第四章基本平面圖形專項突破練10利用數學思想解決與角度有關的問題思想1方程思想1.

【2024深圳福田區期末】如圖，點O在直線AB上，OD

平分∠AOC，∠BOE＝2∠EOC.

(1)若∠AOD＝24°，求∠DOC的度數；解：(1)因為OD平分∠AOC，

∠AOD＝24°，所以∠DOC＝∠AOD＝24°.234561(2)若∠AOD∶∠EOC＝3∶4，求∠AOD的度數.解：(2)設∠AOD＝3α，則∠EOC＝4α，所以∠BOE＝2∠EOC＝8α.因為OD平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠AOD＝6α.因為∠AOC＋∠EOC＋∠BOE＝180°，所以6α＋4α＋8α＝180°，解得α＝10°，所以∠AOD＝3α＝30°.2345612.

【2024益陽模擬】如圖，射線OC，OD把∠AOB分成三

個角，且∠AOC∶∠COD∶∠DOB＝2∶3∶4，射線OM平分

∠AOC，射線ON平分∠BOD.

(1)若∠AOB＝144°，求∠COM的度數；234561解：(1)設∠AOC＝2x，則∠COD＝3x，∠DOB＝4x，所

以∠AOB＝9x.因為∠AOB＝144°，所以9x＝144°，所以x＝16°，所以∠AOC＝2x＝32°.因為OM平分∠AOC，

234561(2)若∠MON＝90°，求∠COD的度數.解：(2)設∠AOC＝2y，則∠COD＝3y，∠DOB＝4y.因為OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，所以∠MOC＝y，∠NOD＝2y，所以∠MON＝y＋3y＋2y＝6y.因為∠MON＝90°，所以6y＝90°，所以y＝15°，所以∠COD＝3y＝45°.234561思想2整體思想3.

將兩塊三角尺按如圖方式擺放，其中∠CPD＝90°，

∠APB＝45°，作PM平分∠APC，PN平分∠BPD.

(1)當∠APC＝30°時，求∠MPN的度數；234561解：(1)因為∠CPD＝90°，∠APB＝45°，所以∠APC＋∠BPD＝90°－45°＝45°.因為∠APC＝30°，所以∠BPD＝45°－30°＝15°.

234561(2)當∠APB在∠CPD內轉動時，∠MPN的度數是否保

持不變？請說明理由.

234561

234561思想3

分類討論思想4.

【新考法·過程辨析法】閱讀材料并回答問題：數學課

上，老師給出了如下問題：已知，如圖①，∠AOB＝

90°，OC平分∠AOB.

若∠COD＝65°，請你補全圖形，并求∠BOD的度數.234561234561解：如圖②，作∠COD＝65°.同學一的解答如下：因為∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC＝

?.因為∠COD＝65°，所以∠BOD＝∠BOC＋∠

＝

?.同學二說：“符合題目要求的圖形還有一種情況.”請你完成以下問題：(1)將同學一的解答過程空缺部分補充完整；45°

COD

110°

234561(2)判斷同學二的說法是否正確，若不正確，請說明理由；若

正確，請你在圖③中畫出另一種情況對應的圖形，并求

∠BOD的度數.234561解：正確，如圖.因為∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC＝45°.因為∠COD＝65°.所以∠BOD＝∠COD－∠BOC＝20°.2345615.

【2024濟寧模擬】如圖，擺放一副三角尺，使得點O在

AB邊上，將三角尺COD繞點O旋轉.(1)若∠AOD＝45°，求∠COB的度數；234561解：(1)分兩種情況，當OD在AB上方

時，如圖①.因為∠AOD＝45°，所以易得∠AOC＝

45°，所以∠COB＝180°－∠AOC＝135°.234561當OD在AB下方時，如圖②.因為∠AOD＝45°，∠COD＝90°，所以∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝45°＋90°＝135°，所以∠COB＝180°－∠AOC＝180°－135°＝45°.綜上可知，∠COB的度數為135°或45°.234561因為∠AOD＝120°，∠COD＝90°，所以∠AOC＝∠AOD－∠COD＝120°－90°＝30°.因為點O在AB邊上，所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－30°＝150°.(2)若∠AOD＝120°，求∠COB的度數；解：(2)分兩種情況，當OD在AB上方時，如圖③，234561當OD在AB下方時，如圖④.因為∠AOD＝120°，點O在AB邊上，所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°.所以∠BOC＝90°－∠BOD＝90°－60°＝30°.綜上可知，∠COB的度數為150°或30°.234561(3)當∠AOD＝α(0°＜α＜180°)時，直接寫出∠COB的

度數(結果用含α的式子表示).解：(3)∠COB的度數為90°＋α或90°－α或270°－α或α－90°.234561思想4

從特殊到一般的思想6.

【2024石家莊裕華區期末】已知：點O是直線AB上的一

點，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分線.(1)當射線OC，射線OD，射線OE在直線AB的同側(如圖①)時，①若∠COE＝30°，則∠AOD＝

?.②若∠COE＝β，則∠AOD＝

.(用含β的式子

表示)60°

2β

234561(2)當射線OC與射線OD，射線OE在直線AB的兩側(如

圖②)時，若∠COE＝β，則(1)②中的結論是否仍然成

立？請給出你的結論并說明理由.234561解：(1)②中結論仍然成立，理由如下：