PAGEPAGE7其次課函數及其基本性質【題組訓練一】函數的基本概念1．若函數y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數y＝f(x)的圖象可能是()【解析】選B.A中函數定義域不是[－2，2]；C中圖象不表示函數；D中函數值域不是[0，2].2．下列函數中，與函數y＝x＋1是相等函數的是()A．y＝(eq\r(x＋1))2 B．y＝eq\r(3,x3)＋1C．y＝eq\f(x2,x)＋1 D．y＝eq\r(x2)＋1【解析】選B.對于A，函數y＝(eq\r(x＋1))2的定義域為{x|x≥－1}，與函數y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數；對于B，定義域和對應關系分別對應相同，是相等函數；對于C.函數y＝eq\f(x2,x)＋1的定義域為{x|x≠0}，與函數y＝x＋1的定義域x∈R不同，不是相等函數；對于D，定義域相同，但對應關系不同，不是相等函數．3．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))則f(f(1))＝()A．－eq\f(1,2) B．2 C．4 D．11【解析】選C.由題意知f(1)＝12＋2＝3，因此f(f(1))＝f(3)＝3＋eq\f(1,3－2)＝4.(1)推斷一個圖象是否為函數圖象的方法，作任何一條垂直于x軸的直線，不與已知圖象有兩個或兩個以上的交點的，就是函數圖象．(2)在推斷兩個函數是否為同一函數時，要緊扣兩點：一是定義域是否相同；二是對應關系是否相同．【題組訓練二】函數的定義域、值域1．函數f(x)＝eq\f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定義域為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【解析】選D.由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,2x－1≠0，))解得x<1且x≠eq\f(1,2)，即f(x)的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).2．已知函數y＝f(x－1)的定義域是[－1，2]，則y＝f(1－3x)的定義域為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3))C．[0，1] D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))【解析】選C.由y＝f(x－1)的定義域是[－1，2]，則x－1∈[－2，1]，即f(x)的定義域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定義域為[0，1].3．已知函數f(x)＝－2x＋3的值域為[－5，5]，則它的定義域為()A．[－5，5]B．[－7，13]C．[－1，4]D．[－4，1]【解析】選C.可以畫出函數y＝－2x＋3的圖象，再依據圖象來求；還可以運用函數性質來求，f(x)在R上單調遞減，且當f(x)＝－5時，x＝4；當f(x)＝5時，x＝－1，所以定義域為[－1，4].4．求函數y＝2x－3－eq\r(13－4x)的值域．【解析】由13－4x≥0，解得x≤eq\f(13,4)，函數y＝2x－3為實數集上的增函數，y＝－eq\r(13－4x)為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,4)))上的增函數，所以y＝2x－3－eq\r(13－4x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,4)))上為增函數，則ymax＝2×eq\f(13,4)－3－eq\r(13－4×\f(13,4))＝eq\f(7,2)，所以y＝2x－3－eq\r(13－4x)的值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2))).關于函數定義域、值域的求法(1)定義域：關注解析式中的根號、分母、零次冪有意義；抽象函數的定義域一般用代入法求解．(2)值域：首先考查函數類型，再確定函數在定義域上的單調性，最終計算最值．解題過程中要敏捷應用換元法、配方法等方法，含字母的要分狀況探討．【題組訓練三】求函數的解析式1．已知函數f(2x＋1)＝4x2，則f(－3)＝()A．36B．16C．4D．2【解析】選B.方法一：函數f(2x＋1)＝4x2，令2x＋1＝－3，解得x＝－2，所以f(－3)＝4×(－2)2＝16.方法二：設2x＋1＝t，則x＝eq\f(t－1,2)，所以f(t)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t－1,2)))eq\s\up12(2)＝(t－1)2，所以f(－3)＝(－3－1)2＝16.2．已知f(x)是二次函數且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________．【解析】設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝1，,a＋b＝－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(3,2)．))所以f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2.答案：eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋23．已知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________．【解析】在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1中，將x換成eq\f(1,x)，則eq\f(1,x)換成x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq\r(\f(1,x))－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f（x）·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).答案：eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)求函數解析式的常用方法(1)待定系數法：若已知函數的類型，可用待定系數法．(2)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要留意新元的取值范圍．(3)構造法：已知關于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達式，可依據已知條件再構造出另外一個等式，通過解方程組求出f(x).【題組訓練四】函數圖象及應用1．(2024·天津高考)函數y＝eq\f(4x,x2＋1)的圖象大致為()【解析】選A.設f(x)＝y＝eq\f(4x,x2＋1).由函數的解析式可得：f(－x)＝eq\f(－4x,x2＋1)＝－f(x)，又其定義域關于原點對稱，則函數f(x)為奇函數，其圖象關于坐標原點對稱，選項C，D錯誤；當x＝1時，y＝eq\f(4,1＋1)＝2>0，選項B錯誤．2．已知y＝f(x)是奇函數，y＝g(x)是偶函數，它們的定義域均為[－3，3]，且它們在x∈[0，3]上的圖象如圖所示，則不等式eq\f(f（x）,g（x）)<0的解集是________．【解析】因為f(x)是奇函數，所以由圖象知，當0＜x＜2或－3＜x＜－2時，f(x)＞0，當－2＜x＜0或2＜x＜3時，f(x)＜0，因為g(x)是偶函數，所以當1＜x＜3或－3＜x＜－1時，g(x)＞0，當－1＜x＜0或0＜x＜1時，g(x)＜0，則不等式eq\f(f（x）,g（x）)<0等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）>0，,g（x）<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）<0，,g（x）>0))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<2或－3<x<－2，,－1<x<0或0<x<1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<x<0或2<x<3，,1<x<3或－3<x<－1，))得0＜x＜1或2＜x＜3或－2＜x＜－1，即不等式eq\f(f（x）,g（x）)<0的解集為{x|0＜x＜1或2＜x＜3或－2＜x＜－1}．答案：{x|0＜x＜1或2＜x＜3或－2＜x＜－1}作函數圖象的方法(1)描點法——求定義域、化簡、列表、描點、連線．(2)變換法——熟知函數的圖象的平移、對稱、翻轉．①平移：y＝f(x)y＝f(x±h)；y＝f(x)y＝f(x)±k.(其中h＞0，k＞0).②對稱：y＝f(x)y＝f(－x)；y＝f(x)y＝－f(x)；y＝f(x)y＝－f(－x).【題組訓練五】函數的單調性與奇偶性1．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________．【解析】因為x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，且f(x)在R上為奇函數，所以f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.答案：122．已知函數f(x)＝eq\f(mx2＋2,3x＋n)是奇函數，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求實數m和n的值．(2)求函數f(x)在區間[－2，－1]上的最值．【解析】(1)因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，所以eq\f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq\f(mx2＋2,3x＋n)＝eq\f(mx2＋2,－3x－n).比較得n＝－n，n＝0.又f(2)＝eq\f(5,3)，所以eq\f(4m＋2,6)＝eq\f(5,3)，解得m＝2.因此，實數m和n的值分別是2和0.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(2x2＋2,3x)＝eq\f(2x,3)＋eq\f(2,3x).任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,3)(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq\f(2,3)(x1－x2)·eq\f(x1x2－1,x1x2