PAGE任意角的三角函數教學目標：1

理解并掌握任意角的三角函數的定義2

理解并掌握各三角函數在各象限的符號教學重點：任意角三角函數的定義教學難點：利用定義計算任意角的三角函數值授課類型：新授課

根據新課程改革的基本理念，我準備在教學過程中從問題情境出發，讓學生進行觀察、操作、探究從而感受數學，然后引導學生去發現數學、建構數學，使他們在這種過程中感悟并獲得數學知識與思想方法，最終能運用所學的知識去解決實際問題。

一

問題情境

問題1

求的值。

師：等于多少？

生：等于。

我們知道，是一個銳角，在初中，我們是如何定義銳角三角函數的？

復習銳角三角函數的定義：

在中，。前面我們把角的概念推廣到了任意角。那么如何求任意角的三角函數值呢？

問題2

求的值。師：怎么辦？在直角三角形中能表現這個角嗎？還能不能在直角三角形來求這個值？生：不能在直角三角形中求出來。師：對，顯然，不能再用初中的定義，因為，這里沒有直角三角形，也就沒有什么對邊、鄰邊和斜邊。那么，我們應該如何對初中的三角函數的定義進行推廣。這就是我們本節課要研究和解決的問題。

二

建構數學【學生操作】

課件1打開課件1，觀察任意角α的終邊分別位于不同位置時，三個比值的變化情況。（請同學們仔細觀察這個課件的演示情況，對我們以后的學習將有很大的幫助。）【教師總結】隨著α的終邊在軸上及各象限內變化，三個比值也隨著變化；且對于任何一個確定的角，每一個比值都是唯一確定的（終邊在y軸上時，y/x除外），根據函數的定義，它們實際上構成了以角為自變量、以比值為函數值的函數。我們把它們分別叫做任意角的正弦、余弦、正切函數。對課件1的說明：隨著α的終邊在軸上及各象限內的變化，利用幾何畫板的動態演示和度量功能，展示三個比值的變化情況。學生通過對課件1的操作，將新授的抽象內容形象化，有利于學生準確理解和掌握新知識；它也能為以后學習（三角函數的定義域、值域、三角函數值的符號、單調性、奇偶性、對稱性、周期性）作鋪墊。

（一）任意角的三角函數的定義

根據在平面直角坐標系中研究角的做法，以角的頂點為坐標原點，以它的始邊為軸的非負半軸，建立直角坐標系。設任意角的終邊上任意一點的坐標為，它與原點的距離是（）。

當為銳角時，過點作軸的垂線，為垂足，則，，，所以，在中，，，。，，的值與點的選擇無關。想一想，為什么？事實上，我們在角的終邊上另取一點，，過點作軸的垂線，為垂足，則，，，可以證明∽，從而，，。一般地，對任意角，我們規定：（1）

比值叫做的正弦，記作，即；（2）

比值叫做的余弦，記作，即；（3）

比值（）叫做的正切，記作，即；對于確定的角，比值和都惟一確定，故正弦和余弦都是角的函數，當（），角的終邊在軸上，故有，這時無意義。除此之外，對于確定的角（）（），比值也是惟一確定的，故正切也是角的函數。以上三種函數，都稱為三角函數。說明：這樣定義以后，（1）當是銳角時，此定義與初中定義相同。（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）（2）當（）時，與的同名三角函數值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數值相等。

（二）正弦、余弦、正切函數的值在各象限的符號規律。首先，在第一象限內討論，由定義知，正弦函數值的符號與的符號相同，而在第一象限內，，因此，在第一象限內，；同理，余弦函數值的符號與的符號相同，，；對于正切函數，由于，，由定義，。同理，我們可以得到，，的值在各象限的符號。如下圖：

＋

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三

數學應用師：我們已經知道了三角函數的定義，下面我們就根據定義來解決實際的問題。請看

例1

已知角的終邊經過點，求的正弦、余弦、正切值。師：要求三個三角函數值，我們需要知道哪些量？生：。師：我們是必須知道這三個量，還是知道其中兩個量就行了？生：只需知道其中的兩個量。師：例1中是否有咱們所需要的兩個量？生：有。。師：好的。下面就由大家動手計算出這三個三角函數的值。師：由三角函數的定義，我們知道，已知角α終邊上一點的坐標就可以求三個三角函數值，如果所給終邊上一點含有參數呢？請看變式1：變式1

已知角的終邊經過點，求的正弦、余弦、正切值。師：這里的，分別是什么？生：。師：很好。當時，；當時，，因此要分情況討論。

以下留給大家完成。師：若已知函數值，如何確定終邊上一點的坐標呢？請看變式2：變式2

已知角的終邊經過點且，求的值。師：審題以后，大家有什么想法？生：由三角函數的定義，把的值用表示出來，然后解得。師：很好。這樣就可以把解出來。大家還有什么想法？生：先由的值確定角的終邊所在象限，從而確定的范圍。這樣在解方程的時候就避免了增根或失根。師：這位同學講得很好。在解三角函數問題時，要十分“關注”角的終邊所處位置，從而確定函數值的符號。如果告訴你角的終邊在某一直線上，又如何求三角函數值呢？請看變式3：變式3

已知角的終邊在直線上，求的正弦、余弦、正切值。生：由定義出發，在直線上任意取一點，就可以求出的正弦、余弦、正切值。師：想法不錯。由于直線經過一三象限，因此需分情況討論，在兩個不同的象限的終邊上各取一點，求出的正弦、余弦、正切值。

例2

確定下列三角函數值的符號：

（1）

（2）

（3）

（4）師：如何來確定上述三角函數值的符號？生：看角的終邊在第幾象限，由三角函數定義來確定它的符號。師：這就需要我們正確的判斷出角的終邊所在位置。再用我們今天學的知識解決。可謂是溫故知新，新舊結合。下面就請大家練習一下。（由學生先練習，再請學生回答，然后引入變式1。）變式1

設是三角形的一個內角，在，，，中，哪些可能取負值？

師：三角形的內角取值有什么范圍？

生：。

師：在這個范圍內，上述三角函數值，哪些可能取負值？

生：，。

師：此時，是什么角？的終邊在第幾象限？

生：是鈍角，的終邊在第二象限。

變式2

若且，則為第幾象限角？

師：這個問題是說，如果，的值都為負值，則的終邊在第幾象限？

生：的終邊在第二象限。

變式3

若，則為第幾象限角？

師：這個問題的實質是什么？請同學們換句話，把它的意思表達出來。生：這個問題是說，如果，的值同號，則的終邊在第幾象限？師：非常好。此時的終邊一定在第二象限嗎？生：不一定。還有可能在第一象限。

四

回顧反思：[教師引導，由學生總結]

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本節課我們學習了任意角的三角函數的定義，它是銳角三角函數定義的擴展，體現了