主編管典安倪臣敏主審謝志春線性代數大連理工大學出版社普通高校應用型人才培養試用教材由前面章節,我們發現線性方程組的解的情況與系數矩陣的行階梯形矩陣的非零行的行數有關,因此我們引入矩陣秩的概念,來描述方程組解的情況.

定義1

設A

是m×n

矩陣,經過有限次初等行變換把它變為行階梯形矩陣,則行階梯形矩陣中非零行的行數即是矩陣A

的秩,記作R(A).并規定零矩陣的秩等于0.設例1求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩.

解對B

作初等行變換變為行階梯形矩陣,設B

的行階梯形矩陣為B1=(A1,b1),則A1

就是A

的行階梯形矩陣,故從B1=(A1,b1)中可同時看出R(A)及R(B).

因此,R(A)=2,R(B)=3.

定理1設A

是m×n

矩陣,增廣矩陣B=(A,b)則

(1)齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)<n,只有零解的充要條件是R(A)=n.

(2)非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件是R(A)=R(B),且當R(A)=R(B)=n

時方程組有唯一解,當R(A)=R(B)=r<n

時方程組有無窮個解.

注意:由第4章可知,向量組a1,a2…an

的線性相關性決定于齊次線性方程組(a1,a2,…,an)x=0是否有非零解,由定理1可得,當R(a1,a2,…,an)=n

時,a1,a2,…,an

線性無關;當R(a1,a2,…,an)<n

時,a1,a2,…,an

線性相關.在這里,介紹矩陣秩的一些常用性質:注意:若n

階方陣A滿足R(A)=n,則A≠0,此時也稱A

為滿秩方陣;另外,若矩陣A

的秩等于它的行數,則稱矩陣A

為行滿秩矩陣;若矩陣A

的秩等于它的列數,則稱矩陣A

為列滿秩矩陣.A組

答案1.求下列矩陣的秩.(1)3;(2)3;(3)3A組2.求矩陣A

和B

的秩,其中

答案R(A)=2,R(B)=3A組3.設

答案a=5,b=1已知R(A)=2,求a

與b

的值.B組

答案(1)k=1,R(A)=1;(2)k=-2,R(A)=2;(3)k≠1,k≠-2,R(A)=3B組

答案a=-3B組

答案提示:利用A(B-C)=O及秩的性質設有齊次線性方程組記則齊次線性方程組(1)可寫成向量方程稱為齊次線性方程組(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解.例１求齊次線性方程組的基礎解系與通解.解對系數矩陣A作初等行變換,變為行最簡形矩陣,有得由上述例子,我們不加證明地給出下面的定理:定理1

設A

是m×n

矩陣,且R(A)=r,則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S

的秩R(S)=n-r.通解為A組1.求齊次線性方程組答案的基礎解系與通解.A組2.求齊次線性方程組

答案的基礎解系與通解.B組

答案1.設A

為四階矩陣,R(A)=3,且A

的每行元素之和為0,求方程組Ax=0的通解.B組

答案2.設A=

,且Ax=0的基礎解系含有兩個線性無關的解向量,求Ax=0的通解.B組3.已知方程組有非零解,求常數a,并求該方程組的通解.

答案B組4.證明:設A、B

均為n

階非零矩陣,若B

的每一列是齊次線性方程組Ax=0的解,則|A|=0,|B|=0.

答案提示:利用矩陣秩的性質:若Am×nBn×l=O,則R(A)+R(B)≤n設有非齊次線性方程組記則非齊次線性方程組(1)可寫成向量方程

性質1若x=η1,x=η2

為非齊次線性方程組(1)的解,則x=η1-η2

為對應的齊次線性方程組的解.

證明A(η1-η2)=Aη1-Aη2=b-b=0,即x=η1-η2

滿足齊次線性方程組(3).

證明A(ξ+η)=Aξ+Aη=0+b=b,即x=ξ+η

滿足非齊次線性方程組(1).由性質2,我們推出如下定理:性質2

若x=ξ

為非齊次線性方程組(1)的解,x=η

為對應的齊次線性方程組Ax=0的解,則x=ξ+η仍是非齊次線性方程組(1)的解.定理1

非齊次線性方程組Ax=b

的通解等于其對應的齊次線性方程組Ax=0的通解加上它本身的一個特解.求解方程組例１

解對增廣矩陣B作初等行變換,變為行最簡形矩陣,有得取x3=0,則x1=0,x2=4,即得方程組的一個解在對應的齊次線性方程組中,取x3=1,則x1=-3,x2=-1,即得對應的齊次線性方程組的基礎解系于是所求通解為A組1.求解方程組答案A組2.求解方程組答案B組

1.討論k

取何值時,下列方程組無解、有解?有解時求出方程組的通解

答案B組

2.討論a

取何值時,下列方程組有無數個解,并求出方程組的通解

答案

答案a,b,c至少有兩個相等.有非零解,求a,b,c滿足的條件.

1.設齊次線性方