第4講二次根式（精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：二次根式的概念題型二：二次根式的性質(zhì)題型三：二次根式的加減乘除題型四：最簡(jiǎn)二次根式題型五：二次根式的化簡(jiǎn)求值題型六：二次根式的應(yīng)用第四部分：中考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的有關(guān)概念1．二次根式：一般地，形如（）的式子叫做二次根式．2．最簡(jiǎn)二次根式：最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母.(2)被開(kāi)方數(shù)(或式)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.3．同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)1．當(dāng)時(shí)，.2．，（）.3.4.（，）.5.（，）.知識(shí)點(diǎn)三：二次根式的運(yùn)算1．乘除：（，），（，）.2．加減：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并.3．在二次根式的運(yùn)算中，實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和法則同樣適用．二次根式的混合運(yùn)算順序是：先算乘除，后算加減，有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)內(nèi)的(或先去括號(hào))．第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·廣東·深圳中學(xué)八年級(jí)期中）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．2．（2022·上海市奉賢區(qū)星火學(xué)校八年級(jí)期中）在式子、、、中，是最簡(jiǎn)二次根式的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2022·河南信陽(yáng)·八年級(jí)期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．4．（2022·河南開(kāi)封·八年級(jí)階段練習(xí)）的值在（

）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間5．（2022·四川·安岳縣興隆初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如果最簡(jiǎn)根式與是同類(lèi)二次根式，那么a的值為（）A．3 B．2 C．1 D．06．（2022·山東省濟(jì)南實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是______．第三部分：典型例題剖析題型一：二次根式的概念典型例題例題1．（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，二次根式的值等于（

）A．4 B．2 C． D．0例題2．（2022·山東省濟(jì)南第五十六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列屬于最簡(jiǎn)二次根式的是(

)A． B． C． D．例題3．（2022·廣西賀州·八年級(jí)期中）已知最簡(jiǎn)二次根式與的被開(kāi)方數(shù)相同，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題4．（2022·四川·會(huì)東縣參魚(yú)中學(xué)八年級(jí)期中）如果是一個(gè)正整數(shù)，則整數(shù)的最小值是（

）A．-4 B．-2 C．2 D．8同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在式子中，二次根式有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022·陜西安康·八年級(jí)期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．3 B．7 C．9 D．634．（2022·四川綿陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí)）＝2，則a＝________．題型二：二次根式的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）下列等式成立的是（）A． B． C． D．例題2．（2022·江西省石城二中八年級(jí)階段練習(xí)）用四張一樣大小的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)正方形，如圖所示，它的面積是，，圖中空白的地方是一個(gè)正方形，那么這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．例題3．（2022·上海·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________．例題4．（2022·四川·仁壽縣汪洋鎮(zhèn)方正初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如果2、5、是某三角形三邊的長(zhǎng)，則等于_____．例題5．（2022·河南信陽(yáng)·八年級(jí)期末）計(jì)算：(1)；(2)．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·湖南省祁東縣育賢中學(xué)九年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：___________．2．（2022·上海·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________．3．（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)平湖外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．4．（2022·河南·南陽(yáng)市第二十一學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)．(2)．題型三：二次根式的加減乘除典型例題例題1．（2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（）A．= B． C． D．例題2．（2022·巴中四川師范大學(xué)附屬第四實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．例題3．（2022·上海·上外附中八年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：___________．例題4．（2022·山東·濟(jì)南市天橋區(qū)濼口實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）觀察下列算式．①==②==③==．．．．．．回答下列問(wèn)題：(1)利用以上規(guī)律：化簡(jiǎn)：．(2)計(jì)算：+++．．．．．+．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·河南·輝縣市太行中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算(1)；(2)．3．（2022·遼寧·寬甸滿族自治縣第一初中八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)﹣(2)4．（2022·廣東·惠州市惠陽(yáng)區(qū)惠華學(xué)校九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．題型四：最簡(jiǎn)二次根式典型例題例題1．（2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．例題2．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．例題3．（2022·陜西西安·八年級(jí)階段練習(xí)）將化成最簡(jiǎn)二次根式為_(kāi)____．例題4．（2022·江蘇泰州·八年級(jí)期末）當(dāng)=____時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式．例題5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算題(1)；(2)；(3)；(4)．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·山東·棗莊市薛城區(qū)舜耕中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，那么a的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．103．（2022·湖南·衡陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，則a的值是_____．4．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）將化為最簡(jiǎn)二次根式，其結(jié)果是__．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，則=_____________．題型六：二次根式的化簡(jiǎn)求值典型例題例題1．（2022·河北·滄州渤海新區(qū)京師學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若，，則代數(shù)式的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例題2．（2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）已知，則_________．例題3．（2022·浙江·杭州市大關(guān)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知，，求下列各式的值：(1)(2)例題4．（2022·湖北·云夢(mèng)縣實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，，求的值．例題5．（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）小明在解決問(wèn)題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：∵

∴∴，

∴∴請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)(2)比較___________；（填“>”或“<”）(3)題：若，則___________．題：若，則___________．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第一〇八學(xué)校九年級(jí)期中）當(dāng)x＝1時(shí)，二次根式的值是_____．2．（2022·湖北·巴東縣綠蔥坡鎮(zhèn)民族初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知，，求的值．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，小明和他的同學(xué)通到一道題：已知，求的值，他是這樣解答的：∵∴，∴，即，∴．∴．請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過(guò)程，解決如下問(wèn)題：若，求的值．題型七：二次根式的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·寧夏·固原市原州區(qū)三營(yíng)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）觀察并分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：，，，，，，…，那么第個(gè)數(shù)據(jù)是____．例題2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是由一連串直角三角形組成的，其中，第1個(gè)三角形的面積記為，第2個(gè)三角形的面積記為，…，第n個(gè)三角形的面積記為，觀察圖形，得到如下各式：，；，；，；…根據(jù)以上的規(guī)律，推算出______．例題3．（2022·福建·廈門(mén)市海滄區(qū)北附學(xué)校八年級(jí)期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖沿虛線在木板上截出兩個(gè)面積分別為12和27的正方形木板．(1)求原矩形木板的面積；(2)如果木工想從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，估計(jì)最多能裁出多少塊這樣的木條，請(qǐng)你計(jì)算說(shuō)明理由．例題4．（2022·云南·保山市第七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，從一個(gè)大正方形中可以裁去面積為8和32的兩個(gè)小正方形，求陰影部分的周長(zhǎng)．例題5．（2022·山東青島·九年級(jí)期末）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，寬(1)求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；(2)有個(gè)正方形與該長(zhǎng)方形的面積相等，求正方形與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的比．例題6．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）觀察以下等式：第1個(gè)等式：

第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：．．．．．．．．．．．按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第7個(gè)等式：；(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示，為自然數(shù)）(3)計(jì)算：同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中無(wú)重疊放入面積分別為12和18（a＞b）的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為_(kāi)_________．2．（2022·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，有一張長(zhǎng)為cm，寬為cm的長(zhǎng)方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形．(1)若小正方形的邊長(zhǎng)為cm，則制作成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子的體積是多少？(2)求這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積．3．（2022·四川省儀隴馬鞍中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)BC為83米，寬AB為米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為米，寬為米(1)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）；(2)除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）4．（2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀理解：已知，求代數(shù)式的值．王紅的做法是：根據(jù)得，，得：．把作為整體代入：得．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．請(qǐng)你用上述方法解決下面問(wèn)題：(1)已知，求代數(shù)式的值；(2)已知x=，求代數(shù)式的值．第四部分：中考真題感悟1．（2022·貴州安順·中考真題）估計(jì)的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間2．（2022·遼寧大連·中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·山東淄博·中考真題）要使式子有意義，則的取值范圍是________．4．（2022·山東菏澤·中考真題）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．5．（2022·四川眉山·中考真題）將一組數(shù)，2，，，…，，按下列方式進(jìn)行排列：，2，，；，，，4；…若2的位置記為，的位置記為，則的位置記為_(kāi)_______．6．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）已知，，求代數(shù)式的值．第4講二次根式（精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：二次根式的概念題型二：二次根式的性質(zhì)題型三：二次根式的加減乘除題型四：最簡(jiǎn)二次根式題型五：二次根式的化簡(jiǎn)求值題型六：二次根式的應(yīng)用第四部分：中考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的有關(guān)概念1．二次根式：一般地，形如（）的式子叫做二次根式．2．最簡(jiǎn)二次根式：最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母.(2)被開(kāi)方數(shù)(或式)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.3．同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)1．當(dāng)時(shí)，.2．，（）.3.4.（，）.5.（，）.知識(shí)點(diǎn)三：二次根式的運(yùn)算1．乘除：（，），（，）.2．加減：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并.3．在二次根式的運(yùn)算中，實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和法則同樣適用．二次根式的混合運(yùn)算順序是：先算乘除，后算加減，有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)內(nèi)的(或先去括號(hào))．第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·廣東·深圳中學(xué)八年級(jí)期中）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A.和不是同類(lèi)二次根式，不能合并，故A計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故B計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C.，故C計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；計(jì)算D.，故D正確，符合題意；故選：D．2．（2022·上海市奉賢區(qū)星火學(xué)校八年級(jí)期中）在式子、、、中，是最簡(jiǎn)二次根式的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】解：∵，，∴最簡(jiǎn)二次根式有、共2個(gè)；故選B．3．（2022·河南信陽(yáng)·八年級(jí)期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，選項(xiàng)正確，符合題意；D、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選C．4．（2022·河南開(kāi)封·八年級(jí)階段練習(xí)）的值在（

）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【答案】D【詳解】解：，．故選：D．5．（2022·四川·安岳縣興隆初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如果最簡(jiǎn)根式與是同類(lèi)二次根式，那么a的值為（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【詳解】解：，根據(jù)題意，得，，解得，．故選：C．6．（2022·山東省濟(jì)南實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是______．【答案】##【詳解】解：，．故答案為：．第三部分：典型例題剖析題型一：二次根式的概念典型例題例題1．（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，二次根式的值等于（

）A．4 B．2 C． D．0【答案】B【詳解】解：把代入得，故選：B．例題2．（2022·山東省濟(jì)南第五十六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列屬于最簡(jiǎn)二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A．=2，不符合題意；B．是最簡(jiǎn)二次根式；C．=2，不符合題意；D．=，不符合題意；故選B．例題3．（2022·廣西賀州·八年級(jí)期中）已知最簡(jiǎn)二次根式與的被開(kāi)方數(shù)相同，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】根據(jù)題意可知，解得：，∴．故選D．例題4．（2022·四川·會(huì)東縣參魚(yú)中學(xué)八年級(jí)期中）如果是一個(gè)正整數(shù)，則整數(shù)的最小值是（

）A．-4 B．-2 C．2 D．8【答案】A【詳解】解：∵是一個(gè)正整數(shù)，∴，∴，∵為整數(shù)，∴a的最小值為，且時(shí)，符合題意，故A正確．故選：A．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在式子中，二次根式有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】解：是二次根式，符合題意，是三次根式，不合題意，是二次根式，符合題意，不是二次根式，不合題意．故選：B．2．（2022·陜西安康·八年級(jí)期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A、是三次根式，不合題意；B、的被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，不合題意；C、是二次根式，符合題意；D、中，當(dāng)時(shí)，不是二次根式，不合題意；故選C．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．3 B．7 C．9 D．63【答案】B【詳解】解：∵63=7×9，∴，∵是整數(shù)，∴正整數(shù)n的最小值是7，故選：B．4．（2022·四川綿陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí)）＝2，則a＝________．【答案】【詳解】解：，，解得，故答案為：．題型二：二次根式的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）下列等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A．，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B．，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D．，故D項(xiàng)正確；故選：D．例題2．（2022·江西省石城二中八年級(jí)階段練習(xí)）用四張一樣大小的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)正方形，如圖所示，它的面積是，，圖中空白的地方是一個(gè)正方形，那么這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：小正方形邊長(zhǎng)為：所以周長(zhǎng)為：．故選：B．例題3．（2022·上海·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________．【答案】【詳解】解：＝|﹣|＝，故答案為：．例題4．（2022·四川·仁壽縣汪洋鎮(zhèn)方正初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如果2、5、是某三角形三邊的長(zhǎng)，則等于_____．【答案】4【詳解】解：∵2、5、m為三角形三邊，∴，∴原式，故答案為：4．例題5．（2022·河南信陽(yáng)·八年級(jí)期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：；；（2）解：．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·湖南省祁東縣育賢中學(xué)九年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：___________．【答案】##【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．2．（2022·上海·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________．【答案】2π﹣6##6﹣2π【詳解】解：＝|6-2π|＝2π-6；故答案為：2π-6．3．（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)平湖外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)7(2)(3)(4)（1）解：=7；（2）解：；（3）解：；（4）解：．4．（2022·河南·南陽(yáng)市第二十一學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)（1）解：；（2）．題型三：二次根式的加減乘除典型例題例題1．（2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（）A．= B． C． D．【答案】D【詳解】A.和不是同類(lèi)二次根式，不能合并，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，選項(xiàng)正確；故選：D．例題2．（2022·巴中四川師范大學(xué)附屬第四實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋訟錯(cuò)誤；因?yàn)椋訠正確；因?yàn)椴皇峭?lèi)二次根式，無(wú)法計(jì)算，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)椋訢錯(cuò)誤；故選B．例題3．（2022·上海·上外附中八年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：___________．【答案】【詳解】解：．故答案：例題4．（2022·山東·濟(jì)南市天橋區(qū)濼口實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）觀察下列算式．①==②==③==．．．．．．回答下列問(wèn)題：(1)利用以上規(guī)律：化簡(jiǎn)：．(2)計(jì)算：+++．．．．．+．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：==（2）解：原式=+++...+=+++...++==同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·河南·輝縣市太行中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)7【詳解】（1）解：原式．（2）原式．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：==；（2）====．3．（2022·遼寧·寬甸滿族自治縣第一初中八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)﹣(2)【答案】(1)4(2)4【詳解】（1）﹣﹣（2）4．（2022·廣東·惠州市惠陽(yáng)區(qū)惠華學(xué)校九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)1(3)18（1）解：（2）＝1；（3）＝18．題型四：最簡(jiǎn)二次根式典型例題例題1．（2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】A．是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；B．不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；C．不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；D．不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．例題2．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、符合最簡(jiǎn)二次根式的定義，該選項(xiàng)符合題意；B、，不是最簡(jiǎn)二次根式，該選項(xiàng)不符合題意；C、，不是最簡(jiǎn)二次根式，該選項(xiàng)不符合題意；D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．例題3．（2022·陜西西安·八年級(jí)階段練習(xí)）將化成最簡(jiǎn)二次根式為_(kāi)____．【答案】【詳解】解：，故答案為：．例題4．（2022·江蘇泰州·八年級(jí)期末）當(dāng)=____時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式．【答案】2【詳解】解：最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，∴，∴∴故答案為：2例題5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算題(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)﹣39(3)3(4)1＋(1)原式＝＝；(2)原式＝＝＝6﹣3×15＝6﹣45＝﹣39；(3)原式＝＝＝1×3＝3；(4)原式＝＝12﹣6﹣（3﹣＋2）＝6﹣5＋＝1＋．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·山東·棗莊市薛城區(qū)舜耕中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、，被開(kāi)方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、，被開(kāi)方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、，被開(kāi)方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選：A．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，那么a的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．10【答案】A【詳解】，∵最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，∴，∴，故選：A．3．（2022·湖南·衡陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，則a的值是_____．【答案】2【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，，∴3a-4=2，解得：a=2，故答案為：2．4．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）將化為最簡(jiǎn)二次根式，其結(jié)果是__．【答案】【詳解】解：，故答案為：．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，則=_____________．【答案】-3【詳解】解：∵兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，∴，∴∴或，∵兩個(gè)根式都是最簡(jiǎn)根式，∴時(shí)，不符合題意，當(dāng)a=3時(shí)，二次根式有意義且符合題意，故答案為-3．題型六：二次根式的化簡(jiǎn)求值典型例題例題1．（2022·河北·滄州渤海新區(qū)京師學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若，，則代數(shù)式的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】解：∵，，∴，=-1，∴=3．故選：B．例題2．（2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）已知，則_________．【答案】7【詳解】解：∵∴．故答案為：7．例題3．（2022·浙江·杭州市大關(guān)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知，，求下列各式的值：(1)(2)【答案】(1)8(2)26（1）解：，∵，，∴，，∴原式；（2）解：，∵，，∴，，∴原式．例題4．（2022·湖北·云夢(mèng)縣實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）8；（2）8【詳解】（1）解：∵，，∴，∴＝；（2）解：∵，，∴∴．例題5．（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）小明在解決問(wèn)題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：∵

∴∴，

∴∴請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)(2)比較___________；（填“>”或“<”）(3)題：若，則___________．題：若，則___________．【答案】(1)(2)(3)4；9（1）解：原式；（2）解：∵，，又∵，∴，∴，（3）解：A題：∵，∴，∴∴；B題：∵，∴∴，∴，∴．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第一〇八學(xué)校九年級(jí)期中）當(dāng)x＝1時(shí)，二次根式的值是_____．【答案】3【詳解】解：當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝＝＝3，故答案為：3．2．（2022·湖北·巴東縣綠蔥坡鎮(zhèn)民族初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知，，求的值．【答案】3【詳解】解：∵，，∴，．∴．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，小明和他的同學(xué)通到一道題：已知，求的值，他是這樣解答的：∵∴，∴，即，∴．∴．請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過(guò)程，解決如下問(wèn)題：若，求的值．【答案】4【詳解】∵，∴，∴，即，∴．∴．題型七：二次根式的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·寧夏·固原市原州區(qū)三營(yíng)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）觀察并分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：，，，，，，…，那么第個(gè)數(shù)據(jù)是____．【答案】【詳解】解：由題意可知：題目中的數(shù)據(jù)可以整理為：，，，…，，∴第個(gè)數(shù)據(jù)是∶．故答案為：．例題2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是由一連串直角三角形組成的，其中，第1個(gè)三角形的面積記為，第2個(gè)三角形的面積記為，…，第n個(gè)三角形的面積記為，觀察圖形，得到如下各式：，；，；，；…根據(jù)以上的規(guī)律，推算出______．【答案】【詳解】解：根據(jù)題意，∵OAn2=n，∴OA100=故答案為：5．例題3．（2022·福建·廈門(mén)市海滄區(qū)北附學(xué)校八年級(jí)期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖沿虛線在木板上截出兩個(gè)面積分別為12和27的正方形木板．(1)求原矩形木板的面積；(2)如果木工想從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，估計(jì)最多能裁出多少塊這樣的木條，請(qǐng)你計(jì)算說(shuō)明理由．【答案】(1)45平方分米(2)3塊，理由見(jiàn)詳解（1）∵兩個(gè)正方形的面積分別為12和27，∴這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為和，由圖可知，矩形的長(zhǎng)為：+，寬為，則原矩形的面積為：（）答：原矩形的面積為45；（2）最多能裁出3快，理由如下：根據(jù)（1），可知：這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為和，即此時(shí)陰影部分的寬為：，長(zhǎng)為：∵，∴，∴，∴，，即可知，陰影部分可以最多裁剪出3塊長(zhǎng)1.5dm寬1dm的木條．例題4．（2022·云南·保山市第七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，從一個(gè)大正方形中可以裁去面積為8和32的兩個(gè)小正方形，求陰影部分的周長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：由題意，得其中一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，另一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，所以陰影部分的周長(zhǎng)為．例題5．（2022·山東青島·九年級(jí)期末）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，寬(1)求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；(2)有個(gè)正方形與該長(zhǎng)方形的面積相等，求正方形與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的比．【答案】(1)(2)（1）解：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，寬所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（2）長(zhǎng)方形的面積=根據(jù)面積相等，則正方形的邊長(zhǎng)=，周長(zhǎng)=，所以，正方形與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的比為例題6．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）觀察以下等式：第1個(gè)等式：

第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：．．．．．．．．．．．按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第7個(gè)等式：；(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式：（用含的等式表示，為自然數(shù)）(3)計(jì)算：【答案】(1)；(2)；(3)（1）解：根據(jù)題意得第7個(gè)等式為：；故答案為：；（2）解：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；由以上等式可以猜想第n個(gè)等式是：；故答案為：；（3）解：＝＝＝．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中無(wú)重疊放入面積分別為12和18（a＞b）的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為_(kāi)_________．【答案】(6-12)##（）【詳解】解：大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得：空白部分的面積=四邊形CDEF的面積-12=×-12=6-12()．故答案為：(6-12)．2．（2022·河南