第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年年江蘇省南京第五高級中學高三（上）期初模擬數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合M={x|y=x?4}，N={y|y=3x2A.[0,+∞) B.[0,1] C.[4,+∞) D.[1,+∞)2.已知復數z滿足z(1?i)=|1+i|2，則z=(

)A.1?i B.1+i C.?1?i D.?1+i3.已知等比數列{an}的公比為q，若a1+a2=12，且a1A.32 B.?32 C.34.已知cos(α?β)=?35,cosA.?35 B.?25 C.5.已知軸截面為正三角形的圓錐的體積為93π，則圓錐的高為A.3 B.23 C.36.函數f(x)=(1?21+exA. B.

C. D.7.某罐中裝有大小和質地相同的4個紅球和3個綠球，每次不放回地隨機摸出1個球.記R1=“第一次摸球時摸到紅球”，G1=“第一次摸球時摸到綠球”，R2=“第二次摸球時摸到紅球”，G2=A.P(R)=P(R1)?P(R2) 8.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅動車輪行駛，符合道路交通、安全法規各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發動.因其對環境影響較小，逐漸成為當今世界的乘用車的發展方向.研究發現電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年Peukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間t和放電電流I之間關系的經驗公式：C=Iλt，其中λ為與蓄電池結構有關的常數(稱為Peukert常數)，在電池容量不變的條件下，當放電電流為7.5A時，放電時間為60?；當放電電流為25A時，放電時間為15?，則該蓄電池的Peukert常數λ約為(參考數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477)A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若正數a，b滿足a+b=1，則(

)A.log2a+log2b≤?2 B.2a10.已知函數f(x)=log3(xA.函數f(x)的單調遞增區間是[1,+∞) B.不等式f(x)<1的解集是(?1,3)

C.函數f(x)的圖象關于x=1對稱 D.函數f(x)的值域是R11.如圖，棱長為2的正方體.ABCD?A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點，F為正方形C1CDD1A.動點F軌跡的長度為2

B.三棱錐B1?D1EF體積的最小值為13

C.B1F與三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a=(?1,k)，b=(2,1)，若a⊥b，則|13.在2024年巴黎奧運會志愿者活動中，甲、乙、丙、丁4人要參與到A，B，C三個項目的志愿者工作中，每個項目必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一個項目，若甲只能參加C項目，那么不同的志愿者分配方案共有______種(用數字表示)．14.某個體戶計劃同時銷售A，B兩種商品，當投資額為x(x>0)千元時，在銷售A，B商品中所獲收益分別為f(x)千元與g(x)千元，其中f(x)=2x，g(x)=4ln(2x+1)，如果該個體戶準備共投入5千元銷售A，B兩種商品，為使總收益最大，則B商品需投______千元．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且b=2，a2=(c?1)2+3．

(1)求A；

(2)若a16.(本小題12分)

在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PC⊥PD，二面角A?CD?P為直二面角．

(1)求證：PB⊥PD；

(2)當PC=PD時，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．17.(本小題12分)

無人機已廣泛用于森林消防、搶險救災、環境監測等領域．

(1)消防員甲操縱某一品牌的無人機在不同的氣候中進行了投彈試驗，結果見下表，根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析消防員甲操縱該無人機的投彈命中率跟氣候是否有關：晴天雨天命中4530不命中520附：χ2=n(ad?bcα0.150.100.050.0100.001x2.0722.7063.8416.63510.828(2)某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防員乙操控無人機對同一目標起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為45，每次投彈是否擊中目標相互獨立.無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為12，擊中目標兩次起火點被撲滅的概率為23，擊中目標三次起火點必定被撲滅．

(i)求起火點被無人機擊中次數X的分布列及數學期望；

18.(本小題12分)

已知函數f(x)=a(x?1)?lnx(a∈R)．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若f(x)≥0恒成立，求實數a的取值集合．19.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，左、右焦點分別為F1，F2，上、下頂點分別為A1，A2，且四邊形A1F1A2F2的面積為23．

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)直線l：y=kx+m(m>0)與橢圓C參考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.D

6.A

7.C

8.D

9.ABC

10.CD

11.ABD

12.1013.12

14.1.5

15.解：(1)由a2=(c?1)2+3.得a2=c2?2c+4，

又b=2，得cosA=b2+c2?a22bc=4+c2?a24c=2c4c=12，

又因為0<A<π，所以A=16.解：(1)證明：由于底面ABCD是邊長為2的正方形，則BC⊥CD，

由于二面角A?CD?P為直二面角，則BC⊥平面PCD，

由于PD?平面PCD，則PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC=C，PC、BC?平面PBC，

則PD⊥平面PBC，由于PB?平面PBC，則PB⊥PD．

(2)取CD中點F，連PF、BF，由PC=PD知PF⊥CD，由于二面角A?CD?P為直二面角，

則PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是邊長為2的正方形，則PF=12CD=1，

BF=CF2+BC2=5，于是PB=PF2+BF2=6，同理PA=617.解：(1)零假設H0：消防員甲操縱該無人機的投彈命中率跟氣候無關，

2×2列聯表如下：晴天雨天合計命中453075不命中52025合計5050100χ2=100×(45×20?5×30)250×50×75×25=12>10.828，

根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗，零假設H0不成立，消防員甲操縱該無人機的投彈命中率跟氣候有關．

(2)(i)起火點被無人機擊中次數X的所有可能取值為0，1，2，3

P(X=0)=(X0123P1124864∵X～B(3,45)，∴E(X)=3×45=125．

(ii)擊中一次被撲滅的概率為P1=C31(18.解：(1)由題意得：f(x)定義域為(0,+∞)，

則f′(x)=a?1x=ax?1x，

當a≤0時，f′(x)<0，則f(x)單調遞減區間為(0,+∞)，無單調遞增區間；

當a>0時，令f′(x)=0，解得x=1a，

∴當x∈(0,1a)時，f′(x)<0；當x∈(1a,+∞)時，f′(x)>0，

∴f(x)的單調遞增區間為(1a,+∞)；單調遞減區間為(0,1a)；

綜上所述：當a≤0時，則f(x)的單調遞減區間為(0,+∞)，無單調遞增區間；當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(1a,+∞)；單調遞減區間為(0,1a)；

(2)當a≤0時，f(2)=a?ln2<0，不合題意；

當a>0時，由(1)知f(x)min=f(1a)=1?a+lna；則1?a+lna≥0；

令g(a)=1?a+lna，則19.解：