第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年河南省周口市恒大中學高二（上）開學數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數1?3i(1?i)(1+2i)=(

)A.?1 B.?i C.35?42.設向量a，b滿足|a|=2，a2=2a?A.2 B.1 C.12 D.3.設復數z=1?i(i是虛數單位)，則復數2z+zA.1?i B.1+i C.2+i D.2?i4.已知向量AB=(m,0)，BC=(?2,2)，(AB+AC)⊥A.1 B.2 C.3 D.45.若直線a//平面α，a//平面β，α∩β=直線b，則(

)A.a//b或a與b異面 B.a//b C.a與b異面 D.a與b相交6.2020年11月5日?11月10日，在上海國家會展中心舉辦了第三屆中國國際進口博覽會，其中的“科技生活展區”設置了各類與人民生活息息相關的科技專區.現從“高檔家用電器”“智能家居”“消費電子”“服務機器人”“人工智能及軟件技術”五個專區中選擇兩個專區參觀，則選擇的兩個專區中包括“人工智能及軟件技術”專區的概率是(

)A.110 B.310 C.257.已知z=21+i，其中i為虛數單位，則z?A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i8.設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且atanB=203，bsinA=4，則a等于(

)A.3 B.83 C.4 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱AB上的動點，DQ⊥平面DA.QD1=QC

B.平面D1PC截正方體所得的截面可能為三角形

C.當P位于AB中點時三棱錐D1?DCP的外接球半徑最大

D.線段DQ的長度隨線段AP的長度增大而增大

10.如圖(a)，邊長為2的正方形AP1P2P3中，B，C分別是P1P2，P2P3的中點，AP2交BC于A.平面PAD⊥平面PBC

B.四面體P?ABC的體積為13

C.點P到平面ABC的距離為13

D.四面體P?ABC的外接球的體積為11.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，三條中線相交于點G.已知b=c=2，a=3，∠ABC的平分線與AC相交于點D，則(

)A.邊AC上的中線長為22 B.△ABC內切圓的面積為9π28

C.△BCD與△BAD面積之比為3：2 D.G到AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，從下列四個條件中選擇兩個作為已知條件，能夠得到l⊥α的是______.(填入條件的序號即可)

①l//m；②α//β；③m⊥α；④l⊥β．13.如圖所示的四邊形ABCD中，設AB=a,AD=b,BC14.如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AB//CD，且AB//平面α，AD，BC與平面α分別交于點M，N，且點M是AD的中點，AB=4，CD=6，則MN=______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

化簡下列各式：

(1)(AB+MB)+(?OB?MO)；16.(本小題15分)

如圖，有一塊三棱錐形木塊ABCD，其中面ABC內有一點P．

(1)若要在面ABC內過點P畫一條線段EF，其中點E在線段AB上，點F在線段AC上，且滿足EF與AD垂直，該如何求作？請在圖中畫出線段EF并說明畫法，不必證明．

(2)經測量，AB=AC=6cm，AD=5cm，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=arccos35，若P恰為三角形ABC的重心，EF為(1)中所求線段，求三棱錐17.(本小題15分)

如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．

(1)設AD=x(x≥0)，ED=y，求用x表示y的函數關系式；

(2)如果DE是灌溉水管，為節約成本，希望它最短，DE的位置應在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請予證明．18.(本小題17分)

已知平面向量a=(1,x)，b=(2x+3,?x)，x∈R．

(1)若a⊥b，求|a?b|；

(2)19.(本小題17分)

某校組織《反間諜法》知識競賽，將所有學生的成績(單位：分)按照[45,55)，[55,65)，…，[105,115]分成七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求這次競賽成績平均數的估計值；(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)

(2)從競賽成績不低于85分的學生中用分層隨機抽樣的方法抽取12人，再從第六組和第七組被抽到的學生中任選2人做主題演講，求至少有1名第七組的學生做主題演講的概率．

參考答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.ABD

11.BC

12.①③(或②④)

13.a+14.5

15.解：(1)(AB+MB)+(?OB?MO)=(16.解：(1)在AD上任取一點Q，

過點Q在平面ABD內作AD的垂線，交AB于點G，

過點Q在平面ACD內作AD的垂線，交AC于點H，

連接GH，

若GH過點P，則GH就是所求線段EF，

若GH不過點P，則過點P作GH的平行線，與AB，AC相交，即可得到線段EF．

如圖所示：

(2)取BC的中點M，連接AM，DM，

因為點P為△ABC的重心，則點P在AM上，且AP=2PM，

由題意可得，AM⊥BC，DM⊥BC，AM∩DM=M，

所以BC⊥平面ADM，

因為AD?平面ADM，

則BC⊥AD，

又EF⊥AD且EF，BC共面，

則EF/?/BC，

所以S△AEFS△ABC=(APAM)2=(23)2=49，

故三棱錐ADEF的體積為三棱錐ABCD體積的49，

因為AB=AC=6，∠BAC=60°，

所以△ABC為等邊三角形，

則BC=6，

所以AM=ABsin60°=33，

在△ABD中，由余弦定理可得，AD2=AB2+BD2?2AB?BDcos∠ABD，

整理可得5BD2?36BD+55=0，

解得BD=5或BD=115，

①當BD=5時，此時△ABD為等腰三角形，∠ABD=∠BAD，cos∠ADB=725>0，符合題意；

②當BD=11517.解(1)在△ADE中，y2=x2+AE2?2x?AE?cos60°?y2=x2+AE2?x?AE，①

又S△ADE=12S△ABC=32=12x?AE?sin60°?x?AE=2.②

②代入①得y2=x2+(2x)18.解：(1)∵a⊥b，

∴a?b=2x+3?x2=0，解得：x=?1或x=3，

當x=?1時，a?b=(0,?2)，

∴|a?b|=02+(?2)2=2；

當x=3時，a?b=(?8,6)，

∴|a?b|=(?8)2+62=10；

綜上所述：|a?b|=2或10

(2)若a,b共線，則?x=x(2x+3)，解得：x=019.解：(1)由頻率分布直方圖得：

(a+0.008+0.012+0.015+0.03+4a+2a)×10=1，

解得a=0.005，

∴這次競賽成績平均數的估計值為：

x?=(0.005×50+0.008×60+0.012×70+0.015×80+0.03×90+0.02×100+0.01×110)×10=85.7．

(2)從競賽成績不低于85分的學生中用分層隨機抽