24.1測量測量物體的高度是我們在工作和生活中經常遇到的問題.

本章將告訴我們怎樣利用直角三角形來解決有關的測量問題.

引言旗桿當你走進學校，仰頭望著操場旗桿上高高飄揚的五星紅旗時，你也許很想知道，操場的旗桿有多高？我們如何來測量旗桿的高度？

引入ABCDEF選一個陽光明媚的日子，請你的同學量出你在太陽下的影子的長度和旗桿影子的長度，再根據你的身高計算出旗桿的高度.

想一想如果就你一個人，又遇上陰天，那么如何測量旗桿的高度？

想一想34o

如果站在離旗桿BE底部10米處的D點，目測旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角∠BAC為34o

，并目高AD為1米.現在按1：500的比例將ΔABC畫在紙上，并記為用刻度尺量出紙上的長度，便可以算出旗桿的高度.BADECA'C'B'

想一想怎樣利用照相機來測量旗桿的高度？

想一想充分利用相似三角形的相關知識在測量中采用不同的方法或者設計不同的方案解決實際問題.ABCDEF∵∠B=∠E（太陽光線是平行的）∠C=∠F=90o∴△ABC∽△DEF∴

理論例1小華測得2m高的標桿在太陽光下的影長為

1.2m，同時又測得一顆樹的影長為12m，請你計算出這棵樹的高度.解：設這棵樹的高度為xm.∵同一時刻物高與影長成正比∴∴x=20答：這棵樹的高度為20m.

運用例2如圖，在距離樹AB18米的地面上平放著一面鏡子E,人退后到距鏡子2.1米的D處，在鏡子里恰看見樹頂.若人眼距地面1.4米，求樹AB的高度.DBACE解：∵∠CDE=∠ABE=90°∠CED=∠AEB（入射角等于反射角）∴△CDE∽△ABE∴∴

∴AB=18m

答:樹AB的高度為18m.

運用方案設計：一盜竊犯于夜深人靜之時潛入某單位作案，該單位的自動攝像系統攝下了他作案的全過程.請你為警方設計一個方案，估計該盜竊犯的大致身高.

運用（1）①有陽光時怎么測量旗桿高度？由于同一時刻太陽光線可以看作是平行的，所以這時物體在地面上投影長度與物體高度成正比．②陰雨天氣如何測旗桿高度？陰雨天氣，不能利用陽光，只能測量角度制造相似，利用比例尺的計算公式來計算旗桿的高度．③怎樣利用照相機測量旗桿的寬度？利用照相機所拍攝成的相片與實物是相似的，同樣利用比例尺的計算公式來計算旗桿的高度.

小結（2）研究測量要以實際條件為基礎考慮測量方案來解決實際問題.

小結請同學們到操場上分別用兩種方法測得相應的數據，并做好記錄.（指導學生使用測角儀測出角度）寫出今天測量旗桿高度的步驟，畫出圖形，并根據測量數據計算旗桿的高度.

作業24.2直角三角形的性質

復習提問（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一類特殊的三角形，除了具備三角形的性質外，還具備哪些性質?

引入

（一）直角三角形性質定理1

請學生看圖形：

1、提問：∠A與∠B有何關系？為什么？

2、歸納小結：我們已經知道（1）直角三角形的兩個銳角互余.

（2）在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

新課3、鞏固練習：（投影顯示）練習（1）在直角三角形中，有一個銳角為52°

，那么另一個銳角度數

.

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，

那么∠A=60°，∠B=30°.

（二）直角三角形性質定理2

1、實驗操作：要學生拿出事先準備好的直角三角形的紙片

（l）量一量斜邊AB的長度

（2）找到斜邊的中點，用字母D表示

（3）畫出斜邊上的中線

（4）量一量斜邊上的中線的長度

讓學生猜想斜邊上的中線與斜邊長度之間有何關系？

2、提出命題：

定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

這個定理在我們實際生活中有廣泛的應用，因為它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關系，下面我們就來看個例題．例如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°.求證：BC=AB.

證明：作斜邊AB上的中線CD，則CD=AB=AD=BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.

解：因為∠A=30°，所以∠B=60°.所以所以△CDB是等邊三角形.所以BC=BD=AB.3、證明命題：（投影顯示）

已知：在Rt△ABC中，

ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線.求證：CD=AB.

證法：作DF//AC交BC于F，DE//BC交AC于E

.

,,得到DE=BF；通過證明△AED,

再證明四邊形DECF為平行四邊形，得到DE=CF,由此得到CF=BF,從而證得CD=AB.

1.在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB邊上的中線，那么與CE相等的線段有_________，與∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB=_________.

2.在直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長為________．

3.已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中點.

求證：（1）ED=EB；(2)∠EBD=∠EDB

；

（3）圖中有哪些等腰三角形？

4.已知：在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，M是BC的中點.如果連接DE,取DE的中點O,那么MO與DE有什么樣的關系存在?

鞏固訓練這節課主要講了直角三角形的性質定理？

1.直角三角形的兩個銳角互余2.在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

3.在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

課堂小結24.3.1銳角三角函數

操場里有一個旗桿，小明去測量旗桿的高度，他站在離旗桿底部10米遠處，目測旗桿的頂部，視線與水平線的夾角為34度，并已知目高為1.4米．然后他很快就算出旗桿的高度了．

你想知道小明怎么算的嗎？?1.4米10米

引入

直角三角形ABC可以簡記為Rt△ABC，直角∠C所對的邊AB稱為斜邊，用c表示，另兩條直角邊分別叫∠A的對邊與鄰邊，分別用a、b表示.圖25.2.1

想一想對于銳角A的每一個確定的值，其對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、鄰邊與對邊的比值也是惟一確定的嗎？

想一想演示這幾個比值都是銳角∠A的函數，記作sinA、cosA、tanA，即sinA=cosA=tanA=分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切統稱為銳角∠A的三角函數.1、sinA

不是一個角2、sinA不是

sin與A的乘積3、

sinA

是一個比值

4、sinA

沒有單位

理論你能知道sinA、cosA的取值范圍嗎？0＜sinA＜1，0＜cosA＜1

理論sin2A與cos2A之間有什么關系？sin2A+cos2A=1

結論數學理論我們把30゜、45゜、60゜的三角函數值列表如下.（請填出空白處的值）

理論

例1如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.試求出∠A的三個三角函數值.．

∴

∴sinA=

cosA=

tanA=

運用例2求值：

運用計算：（1）tan45°－sin30°（2）cos60°+sin450－tan30°（3）（4）

演練（1）內容總結1、分別說出銳角三角函數定義

2、熟記30°、45°、60°角的三角函數值3、sin2A+cos2A=1

小結（2）方法歸納

在涉及直角三角形邊角關系時，常借助三角函數定義來解．利用特殊角的三角函數值來計算一些代數式的值24.3.2用計算器

求銳角三角函數值銳角三角函數的定義：直角三角形中邊與角的關系:銳角三角函數.bABCa┌c

引入1.說出30゜、45゜、60゜的三角函數值.數學理論

練習計算：（1）2cos60°+2sin30°+4tan45°

（2）

練習

如何求出任意一個銳角的三角函數值？想一想

想一想一、求已知銳角的三角函數值

例1求sin63°52′41″的值．（精確到0．0001）SHIFTMODE3步驟1：按

2:按下列順序依次按鍵：

sin63o’”5241=o’”o’”∴sin63°52′41″≈0.8979

運用顯示結果為0.897859012.∴sin63°52′41″≈0.8979求tan19°15′的值.例2解：在角度單位狀態為“度”的情況下（屏幕顯示），按下列順序依次按鍵：Dtan19o’”1541=o’”o’”顯示結果為0.349215633.所以tan19°15′≈0.3492.二、由銳角三角函數值求銳角的度數例3已知tanx＝0．7410，求銳角x的度數．（精確到1′）在角度單位狀態為“度”的情況下（屏幕顯示），按下列順序依次按鍵：D

Dtan-10.741036.53844577SHIFTtan0·7410=則再按鍵.顯示結果為36°32′18.4″.所以x≈36°32′.o’”

運用顯示結果為36.53844577.1.求下列三角函數值：（精確到0.0001）（1）sin28°31‘29“（2）cos72°16’54”（3）tan60°07‘35“2．求下列銳角x的度數：（精確到1＇）（1）sinx=0.2563（2）cosx=0.6529（3）tanx=2.3672

演練

利用計算器可以求一般角度的三角函數值．

小結學會用計算器求銳角三角函數值

小結24.4解直角三角形本節課研究的問題是：——如何將實際問題轉化為解直角三角形的問題？實際問題中的數量關系轉化為直角三角形中元素之間的關系解直角三角形.

解直角三角形的依據是什么？（1）三邊之間關系：勾股定理（2）銳角之間關系：兩個銳角互余（3）邊角之間關系：三角函數

引入——什么是仰角、俯角？如何將實際問題轉化為解直角三角形的問題？

引入什么是坡度、坡比？——如何將實際問題轉化為解直角三角形的問題？

在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.

理論

在修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即．

坡度通常寫成1:m的形式，如i＝1:6．坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有

顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．＝

tanα．

理論1、學生探究：在RtΔABC中，若∠C=90°，問題1：兩銳角∠A、∠B的有什么關系？問題2：三邊a、b、c的關系如何？問題3：∠A與邊的關系是什么？2、數學知識、數學運用解直角三角形有下面兩種情況：（1）已知兩條邊求直角三角形中的其它元素；（2）已知一邊及一角求直角三角形中的其它元素.

運用例1如圖所示，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，大樹在折斷之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折斷后倒下部分的長度為13+5=18（米）答：大樹在折斷之前高為18米.5m12m

運用例2如圖，在相距2000米的東、西兩座炮臺A、B處同時發現入侵敵艦C，炮臺A測得敵艦C在它的南偏東400的方向，炮臺B測得敵艦C在它的正南方，試求敵艦與兩炮臺的距離.（精確到1米）解：在RtΔABC中

∵∠CAB=900-∠CAD=500

ADCB答：敵艦與A、B兩炮臺的距離分別約為3111米和2384米.4002000

運用例3如圖，為了測量旗桿的高度BC，在離旗桿底部10米的A處，用高1.50米的測角儀DA側得旗桿頂端C的仰角α=52°

.求旗桿BC的高.

解：在Rt△CDE中，

運用CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80.BC=BE+CE=DA+CE

≈1.50+12.80=14.3.

答：旗桿BC的高度約為14.3米.例4如圖.一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底寬為12.51米，其坡面的坡角為32°和28°.求路基下底的寬.（精確到0.1米）解：作

垂足分別為點E,F.由題意可知DE=CF=4.2，EF=CD=12.51.在Rt△ADE中，

運用所以在Rt△BCF中,同理可得，

運用答：路基下底的寬約為27.1米.1.(1)身高相同的A，B，C三人放風箏，各人放出的線長分別為280m，240m，200m，線與地面所成的角分別為30°，45°，60°（設線是拉直的），則三人中_____的風箏最高．(2)身高1.5m的小麗用一個兩銳角分別為30°和60°的三角尺測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的距離為6m，那么這棵樹高大約為_________．

演練(3)如圖，一輛消防車的梯子長為18m，與水平面間的夾角為60°，如果這輛消防車的高度為2m，求梯子可達到的高度．AC100米