專題09類比歸納專題：切線證明的常用方法壓軸題二種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一有切點(diǎn)，連半徑，證垂直】 1【類型二無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑】 13【典型例題】【類型一有切點(diǎn)，連半徑，證垂直】例題：（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，C，D都是上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，半徑為2，交于點(diǎn)D，且D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接．

(1)求證：是的切線．(2)若，求的長(zhǎng)．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的與交于點(diǎn)D，與邊交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作的垂線，垂足為F．(1)求證：為的切線；(2)若，求的半徑．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．4．（2022秋·山西朔州·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)F，是的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，若，求的半徑．5．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，平分，交于，是的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．6．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M．(1)求證：直線是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長(zhǎng)．【類型二無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑】例題：（2022春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東河源·九年級(jí)校考期末）如圖，為的角平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，以為圓心為半徑作，求證：與相切．2．（2022秋·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖中，，平分交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作交于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)若，，試求的長(zhǎng)．3．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．4．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是的直徑，，分別切于點(diǎn)，，交，于點(diǎn)，，平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．5．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑的與相切于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)若的半徑為，求正方形的邊長(zhǎng)．

專題09類比歸納專題：切線證明的常用方法壓軸題二種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一有切點(diǎn)，連半徑，證垂直】 1【類型二無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑】 13【典型例題】【類型一有切點(diǎn)，連半徑，證垂直】例題：（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，C，D都是上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）如圖1，連接，由平分，可得，由，可得，，則，，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）如圖2，連接，交于H，由是的直徑，可得，由勾股定理得，，由，可得，，即，，是的中位線，則，，證明四邊形是矩形，則．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖2，連接，交于H，∵是的直徑，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴，即，∴，∵∴是的中位線，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，角平分線，等邊對(duì)等角，垂徑定理，平行線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，中位線，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，半徑為2，交于點(diǎn)D，且D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，連接．

(1)求證：是的切線．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用三角形的中位線定理和平行線的性質(zhì)得到，利用圓的切線的判定定理解答即可；（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)求，利用勾股定理求得，則．【詳解】（1）證明：連接，如圖，

∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴為的中位線，∴，∵，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵是的直徑，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴為的垂直平分線，∴，∴，∵是的直徑，半徑為2，∴．在中，．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，三角形的中位線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，圓的切線的判定定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的與交于點(diǎn)D，與邊交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作的垂線，垂足為F．(1)求證：為的切線；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)是的直徑，可得，再由三角形中位線定理可得，從而得到，即可求證；（2）連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到，繼而得到的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∵，∴點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴．∵，∴，∴，∴為的半徑；（2）解：連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的半徑是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)15【分析】（1）連接，根據(jù)平分，，，證明即可；（2）設(shè)的半徑為，則有，在中，，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：連接，

是的直徑，，即，平分，，，，，，，，是的半徑，是的切線．（2）設(shè)的半徑為，則有，∵是的切線．∴，在中，，，解得，的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·山西朔州·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)F，是的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)5；【分析】（1）連接，由于是角平分線，則有再證得，根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的判定即可解答；（2）先證明，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可；【詳解】（1）證明：連接∵平分∴又∴∴∴，又，即∴∴是的切線（2）∵平分設(shè)解得：故的半徑為5【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的證明、角平分線的性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)勾股定理，掌握切線的證明、角平分線的性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，平分，交于，是的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）連接，由于是角平分線，則有；而，就有，等量代換有，那么利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可得；又，所以，即是的切線；（2）利用勾股定理即可求出半徑．【詳解】（1）證明：連接．平分，．又，，，，．又點(diǎn)在上，是的切線．（2）解：設(shè)的半徑為，，，即，解得，的半徑為3．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理．6．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M．(1)求證：直線是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析(3)2【分析】（1）連接，由證明，得，即可證明直線是的切線；（2）由線段是的直徑證明，再根據(jù)等角的余角相等證明，則；（3）由，證明，則是等邊三角形，所以，則，所以，再證明，得．【詳解】（1）證明：連接，則，，平分，，，，，，是的半徑，且，直線是的切線．（2）證明：線段是的直徑，，，，，，，．（3）解：，，，是等邊三角形，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【類型二無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑】例題：（2022春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線．

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析；【分析】題目并沒(méi)有說(shuō)明直線與有沒(méi)有交點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，然后證明即可．【詳解】證明：如圖：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

是的角平分線，，，，是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定知識(shí)．結(jié)合角平分線的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東河源·九年級(jí)校考期末）如圖，為的角平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，以為圓心為半徑作，求證：與相切．【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)證明，推出，即可證明與相切．【詳解】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，平分，，又，，，在與中，，，，點(diǎn)D在上，又，與相切于點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法．2．（2022秋·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖中，，平分交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作交于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)若，，試求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)作于，利用角平分線的性質(zhì)定理可得即可證明：與相切；（2）在Rt中，由勾股定理可求出的長(zhǎng)，設(shè)圓的半徑為，利用切線長(zhǎng)定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：過(guò)作于，，，平分交于點(diǎn)，，與相切；（2）解：設(shè)圓的半徑為，，，，，，是圓的切線，，，，，在Rt中，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程．3．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，的長(zhǎng)，勾股定理求出，連接，過(guò)O作于點(diǎn)H，利用面積法求出，勾股定理求出，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，∵與相切于點(diǎn)D．∴，∵是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，即是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∵∴，在中，連接，過(guò)O作于點(diǎn)H，∴，∴∵，∴．

【點(diǎn)睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是的直徑，，分別切于點(diǎn)，，交，于點(diǎn)，，平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)由切于點(diǎn)可得，再根據(jù)角平分線定理得到，然后根據(jù)切線的判定定理得到是的切線；（2）過(guò)作于，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則得到四邊形為矩形，得到，所以，再利用切線長(zhǎng)定理得，，所以，在中，利用勾股定理計(jì)算出，則，所以，然后中，利用勾股定理可計(jì)算出．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，切于點(diǎn)，，平分，，為的半徑，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，過(guò)作于，，是的直徑，，分別切于點(diǎn)，，，，四邊形為矩形，，，，，為的切線，，，在中，，，，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，也考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、勾股定理．5．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑的與相