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第4講二次根式(精講)目錄第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分:典型例題剖析題型一:二次根式的概念題型二:二次根式的性質(zhì)題型三:二次根式的加減乘除題型四:最簡(jiǎn)二次根式題型五:二次根式的化簡(jiǎn)求值題型六:二次根式的應(yīng)用第四部分:中考真題感悟第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一:二次根式的有關(guān)概念1.二次根式:一般地,形如()的式子叫做二次根式.2.最簡(jiǎn)二次根式:最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:(1)被開方數(shù)不含分母.(2)被開方數(shù)(或式)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.3.同類二次根式:幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后,如果被開方數(shù)相同,這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.知識(shí)點(diǎn)二:二次根式的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí),.2.,().3.4.(,).5.(,).知識(shí)點(diǎn)三:二次根式的運(yùn)算1.乘除:(,),(,).2.加減:先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.3.在二次根式的運(yùn)算中,實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和法則同樣適用.二次根式的混合運(yùn)算順序是:先算乘除,后算加減,有括號(hào)時(shí),先算括號(hào)內(nèi)的(或先去括號(hào)).第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試1.(2022·廣東·深圳中學(xué)八年級(jí)期中)下列運(yùn)算正確的是()A. B. C. D.2.(2022·上海市奉賢區(qū)星火學(xué)校八年級(jí)期中)在式子、、、中,是最簡(jiǎn)二次根式的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.(2022·河南信陽(yáng)·八年級(jí)期末)下列計(jì)算正確的是(
)A. B. C. D.4.(2022·河南開封·八年級(jí)階段練習(xí))的值在(
)A.1到2之間 B.2到3之間 C.3到4之間 D.4到5之間5.(2022·四川·安岳縣興隆初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如果最簡(jiǎn)根式與是同類二次根式,那么a的值為()A.3 B.2 C.1 D.06.(2022·山東省濟(jì)南實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則的取值范圍是______.第三部分:典型例題剖析題型一:二次根式的概念典型例題例題1.(2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí))當(dāng)時(shí),二次根式的值等于(
)A.4 B.2 C. D.0例題2.(2022·山東省濟(jì)南第五十六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))下列屬于最簡(jiǎn)二次根式的是(
)A. B. C. D.例題3.(2022·廣西賀州·八年級(jí)期中)已知最簡(jiǎn)二次根式與的被開方數(shù)相同,則的值為(
)A.1 B.2 C.3 D.4例題4.(2022·四川·會(huì)東縣參魚中學(xué)八年級(jí)期中)如果是一個(gè)正整數(shù),則整數(shù)的最小值是(
)A.-4 B.-2 C.2 D.8同類題型歸類練1.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))在式子中,二次根式有(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.(2022·陜西安康·八年級(jí)期中)下列各式中,一定是二次根式的是(
)A. B. C. D.3.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))若是整數(shù),則正整數(shù)n的最小值是()A.3 B.7 C.9 D.634.(2022·四川綿陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí))=2,則a=________.題型二:二次根式的性質(zhì)典型例題例題1.(2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中)下列等式成立的是()A. B. C. D.例題2.(2022·江西省石城二中八年級(jí)階段練習(xí))用四張一樣大小的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)正方形,如圖所示,它的面積是,,圖中空白的地方是一個(gè)正方形,那么這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為(
)A. B. C. D.例題3.(2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí))化簡(jiǎn):=________.例題4.(2022·四川·仁壽縣汪洋鎮(zhèn)方正初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))如果2、5、是某三角形三邊的長(zhǎng),則等于_____.例題5.(2022·河南信陽(yáng)·八年級(jí)期末)計(jì)算:(1);(2).同類題型歸類練1.(2022·湖南省祁東縣育賢中學(xué)九年級(jí)期中)化簡(jiǎn):___________.2.(2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí))化簡(jiǎn):=________.3.(2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)平湖外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期中)計(jì)算:(1);(2);(3);(4).4.(2022·河南·南陽(yáng)市第二十一學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))計(jì)算:(1).(2).題型三:二次根式的加減乘除典型例題例題1.(2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))下列運(yùn)算正確的是()A.= B. C. D.例題2.(2022·巴中四川師范大學(xué)附屬第四實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))下列計(jì)算正確的是()A. B.C. D.例題3.(2022·上海·上外附中八年級(jí)階段練習(xí))化簡(jiǎn):___________.例題4.(2022·山東·濟(jì)南市天橋區(qū)濼口實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))觀察下列算式.①==②==③==......回答下列問題:(1)利用以上規(guī)律:化簡(jiǎn):.(2)計(jì)算:+++.....+.同類題型歸類練1.(2022·河南·輝縣市太行中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))計(jì)算:(1);(2).2.(2022·全國(guó)·九年級(jí)開學(xué)考試)計(jì)算(1);(2).3.(2022·遼寧·寬甸滿族自治縣第一初中八年級(jí)階段練習(xí))計(jì)算:(1)﹣(2)4.(2022·廣東·惠州市惠陽(yáng)區(qū)惠華學(xué)校九年級(jí)開學(xué)考試)計(jì)算:(1);(2);(3).題型四:最簡(jiǎn)二次根式典型例題例題1.(2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))下列二次根式中,是最簡(jiǎn)二次根式的是()A. B. C. D.例題2.(2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末)下列二次根式中,是最簡(jiǎn)二次根式的是(
)A. B. C. D.例題3.(2022·陜西西安·八年級(jí)階段練習(xí))將化成最簡(jiǎn)二次根式為_____.例題4.(2022·江蘇泰州·八年級(jí)期末)當(dāng)=____時(shí),最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式.例題5.(2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))計(jì)算題(1);(2);(3);(4).同類題型歸類練1.(2022·山東·棗莊市薛城區(qū)舜耕中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是(
)A. B. C. D.2.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并,那么a的值為(
)A.1 B.2 C.4 D.103.(2022·湖南·衡陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式,則a的值是_____.4.(2022·山東淄博·八年級(jí)期末)將化為最簡(jiǎn)二次根式,其結(jié)果是__.5.(2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí))若兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式,則=_____________.題型六:二次根式的化簡(jiǎn)求值典型例題例題1.(2022·河北·滄州渤海新區(qū)京師學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))若,,則代數(shù)式的值為(
)A.2 B.3 C.4 D.5例題2.(2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)已知,則_________.例題3.(2022·浙江·杭州市大關(guān)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))已知,,求下列各式的值:(1)(2)例題4.(2022·湖北·云夢(mèng)縣實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期中)(1)已知,,求的值;(2)已知,,求的值.例題5.(2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))小明在解決問題:已知,求的值.他是這樣分析與解的:∵
∴∴,
∴∴請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程,解決如下問題:(1)化簡(jiǎn)(2)比較___________;(填“>”或“<”)(3)題:若,則___________.題:若,則___________.同類題型歸類練1.(2022·吉林·長(zhǎng)春市第一〇八學(xué)校九年級(jí)期中)當(dāng)x=1時(shí),二次根式的值是_____.2.(2022·湖北·巴東縣綠蔥坡鎮(zhèn)民族初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))已知,,求的值.3.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中,小明和他的同學(xué)通到一道題:已知,求的值,他是這樣解答的:∵∴,∴,即,∴.∴.請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過程,解決如下問題:若,求的值.題型七:二次根式的應(yīng)用典型例題例題1.(2022·寧夏·固原市原州區(qū)三營(yíng)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))觀察并分析下列數(shù)據(jù),尋找規(guī)律:,,,,,,…,那么第個(gè)數(shù)據(jù)是____.例題2.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))如圖是由一連串直角三角形組成的,其中,第1個(gè)三角形的面積記為,第2個(gè)三角形的面積記為,…,第n個(gè)三角形的面積記為,觀察圖形,得到如下各式:,;,;,;…根據(jù)以上的規(guī)律,推算出______.例題3.(2022·福建·廈門市海滄區(qū)北附學(xué)校八年級(jí)期末)有一塊矩形木板,木工采用如圖沿虛線在木板上截出兩個(gè)面積分別為12和27的正方形木板.(1)求原矩形木板的面積;(2)如果木工想從剩余的木塊(陰影部分)中裁出長(zhǎng)為1.5dm,寬為1dm的長(zhǎng)方形木條,估計(jì)最多能裁出多少塊這樣的木條,請(qǐng)你計(jì)算說明理由.例題4.(2022·云南·保山市第七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))如圖,從一個(gè)大正方形中可以裁去面積為8和32的兩個(gè)小正方形,求陰影部分的周長(zhǎng).例題5.(2022·山東青島·九年級(jí)期末)已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng),寬(1)求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng);(2)有個(gè)正方形與該長(zhǎng)方形的面積相等,求正方形與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的比.例題6.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))觀察以下等式:第1個(gè)等式:
第2個(gè)等式:第3個(gè)等式:...........按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第7個(gè)等式:;(2)寫出你猜想的第個(gè)等式:(用含的等式表示,為自然數(shù))(3)計(jì)算:同類題型歸類練1.(2022·江蘇南京·八年級(jí)期末)如圖,在矩形ABCD中無重疊放入面積分別為12和18(a>b)的兩張正方形紙片,則圖中空白部分的面積為__________.2.(2022·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí))如圖,有一張長(zhǎng)為cm,寬為cm的長(zhǎng)方形紙板,現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉,制作一個(gè)有底無蓋的長(zhǎng)方體盒子,剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形.(1)若小正方形的邊長(zhǎng)為cm,則制作成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的體積是多少?(2)求這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積.3.(2022·四川省儀隴馬鞍中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地,長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)BC為83米,寬AB為米,現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇(即圖中陰影部分),長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為米,寬為米(1)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少?(結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式);(2)除去修建花壇的地方,其它地方全修建成通道,通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚,要鋪完整個(gè)通道,則購(gòu)買地磚需要花費(fèi)多少元?(結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式)4.(2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))閱讀理解:已知,求代數(shù)式的值.王紅的做法是:根據(jù)得,,得:.把作為整體代入:得.即:把已知條件適當(dāng)變形,再整體代入解決問題.請(qǐng)你用上述方法解決下面問題:(1)已知,求代數(shù)式的值;(2)已知x=,求代數(shù)式的值.第四部分:中考真題感悟1.(2022·貴州安順·中考真題)估計(jì)的值應(yīng)在(
)A.4和5之間 B.5和6之間 C.6和7之間 D.7和8之間2.(2022·遼寧大連·中考真題)下列計(jì)算正確的是(
)A. B. C. D.3.(2022·山東淄博·中考真題)要使式子有意義,則的取值范圍是________.4.(2022·山東菏澤·中考真題)若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.5.(2022·四川眉山·中考真題)將一組數(shù),2,,,…,,按下列方式進(jìn)行排列:,2,,;,,,4;…若2的位置記為,的位置記為,則的位置記為________.6.(2022·山東濟(jì)寧·中考真題)已知,,求代數(shù)式的值.第4講二次根式(精講)目錄第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分:典型例題剖析題型一:二次根式的概念題型二:二次根式的性質(zhì)題型三:二次根式的加減乘除題型四:最簡(jiǎn)二次根式題型五:二次根式的化簡(jiǎn)求值題型六:二次根式的應(yīng)用第四部分:中考真題感悟第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一:二次根式的有關(guān)概念1.二次根式:一般地,形如()的式子叫做二次根式.2.最簡(jiǎn)二次根式:最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:(1)被開方數(shù)不含分母.(2)被開方數(shù)(或式)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.3.同類二次根式:幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后,如果被開方數(shù)相同,這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.知識(shí)點(diǎn)二:二次根式的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí),.2.,().3.4.(,).5.(,).知識(shí)點(diǎn)三:二次根式的運(yùn)算1.乘除:(,),(,).2.加減:先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.3.在二次根式的運(yùn)算中,實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和法則同樣適用.二次根式的混合運(yùn)算順序是:先算乘除,后算加減,有括號(hào)時(shí),先算括號(hào)內(nèi)的(或先去括號(hào)).第二部分:課前自我評(píng)估測(cè)試1.(2022·廣東·深圳中學(xué)八年級(jí)期中)下列運(yùn)算正確的是()A. B. C. D.【答案】D【詳解】解:A.和不是同類二次根式,不能合并,故A計(jì)算錯(cuò)誤,不符合題意;B.,故B計(jì)算錯(cuò)誤,不符合題意;C.,故C計(jì)算錯(cuò)誤,不符合題意;計(jì)算D.,故D正確,符合題意;故選:D.2.(2022·上海市奉賢區(qū)星火學(xué)校八年級(jí)期中)在式子、、、中,是最簡(jiǎn)二次根式的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【詳解】解:∵,,∴最簡(jiǎn)二次根式有、共2個(gè);故選B.3.(2022·河南信陽(yáng)·八年級(jí)期末)下列計(jì)算正確的是(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】解:A、,選項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意;B、,選項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意;C、,選項(xiàng)正確,符合題意;D、,選項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意;故選C.4.(2022·河南開封·八年級(jí)階段練習(xí))的值在(
)A.1到2之間 B.2到3之間 C.3到4之間 D.4到5之間【答案】D【詳解】解:,.故選:D.5.(2022·四川·安岳縣興隆初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如果最簡(jiǎn)根式與是同類二次根式,那么a的值為()A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【詳解】解:,根據(jù)題意,得,,解得,.故選:C.6.(2022·山東省濟(jì)南實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則的取值范圍是______.【答案】##【詳解】解:,.故答案為:.第三部分:典型例題剖析題型一:二次根式的概念典型例題例題1.(2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí))當(dāng)時(shí),二次根式的值等于(
)A.4 B.2 C. D.0【答案】B【詳解】解:把代入得,故選:B.例題2.(2022·山東省濟(jì)南第五十六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))下列屬于最簡(jiǎn)二次根式的是(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】解:A.=2,不符合題意;B.是最簡(jiǎn)二次根式;C.=2,不符合題意;D.=,不符合題意;故選B.例題3.(2022·廣西賀州·八年級(jí)期中)已知最簡(jiǎn)二次根式與的被開方數(shù)相同,則的值為(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【詳解】根據(jù)題意可知,解得:,∴.故選D.例題4.(2022·四川·會(huì)東縣參魚中學(xué)八年級(jí)期中)如果是一個(gè)正整數(shù),則整數(shù)的最小值是(
)A.-4 B.-2 C.2 D.8【答案】A【詳解】解:∵是一個(gè)正整數(shù),∴,∴,∵為整數(shù),∴a的最小值為,且時(shí),符合題意,故A正確.故選:A.同類題型歸類練1.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))在式子中,二次根式有(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【詳解】解:是二次根式,符合題意,是三次根式,不合題意,是二次根式,符合題意,不是二次根式,不合題意.故選:B.2.(2022·陜西安康·八年級(jí)期中)下列各式中,一定是二次根式的是(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】A、是三次根式,不合題意;B、的被開方數(shù)是負(fù)數(shù),不合題意;C、是二次根式,符合題意;D、中,當(dāng)時(shí),不是二次根式,不合題意;故選C.3.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))若是整數(shù),則正整數(shù)n的最小值是()A.3 B.7 C.9 D.63【答案】B【詳解】解:∵63=7×9,∴,∵是整數(shù),∴正整數(shù)n的最小值是7,故選:B.4.(2022·四川綿陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí))=2,則a=________.【答案】【詳解】解:,,解得,故答案為:.題型二:二次根式的性質(zhì)典型例題例題1.(2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中)下列等式成立的是()A. B. C. D.【答案】D【詳解】解:A.,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;B.,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;C.,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;D.,故D項(xiàng)正確;故選:D.例題2.(2022·江西省石城二中八年級(jí)階段練習(xí))用四張一樣大小的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)正方形,如圖所示,它的面積是,,圖中空白的地方是一個(gè)正方形,那么這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】解:小正方形邊長(zhǎng)為:所以周長(zhǎng)為:.故選:B.例題3.(2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí))化簡(jiǎn):=________.【答案】【詳解】解:=|﹣|=,故答案為:.例題4.(2022·四川·仁壽縣汪洋鎮(zhèn)方正初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))如果2、5、是某三角形三邊的長(zhǎng),則等于_____.【答案】4【詳解】解:∵2、5、m為三角形三邊,∴,∴原式,故答案為:4.例題5.(2022·河南信陽(yáng)·八年級(jí)期末)計(jì)算:(1);(2).【答案】(1)(2)【詳解】(1)解:;;(2)解:.同類題型歸類練1.(2022·湖南省祁東縣育賢中學(xué)九年級(jí)期中)化簡(jiǎn):___________.【答案】##【詳解】解:∵,∴,∴.故答案為:.2.(2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí))化簡(jiǎn):=________.【答案】2π﹣6##6﹣2π【詳解】解:=|6-2π|=2π-6;故答案為:2π-6.3.(2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)平湖外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期中)計(jì)算:(1);(2);(3);(4).【答案】(1)7(2)(3)(4)(1)解:=7;(2)解:;(3)解:;(4)解:.4.(2022·河南·南陽(yáng)市第二十一學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))計(jì)算:(1).(2).【答案】(1)(2)(1)解:;(2).題型三:二次根式的加減乘除典型例題例題1.(2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))下列運(yùn)算正確的是()A.= B. C. D.【答案】D【詳解】A.和不是同類二次根式,不能合并,選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.,選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.,選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.,選項(xiàng)正確;故選:D.例題2.(2022·巴中四川師范大學(xué)附屬第四實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))下列計(jì)算正確的是()A. B.C. D.【答案】B【詳解】因?yàn)椋訟錯(cuò)誤;因?yàn)椋訠正確;因?yàn)椴皇峭惗胃剑瑹o法計(jì)算,所以C錯(cuò)誤;因?yàn)椋訢錯(cuò)誤;故選B.例題3.(2022·上海·上外附中八年級(jí)階段練習(xí))化簡(jiǎn):___________.【答案】【詳解】解:.故答案:例題4.(2022·山東·濟(jì)南市天橋區(qū)濼口實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))觀察下列算式.①==②==③==......回答下列問題:(1)利用以上規(guī)律:化簡(jiǎn):.(2)計(jì)算:+++.....+.【答案】(1)(2)【詳解】(1)解:==(2)解:原式=+++...+=+++...++==同類題型歸類練1.(2022·河南·輝縣市太行中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))計(jì)算:(1);(2).【答案】(1)(2)7【詳解】(1)解:原式.(2)原式.2.(2022·全國(guó)·九年級(jí)開學(xué)考試)計(jì)算(1);(2).【答案】(1)(2)【詳解】(1)解:==;(2)====.3.(2022·遼寧·寬甸滿族自治縣第一初中八年級(jí)階段練習(xí))計(jì)算:(1)﹣(2)【答案】(1)4(2)4【詳解】(1)﹣﹣(2)4.(2022·廣東·惠州市惠陽(yáng)區(qū)惠華學(xué)校九年級(jí)開學(xué)考試)計(jì)算:(1);(2);(3).【答案】(1)(2)1(3)18(1)解:(2)=1;(3)=18.題型四:最簡(jiǎn)二次根式典型例題例題1.(2022·河南·泌陽(yáng)縣光亞學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))下列二次根式中,是最簡(jiǎn)二次根式的是()A. B. C. D.【答案】A【詳解】A.是最簡(jiǎn)二次根式,故此選項(xiàng)符合題意;B.不是最簡(jiǎn)二次根式,故此選項(xiàng)不合題意;C.不是最簡(jiǎn)二次根式,故此選項(xiàng)不合題意;D.不是最簡(jiǎn)二次根式,故此選項(xiàng)不合題意;故選:A.例題2.(2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末)下列二次根式中,是最簡(jiǎn)二次根式的是(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】解:A、符合最簡(jiǎn)二次根式的定義,該選項(xiàng)符合題意;B、,不是最簡(jiǎn)二次根式,該選項(xiàng)不符合題意;C、,不是最簡(jiǎn)二次根式,該選項(xiàng)不符合題意;D、,不是最簡(jiǎn)二次根式,該選項(xiàng)不符合題意;故選:A.例題3.(2022·陜西西安·八年級(jí)階段練習(xí))將化成最簡(jiǎn)二次根式為_____.【答案】【詳解】解:,故答案為:.例題4.(2022·江蘇泰州·八年級(jí)期末)當(dāng)=____時(shí),最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式.【答案】2【詳解】解:最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式,∴,∴∴故答案為:2例題5.(2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))計(jì)算題(1);(2);(3);(4).【答案】(1)(2)﹣39(3)3(4)1+(1)原式==;(2)原式===6﹣3×15=6﹣45=﹣39;(3)原式===1×3=3;(4)原式==12﹣6﹣(3﹣+2)=6﹣5+=1+.同類題型歸類練1.(2022·山東·棗莊市薛城區(qū)舜耕中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】解:A、是最簡(jiǎn)二次根式,符合題意;B、,被開方數(shù)含分母,不是最簡(jiǎn)二次根式,不符合題意;C、,被開方數(shù)含分母,不是最簡(jiǎn)二次根式,不符合題意;D、,被開方數(shù)含分母,不是最簡(jiǎn)二次根式,不符合題意;故選:A.2.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并,那么a的值為(
)A.1 B.2 C.4 D.10【答案】A【詳解】,∵最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并,∴,∴,故選:A.3.(2022·湖南·衡陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式,則a的值是_____.【答案】2【詳解】解:∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式,,∴3a-4=2,解得:a=2,故答案為:2.4.(2022·山東淄博·八年級(jí)期末)將化為最簡(jiǎn)二次根式,其結(jié)果是__.【答案】【詳解】解:,故答案為:.5.(2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí))若兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式,則=_____________.【答案】-3【詳解】解:∵兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式,∴,∴∴或,∵兩個(gè)根式都是最簡(jiǎn)根式,∴時(shí),不符合題意,當(dāng)a=3時(shí),二次根式有意義且符合題意,故答案為-3.題型六:二次根式的化簡(jiǎn)求值典型例題例題1.(2022·河北·滄州渤海新區(qū)京師學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))若,,則代數(shù)式的值為(
)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【詳解】解:∵,,∴,=-1,∴=3.故選:B.例題2.(2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)已知,則_________.【答案】7【詳解】解:∵∴.故答案為:7.例題3.(2022·浙江·杭州市大關(guān)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))已知,,求下列各式的值:(1)(2)【答案】(1)8(2)26(1)解:,∵,,∴,,∴原式;(2)解:,∵,,∴,,∴原式.例題4.(2022·湖北·云夢(mèng)縣實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期中)(1)已知,,求的值;(2)已知,,求的值.【答案】(1)8;(2)8【詳解】(1)解:∵,,∴,∴=;(2)解:∵,,∴∴.例題5.(2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))小明在解決問題:已知,求的值.他是這樣分析與解的:∵
∴∴,
∴∴請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程,解決如下問題:(1)化簡(jiǎn)(2)比較___________;(填“>”或“<”)(3)題:若,則___________.題:若,則___________.【答案】(1)(2)(3)4;9(1)解:原式;(2)解:∵,,又∵,∴,∴,(3)解:A題:∵,∴,∴∴;B題:∵,∴∴,∴,∴.同類題型歸類練1.(2022·吉林·長(zhǎng)春市第一〇八學(xué)校九年級(jí)期中)當(dāng)x=1時(shí),二次根式的值是_____.【答案】3【詳解】解:當(dāng)x=1時(shí),原式===3,故答案為:3.2.(2022·湖北·巴東縣綠蔥坡鎮(zhèn)民族初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))已知,,求的值.【答案】3【詳解】解:∵,,∴,.∴.3.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中,小明和他的同學(xué)通到一道題:已知,求的值,他是這樣解答的:∵∴,∴,即,∴.∴.請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過程,解決如下問題:若,求的值.【答案】4【詳解】∵,∴,∴,即,∴.∴.題型七:二次根式的應(yīng)用典型例題例題1.(2022·寧夏·固原市原州區(qū)三營(yíng)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))觀察并分析下列數(shù)據(jù),尋找規(guī)律:,,,,,,…,那么第個(gè)數(shù)據(jù)是____.【答案】【詳解】解:由題意可知:題目中的數(shù)據(jù)可以整理為:,,,…,,∴第個(gè)數(shù)據(jù)是∶.故答案為:.例題2.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))如圖是由一連串直角三角形組成的,其中,第1個(gè)三角形的面積記為,第2個(gè)三角形的面積記為,…,第n個(gè)三角形的面積記為,觀察圖形,得到如下各式:,;,;,;…根據(jù)以上的規(guī)律,推算出______.【答案】【詳解】解:根據(jù)題意,∵OAn2=n,∴OA100=故答案為:5.例題3.(2022·福建·廈門市海滄區(qū)北附學(xué)校八年級(jí)期末)有一塊矩形木板,木工采用如圖沿虛線在木板上截出兩個(gè)面積分別為12和27的正方形木板.(1)求原矩形木板的面積;(2)如果木工想從剩余的木塊(陰影部分)中裁出長(zhǎng)為1.5dm,寬為1dm的長(zhǎng)方形木條,估計(jì)最多能裁出多少塊這樣的木條,請(qǐng)你計(jì)算說明理由.【答案】(1)45平方分米(2)3塊,理由見詳解(1)∵兩個(gè)正方形的面積分別為12和27,∴這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為和,由圖可知,矩形的長(zhǎng)為:+,寬為,則原矩形的面積為:()答:原矩形的面積為45;(2)最多能裁出3快,理由如下:根據(jù)(1),可知:這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為和,即此時(shí)陰影部分的寬為:,長(zhǎng)為:∵,∴,∴,∴,,即可知,陰影部分可以最多裁剪出3塊長(zhǎng)1.5dm寬1dm的木條.例題4.(2022·云南·保山市第七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))如圖,從一個(gè)大正方形中可以裁去面積為8和32的兩個(gè)小正方形,求陰影部分的周長(zhǎng).【答案】【詳解】解:由題意,得其中一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為,另一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為,所以陰影部分的周長(zhǎng)為.例題5.(2022·山東青島·九年級(jí)期末)已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng),寬(1)求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng);(2)有個(gè)正方形與該長(zhǎng)方形的面積相等,求正方形與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的比.【答案】(1)(2)(1)解:長(zhǎng)方形的長(zhǎng),寬所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=(2)長(zhǎng)方形的面積=根據(jù)面積相等,則正方形的邊長(zhǎng)=,周長(zhǎng)=,所以,正方形與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的比為例題6.(2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))觀察以下等式:第1個(gè)等式:
第2個(gè)等式:第3個(gè)等式:...........按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第7個(gè)等式:;(2)寫出你猜想的第個(gè)等式:(用含的等式表示,為自然數(shù))(3)計(jì)算:【答案】(1);(2);(3)(1)解:根據(jù)題意得第7個(gè)等式為:;故答案為:;(2)解:第1個(gè)等式:;第2個(gè)等式:;第3個(gè)等式:;由以上等式可以猜想第n個(gè)等式是:;故答案為:;(3)解:===.同類題型歸類練1.(2022·江蘇南京·八年級(jí)期末)如圖,在矩形ABCD中無重疊放入面積分別為12和18(a>b)的兩張正方形紙片,則圖中空白部分的面積為__________.【答案】(6-12)##()【詳解】解:大正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形的邊長(zhǎng)為,根據(jù)題意可得:空白部分的面積=四邊形CDEF的面積-12=×-12=6-12().故答案為:(6-12).2.(2022·河南
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