B錯誤;若在區間上單調遞增,則,解得,又因為,所以只有當時,此不等式有解,即,所以C正確;若在區間上只有一個零點,則,解得,所以D正確.故選:ACD.12.素描是使用單一色彩表現明暗變化的一種繪畫方法,素描水平反映了繪畫者的空間造型能力.“十字貫穿體”是學習素描時常用的幾何體實物模型,如圖是某同學繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體,其中一個四棱柱的每一條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱,兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點,另外兩條相對的側棱交于一點(該點為所在棱的中點).若該同學繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2,高為6的正四棱柱構成,則()A.一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線互相垂直B.該“十字貫穿體”的表面積是C.該“十字貫穿體”的體積是D.與所成角的余弦值是【答案】BCD【解析】【分析】根據圖形分別求出,結合勾股定理判斷垂直;表面積是由4個正方形和16個與梯形全等的梯形組成,分別計算;體積用兩個柱體體積減去重疊部分體積;由與的長度,通過圖形構造直角三角形計算兩條直線所成角的余弦.【詳解】如圖一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線CE、DE,則在矩形中,可知,為中點,連接,由對稱性可知,為中點,為中點,,,,顯然,即CE、DE不垂直,A選項不正確;,,該“十字貫穿體”的表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成則表面積,B選項正確;如圖兩個正四棱柱的重疊部分為多面體,取的中點I則多面體可以分成8個全等三棱錐,,則,且平面,則,該“十字貫穿體”的體積即為,C選項正確;,與所成角即,在中,,D選項正確;故選:BCD.【點睛】方法點睛:求解組合體的表面積和體積,關鍵是弄清它的結構特征,從而轉化為簡單幾何體的表面積和體積,其表面有哪些底面和側面,各個面應該怎樣求,然后再根據公式求出各面的面積,最后再相加或相減,求體積時也要先弄清組成,求出各簡單幾何體的體積,然后再相加或相減.三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把正確答案填在答題卡上.13.已知向量,,若,則________.【答案】4【解析】【分析】由向量數量積的垂直表示求解即可.【詳解】因為,所以,得.故答案為:.14.若復數滿足(為實數),則的最大值為_______.【答案】2【解析】【分析】根據復數模長計算公式,求得,然后結合,解得的最大值.【詳解】由題意知

,因為,所以當故答案為:2.15.已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形,底面,,則四棱錐外接球表面積為________;若點是線段上的動點,則的最小值為________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據直角三角形斜邊上中線的性質確定球心,即可計算半徑及表面積,利用翻折后,由平面上兩點之間距離最短確定Q位置,再由余弦定理求解最小值.【詳解】如圖,設中點為O,由底面,底面,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以,同理可得,因為,,所以,所以在中,,所以O為四棱錐外接球的球心,為該球半徑,所以其表面積為;將繞AC翻折到與所在面重合,此時運動到處,連接,交AC于點Q,如圖,此時最小,因為,,所以,又,,所以.所以的最小值為.故答案為:;16.已知三角形的內角的對邊分別是,若,為銳角,則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理及正弦定理化簡條件可得,代入,利用均值不等式求解.【詳解】,,由正弦定理知,,即,,兩邊同除以,可得,,,由為銳角,知,故,,當且僅當,即,時等號成立.故答案為:四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程和演算步驟.17.已知復數,,其中是虛數單位,.(1)若為純虛數,求的值;(2)若,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)z1為純虛數,則其實部為0,虛部不為0,解得參數值;(2)由z1＝z2,實部、虛部分別相等,求得關于的函數表達式,根據的范圍求得參數取值范圍.【小問1詳解】由z1純虛數,則,解得m＝－2.【小問2詳解】由,得∴∵,∴當時,,當時,,∴實數的取值范圍是.18.為了調查疫情期間物理網課學習情況,某校組織了高一年級學生進行了物理測試.根據測試成績(總分100分),將所得數據按照,,,,,分成6組,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中a的值;(2)試估計本次物理測試成績的平均分;(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)(3)該校準備對本次物理測試成績優異(將成績從高到低排列,排在前13%的為優異)的學生進行嘉獎,則受嘉獎的學生分數不低于多少？【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)由直方圖區間頻率和為1求參數a;(2)根據直方圖求物理測試成績的平均分即可;(3)根據直方圖求出成績從高到低排列且頻率為對應分數即可.【小問1詳解】由,解得;【小問2詳解】,故本次防疫知識測試成績的平均分為;【小問3詳解】設受嘉獎的學生分數不低于分,因為,對應的頻率分別為0.15,0.1,所以,解得,故受嘉獎學生分數不低于分.19.如圖是函數的部分圖象,已知.(1)求;(2)若,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)設,則,再根據求得周期,即解;(2)根據結合三角恒等變換化簡計算即可的解.【小問1詳解】設,函數的最小正周期為T,則,則,故,解得(負值舍去),所以,所以;【小問2詳解】由(1)得,,得,即,所以,又因,則,所以,所以.20.如圖,直三棱柱中,,,分別是,的中點.(1)證明:;(2)若,直線與平面所成的角為,求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)取中點可得,利用三棱柱為直棱柱,得平面,,為的中點得,再由線面垂直的判斷定理、性質定理可得答案;(2)由(1)知為與平面所成的角,求出,利用錐體的體積公式計算可得答案.【小問1詳解】取中點,分別連結,,因為為的中點,所以,,因為三棱柱為直棱柱,所以平面,所以平面,因為平面,所以,又為的中點,則,且,所以,因,平面,,所以平面,因為平面,所以;【小問2詳解】由(1)知為與平面所成的角,所以,由,得,.21.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為,.(1)求的值;(2)若,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用余弦定理角化邊即可求解;(2)根據弦化切將原等式變為,角化邊即可得到,再結合可得,,利用余弦定理即可