第10章

動量矩定理本章內容1質點的動量矩定理2質點系的動量矩定理3質點系相對于質心的動量矩定理4剛體對軸的轉動慣量的計算5剛體的定軸轉動和平面運動微分方程第一節質點的動量矩定理質點的動量矩定理21質點的動量矩一、質點的動量矩圖10-1設質點M繞定點O運動，某瞬時的動量為mv，對定點O的矢徑為r（見圖10-1），類似于力點之矩，我們把質點動量mv對O點之矩，稱為質點對O點的動量矩，即（10-1）可仿照力對點之矩和力對通過該點的軸之矩的關系，即質點動量mv對定軸x，y，z之矩的表達式為（10-2）。由式（10-2）可知，質點對定點的動量矩矢在軸上的投影，等于質點對軸的動量矩。動量矩的量綱為質量、速度與長度的量綱的乘積，即在國際單位制中，動量矩的單位為質點對O點的動量矩是矢量，垂直于矢徑r和mv所構成的平面，矢量的指向按右手規則來確定，它的大小為二、質點的動量矩定理設質點M對定點O的矢徑為r，動量為mv，其上的作用力為F，如圖10-2所示。則質點M對O點的動量矩為圖10-2將此式對時間求一次導數，有考慮到，另由動量定理有因此上式可寫為而，于是得（10-3）式（10-3）就是質點動量矩定理，即質點對某定點的動量矩對時間的導數，等于作用于質點上的力對該點之矩。將式（10-3）投影于定軸x，y，z，得（10-4）由式（10-4）可知，質點對某定軸的動量矩對時間的導數，等于作用力對該軸之矩。下面討論兩種特殊情況由此可知，若作用力對某定點（或定軸）之矩恒等于零，則質點對該定點（或定軸）的動量矩保持不變。這就是質點的動量矩守恒定理。例題解析例10-1如圖10-3所示，一質量為m的光滑小球，放在半徑為R的固定圓形管內。給小球一初始小擾動，試求小球微小運動的運動規律。圖10-3小球的運動規律可通過小球與圓形管中心O的連線的擺動來描述。它可歸為轉動類型的動力學問題，適合于應用動量矩定理求解。解

（1）取小球為研究對象。（2）受力分析。將小球置于運動的一般位置，其上作用力有重力mg和管的約束力FN，FN的方向指向中心O。（3）求運動規律。應用對O點（即對通過O點而垂直于圓形管平面的軸）的動量矩定理，有或考慮到，代入上式得或此微分方程的解為可見小球做簡諧運動。式中任意常數

和

可通過運動的初始條件來確定。第二節質點系的動量矩定理質點系的動量矩定理質點系的動量矩21一、質點系的動量矩質點系對點O的動量矩，等于質點系中各質點對點O動量矩的矢量和，即（10-5）質點系對某軸z的動量矩，等于質點系中各質點對同一軸z動量矩的代數和，即（10-6）利用式（10-2），有因此得（10-7）由式（10-7）可知，質點系對某點O的動量矩在通過該點的軸上的投影，等于質點系對該軸的動量矩。圖10-4令

，稱為剛體對軸z的轉動慣量，則有（10-8）這就是計算繞定軸轉動剛體的動量矩公式。轉動慣量的計算在動力學中是很重要的，我們將在后面詳細討論。二、質點系的動量矩定理

（10-9）這樣的方程共有n個，將n個式（10-9）相加后，得由于這就是質點系的動量矩定理，即質點系對某定點的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系上的外力對該點的矩的矢量和（或外力對該點的主矩）。在應用時，取式（10-10）的投影式，即（10-11）由上式可知，質點系對某定軸的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的外力對該軸之矩的代數和。由動量矩定理可知，質點系的內力不能改變質點系的動量矩，只有作用于質點系的外力才能使質點系的動量矩發生變化。下面討論兩種特殊情況。由此可知，若作用于質點系的外力對某定點（或定軸）的主矩（或力矩的代數和）恒等于零，則質點系對于該定點（或定軸）的動量矩保持不變。這就是質點系動量矩守恒定理。例題解析圖10-5，被提升的例10-2斜面提升裝置如圖10-5所示。已知鼓輪半徑為r，重量為W，對于轉軸的轉動慣量為J，作用在鼓輪上的力矩為M。斜面的傾角為為P，設繩的重量和各處的摩擦忽略不計。小車重量求小車的加速度。（1）取小車與鼓輪組成的質點系為研究對象。解（4）根據動量矩定理得即例題解析圖10-6（2）受力分析。質點系受力如圖10-6所示。作用在質點系上的外力對O軸的矩為（1）取重物M1，M2和塔輪組成的質點系為研究對象。解例10-3例題解析

（a）

（b）

（c）圖10-7解

這個轉動問題也可應用動量矩定理求解。

（1）取圓盤連同轉軸及質點M組成的系統為研究對象。（2）受力分析及受力圖。畫出M在任意位置系統所受的外力的受力圖，如圖10-7（a）所示。例10-4其中，

是初始時系統對軸Cz的動量矩，

是M點到達D點時系統對軸Cz的動量矩。（3）運動分析，計算動量矩。由受力圖可知在運動過程中所有外力對轉軸Cz之矩恒等于零，即因此可應用對Cz的動量矩守恒定理，即由圖10-7（b）可知由圖10-7（c）可知（4）根據動量矩定理得解得第三節

質點系相對于質心的動量矩定理前面介紹的動量矩定理只適用于慣性參考系（或稱靜坐標系），也就是說動量矩的矩心（或矩軸）是定點（或定軸），質點的速度也是對靜坐標系的速度，即絕對速度。設質點系由n個質點組成，質心為C，Oxyz為靜坐標系

是以質心C為原點，并隨質心做平動的動參考系，如圖10-8所示。在坐標系Oxyz中，質點系對定點O的動量矩為下面將證明，在隨質點系質心相對靜坐標系做平動的動參考系中，仍有與前面形式相同的動量矩定理，這時動量矩的矩心為質點系的質心，質點的速度是對動參考系的速度，即相對速度。圖10-8（10-12）在坐標系

中，質點系對質心C的動量矩為式中，表示對C點的矢徑；表示質點（10-13）由圖10-8可知式中，

是質心C對O點的矢徑，因此（10-14）由于（10-15）式中，M是質點系的總質量。此外，根據運動學中點的速度合成定理則由質心坐標公式可知（10-16）式（10-16）表明，在動參考系中，質點系對質心的動量矩，等于質點系中各質點的絕對動量對質心之矩的矢量和。將式（10-15）、式（10-16）代入式（10-14），得質點系的動量矩定理為（10-17）將式（10-17）代入上式，并注意到

，得式（10-19）表明，質點系相對于質心的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系上的外力對質心之矩的矢量和（或外力對質心的主矩）。或

（10-18）這個結論稱為質點系相對于質心的動量矩定理。這個定理在形式上與質點系相對于靜坐標系（慣性參考系）的動量矩定理完全相同。最后得到（10-19）回轉半徑21簡單形狀的均質剛體的轉動慣量的計算1平行移軸定理第四節剛體對軸的轉動慣量的計算前面給出了轉動慣量的概念，剛體的轉動慣量是剛體轉動慣性的度量，它等于剛體內每一點的質量與其到轉動軸的距離平方乘積的總和，以公式表示為（10-20）如果剛體質量連續分布，則此式可寫成（10-21）轉動慣量的單位是由式（10-21）可知，轉動慣量恒為正值，它的大小取決于剛體質量的大小及其分布的情況，而與剛體的運動無關。確定剛體對軸的轉動慣量可用計算法和實驗法。下面舉例說明用公式計算轉動慣量的方法。1．均質細直桿圖12-9將沿桿的直線取為x軸，在其上任取一微段dx，則其質量為

，由公式（10-21）可知,直桿對z軸的轉動慣量為式中，,是整根直桿的質量。一、簡單形狀的均質剛體的轉動慣量的計算圖10-102．均質薄細圓環圖12-11圖12-123．均質薄圓盤式中，是圓盤單位面積的質量。圓環對z軸的轉動慣量為圖10-13圖10-14式中

為圓柱體的質量；為其半徑。利用均質圓盤對Oz軸的轉動慣量公式，還可求出其對

軸、軸的轉動慣量。由轉動慣量定義可知將均質圓柱體分成許多互相平行的薄圓盤，如圖10-14所示，應用上面的結果，則可求出均質圓柱對z軸的轉動慣量為圓盤對z軸的轉動慣量為式中，

是圓盤的質量。圖10-15由于對稱性，有此外還有因此得二、回轉半徑表10-1簡單形狀均質物體的轉動慣量和回轉半徑注：圖中C點表示形心的位置，公式中M表示物體的質量。三、平行移軸定理平行移軸定理：剛體對任一軸的轉動慣量，等于剛體對通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體質量與兩軸之間距離平方的乘積。（10-23）式中，Cz軸通過剛體的質心；M為剛體的質量；d為兩軸之間的距離。圖10-16由平行移軸定理式（10-23）可知，在所有相互平行的各軸中，剛體對通過質心的軸的轉動慣量最小。如果我們已經知道了剛體對某一軸的轉動慣量，根據平行移軸定理，很容易求出與該軸平行軸的轉動慣量。則考慮到于是得因為

軸通過質心，

則，所以例題解析解如圖10-17所示為一均質等厚度零件，單位面積的質量為ρ，大圓半徑為R，挖去的小圓半徑為r，兩圓心的距離為a，試求通過O點并垂直于零件平面的軸的轉動慣量。圖10-17設大圓與小圓部分分別為Ⅰ，Ⅱ。根據轉動慣量的定義，零件對O軸的轉動慣量應為應用平行移軸定理有于是例10-4剛體的平面運動微分方程21剛體的定軸轉動微分方程第五節剛體的定軸轉動和平面運動微分方程一、剛體的定軸轉動微分方程圖10-18

（10-24）或（10-25）與質點的動力學一樣，應用剛體定軸轉動微分方程可解決轉動剛體動力學的兩類問題，即已知剛體的轉動規律時，可求作用于剛體上的外力矩或外力；或已知作用于剛體上的外力矩，可求剛體的轉動規律。但是必須指出，由于軸承約束力都通過轉軸，它們對轉軸之矩為零，在轉動微分方程中不出現，因此不可能通過轉動微分方程求出這些軸承約束力。這些約束力的求法將在以后討論。

例題解析解例1為求剛體對通過質心C的AB軸的轉動慣量，將剛體固定在一個可以繞定軸DE轉動的框架上，如圖10-19所示。DE軸平行于AB軸，兩軸之間的距離為h。使剛體繞DE軸微小擺動，并測得其周期為T。設剛體重量為P，框架的重量略去不計，試求剛體對AB軸的轉動慣量。圖10-19框架同剛體固連在一起繞DE軸轉動，轉動微分方程為這就是剛體繞DE軸轉動的微分方程。不難求得其解為考慮到很小，sin，則有式中，

是由運動初始條件決定的常數。由題可知剛體做簡諧運動，其圓頻率為圓頻率

與周期T的關系為因此有或再由平行移軸定理，可得例2（a）

（b）

（c）圖12-20解二、剛體的平面運動微分方程圖10-21式中，M為剛體的質量；

為剛體對質心C的轉動慣量。將上面第一式寫成投影的形式，并注意到則有這就是剛體的平面運動微分方程，它完整地描述了剛體的平面運動。利用該方程，可以求解剛體平面運動動力學的兩類問題，即已知運動求力；已知力求運動。下面舉例說明其應用。例題解析例10-8圖10-22一均質滾子質量為m，半徑為R，放在粗糙的水平地板上，在滾子的鼓輪上繞以繩索，其上作用力有常力F1，其方向與水平成α角。鼓輪的半徑為r，滾子對軸O的回轉