第58講兩條直線的位置關系知識梳理知識點一：兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個為0，另一個不存在．知識點二：三種距離1、兩點間的距離平面上兩點的距離公式為．特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離2、點到直線的距離點到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．（2）設，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對應系數要相等．4、雙根式雙根式型函數求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調性求解．【解題方法總結】1、點關于點對稱點關于點對稱的本質是中點坐標公式：設點關于點的對稱點為，則根據中點坐標公式，有可得對稱點的坐標為2、點關于直線對稱點關于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．3、直線關于點對稱法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．4、直線關于直線對稱求直線，關于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯立算出交點第二步：在上任找一點（非交點），利用點關于直線對稱的秒殺公式算出對稱點第三步：利用兩點式寫出方程5、常見的一些特殊的對稱點關于軸的對稱點為，關于軸的對稱點為．點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．點關于點的對稱點為．點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．6、過定點直線系過已知點的直線系方程（為參數）．7、斜率為定值直線系斜率為的直線系方程（是參數）．8、平行直線系與已知直線平行的直線系方程（為參數）．9、垂直直線系與已知直線垂直的直線系方程（為參數）．10、過兩直線交點的直線系過直線與的交點的直線系方程：（為參數）．必考題型全歸納題型一：兩直線位置關系的判定例1．（2024·高二課時練習）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點坐標為（

）A． B．C． D．例2．（2024·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學校考開學考試）已知過點和點的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8例3．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學校考開學考試）設直線，，則是的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件變式1．（2024·廣東東莞·高三校考階段練習）直線：與直線：平行，則（

）A．或 B． C． D．變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知直線：，：，則條件“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不必要也不充分條件變式3．（2024·黑龍江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直線，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點D使AD⊥BC，AB∥CD，則點D的坐標為（

）A． B．C． D．變式5．（2024·甘肅隴南·高三統考期中）已知的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標為A． B． C． D．變式6．（2024·全國·高三專題練習）直線，直線，下列說法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點到的距離為3變式7．（2024·全國·高三對口高考）設分別為中所對邊的邊長，則直線與直線的位置關系是（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合【解題方法總結】判斷兩直線的位置關系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設（不全為0），（不全為0），則：當時，直線相交；當時，直線平行或重合，代回檢驗；當時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．題型二：兩直線的交點與距離問題例4．（2024·全國·高三專題練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．例5．（2024·上海浦東新·華師大二附中校考三模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個 B．2個 C．個 D．無數個例6．（2024·全國·高三專題練習）若三條直線不能圍成三角形，則實數的取值最多有（

）A．個 B．個C．個 D．個變式8．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）若點在直線上，O是原點，則OP的最小值為（

）A． B．2 C． D．4變式9．（2024·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）已知點在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式10．（2024·高二課時練習）已知點、、，且，則.變式11．（2024·全國·高二專題練習）已知點與點間的距離為，則．變式12．（2024·全國·高二課堂例題）已知點，，，則的面積為．變式13．（2024·江蘇淮安·高二統考期中）已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則.變式14．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中校考期中）點到直線的距離的最大值是．變式15．（2024·高二課時練習）過直線與直線的交點，且到點的距離為1的直線l的方程為．變式16．（2024·江西新余·高二校考開學考試）若點到直線的距離為3，則.變式17．（2024·全國·高三專題練習）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程：.變式18．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學校考開學考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是.變式19．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）平行直線與之間的距離為．變式20．（2024·新疆·高二校聯考期末）已知不過原點的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為．【解題方法總結】兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結構．題型三：有關距離的最值問題例7．（2024·北京·高三強基計劃）的最小值所屬區間為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對例8．（2024·全國·高三專題練習）已知實數，滿足，，，則的最小值是．例9．（2024·全國·高三專題練習）如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標為．變式21．（2024·全國·高二專題練習）已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為.變式22．（2024·全國·高二課堂例題）已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．變式23．（2024·全國·高三專題練習）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為點到點的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．變式24．（2024·貴州·校聯考模擬預測）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．變式25．（2024·江西·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6變式26．（2024·高二課時練習）已知點，點P在x軸上使最大，求點P的坐標．變式27．（2024·天津和平·高二天津市匯文中學校考階段練習）在直線上求一點P，使得：(1)P到和的距離之差最大；(2)P到和的距離之和最小.變式28．（2024·全國·高三專題練習）已知函數的圖象恒過定點A，圓上的兩點，滿足，則的最小值為(

)A． B．C． D．變式29．（2024·江西·高三校聯考開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據以上性質，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式31．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（

）A． B． C．5 D．10變式32．（2024·全國·高二專題練習）過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．【解題方法總結】數學結合，利用距離的幾何意義進行轉化．題型四：點點對稱例10．（2024·全國·高三專題練習）已知，，點是線段的中點，則.例11．（2024·江蘇南通·高二統考期中）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標為，則線段的長度為.例12．（2024·高二課時練習）設點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于變式33．（2024·高一課時練習）已知直線l與直線及直線分別交于點P，Q．若PQ的中點為點，則直線l的斜率為．【解題方法總結】求點關于點中心對稱的點，由中點坐標公式得題型五：點線對稱例13．（2024·湖南長沙·高一周南中學校考開學考試）如下圖，一次函數的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當周長最小時，點，的坐標分別為（

）

A．， B．，C．， D．，例14．（2024·全國·高二專題練習）若直線和直線關于直線對稱，則直線恒過定點（

）A． B． C． D．例15．（2024·全國·高二假期作業）拋物線的焦點關于直線的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．變式34．（2024·江西·高二校聯考開學考試）如圖，一束光線從出發，經過坐標軸反射兩次經過點，則總路徑長即總長為（

）A． B．6 C． D．變式35．（2024·四川遂寧·高二統考期末）已知點A與點關于直線對稱，則點A的坐標為（

）A． B．C． D．變式36．（2024·湖北·高二校聯考階段練習）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發，經反射后又回到點，如圖，若光線經過的重心，則（

）A． B． C．1 D．2【解題方法總結】求點關于直線對稱的點方法一：（一中一垂），即線段的中點M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個條件建立方程組解得點方法二：先求經過點且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點，從而得題型六：線點對稱例16．（2024·高二課時練習）直線關于點對稱的直線的方程為．例17．（2024·全國·高二專題練習）直線關于點的對稱直線方程是．例18．（2024·河北廊坊·高三校考階段練習）與直線關于點對稱的直線的方程為.變式37．（2024·全國·高三專題練習）直線恒過定點，則直線關于點對稱的直線方程為．變式38．（2024·遼寧營口·高三統考期末）若直線：與直線關于點對稱，則當經過點時，點到直線的距離為.變式39．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關于點（2，3）對稱，則直線l的方程是.【解題方法總結】求直線l關于點中心對稱的直線求解方法是：在已知直線l上取一點關于點中心對稱得，再利用，由點斜式方程求得直線的方程（或者由，且點到直線l及的距離相等來求解）．題型七：線線對稱例19．（2024·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．例20．（2024·全國·高三專題練習）若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．4例21．（2024·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是（）A． B．C． D．變式40．（2024·全國·高三專題練習）設直線與關于直線對稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．變式41．（2024·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線為（

）A． B． C． D．變式42．（2024·全國·高三專題練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么（

）A． B． C． D．變式43．（2024·全國·高三專題練習）求直線x＋2y－1＝0關于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0變式44．（2024·全國·高三專題練習）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關于直線對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．