習題課——函數單調性與奇偶性的綜合應用一、函數的奇偶性是函數定義域上的概念,而函數的單調性是區間上的概念,因此在判定函數的單調性的時候,一定要指出函數的單調區間.二、在定義域關于原點對稱的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函數都是奇函數;f(x)=x2n(n∈Z)型函數及常函數都是偶函數.三、設f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么它們在公共定義域上,滿足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.四、若f(x)為奇函數,且在區間[a,b](a<b)上是增(減)函數,則f(x)在區間[-b,-a]上是增(減)函數;若f(x)為偶函數,且在區間[a,b](a<b)上是增(減)函數,則f(x)在區間[-b,-a]上是減(增)函數,即奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相同;而偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相反.五、若f(x)為奇函數,且在x=0處有定義,則f(0)=0;若f(x)為偶函數,則f(x)=f(-x)=f(|x|).做一做1

若函數f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數,則f(x)(

)

A.在[1,7]上是增函數

B.在[-7,2]上是增函數C.在[-5,-3]上是增函數 D.在[-3,3]上是增函數解析:因為函數f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數,所以m=1.所以f(x)=-x2+2,結合函數f(x)可知選C.答案:C做一做2

若奇函數f(x)滿足f(3)<f(1),則下列各式中一定成立的是(

)

A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1)C.f(-2)<f(3) D.f(-3)<f(5)解析:因為f(x)是奇函數,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)<f(1),所以-f(-3)<-f(-1),所以f(-3)>f(-1).答案:A做一做3

導學號91000083定義在R上的偶函數f(x),對任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有,則f(3),f(-2),f(1)按從小到大的順序排列為

.

解析:由已知條件可知f(x)在[0,+∞)上單調遞減,∴f(3)<f(2)<f(1).再由偶函數性質得f(3)<f(-2)<f(1).答案:f(3)<f(-2)<f(1)探究一探究二探究三思想方法探究一利用函數的奇偶性求解析式

【例1】

已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-2x2+3x+1,求:(1)f(0);(2)當x<0時,f(x)的解析式;(3)f(x)在R上的解析式.分析:(1)利用奇函數的定義求f(0);探究一探究二探究三思想方法解:(1)因為函數f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)當x<0時,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函數,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.(3)函數f(x)在R上的解析式為探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓練1

本例中若把“奇函數”換成“偶函數”,求x<0時f(x)的解析式.

解:設x<0,則-x>0,∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.∵f(x)是偶函數,∴f(-x)=f(x).∴f(x)=-2x2-3x+1,x<0.探究一探究二探究三思想方法探究二應用函數的單調性與奇偶性判定

函數值的大小

【例2】

設偶函數f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)解析:∵f(x)在R上是偶函數,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).而2<3<π,且f(x)在[0,+∞)上為增函數,∴f(2)<f(3)<f(π).∴f(-2)<f(-3)<f(π).故選A.答案:A探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓練2

若將本例中的“增函數”改為“減函數”,其他條件不變,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系如何?

解:因為當x∈[0,+∞)時,f(x)是減函數,所以有f(2)>f(3)>f(π).又f(x)是R上的偶函數,故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),從而有f(-2)>f(-3)>f(π).探究一探究二探究三思想方法探究三應用函數的單調性與奇偶性解函數不等式

【例3】

導學號91000084設定義在[-2,2]上的奇函數f(x)在區間[0,2]上單調遞減,若f(1-m)<f(m),求實數m的取值范圍.解:因為f(x)在[-2,2]上為奇函數,且在[0,2]上單調遞減,所以f(x)在[-2,2]上為減函數.又f(1-m)<f(m),探究一探究二探究三思想方法延伸探究:在本例中,把“奇函數f(x)”改為“偶函數f(x)”,其余條件不變,結果又如何?解:因為f(-x)=f(x),f(x)在區間[0,2]上單調遞減,所以y=f(x)在[-2,0]上是單調遞增的.因為f(1-m)<f(m),探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓練3

若偶函數f(x)在(-∞,0]上是增函數,且f(a+1)>f(3-a),求a的取值范圍.

解:∵f(x)是偶函數,且在(-∞,0]上是增函數,∴f(a+1)>f(3-a),∴f(-|a+1|)>f(-|3-a|).∴-|a+1|>-|3-a|.∴|a+1|<|3-a|.∴a2+2a+1<9-6a+a2.∴a<1,即a的取值范圍為(-∞,1).探究一探究二探究三思想方法化歸思想在解抽象不等式中的應用典例已知函數f(x)的定義域為(-1,1),且滿足下列條件:①f(x)為奇函數;②f(x)在定義域上單調遞減;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求實數a的取值范圍.【思路點撥】

要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求實數a的取值范圍,應利用函數f(x)的奇偶性與單調性去掉“f”,建立關于a的不等式組求解.探究一探究二探究三思想方法解:∵f(x)是奇函數,∴f(1-a2)=-f(a2-1).∴f(1-a)+f(1-a2)<0?f(1-a)<-f(1-a2)?f(1-a)<f(a2-1).∵f(x)在定義域(-1,1)上是單調遞減的,∴a的取值范圍為(0,1).探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓練

設函數f(x)是定義在R上的奇函數,且在區間(-∞,0)上是減函數,實數a滿足不等式f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),求實數a的取值范圍.

解:∵f(x)在區間(-∞,0)上是減函數,∴f(x)的圖像在y軸左側遞減.又∵f(x)是奇函數,∴f(x)的圖像關于原點中心對稱,則在y軸右側同樣遞減.又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,∴f(x)的圖像在R上遞減.∵f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1,即實數a的取值范圍為(1,+∞).123451.設f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數,且f(4)>f(1),則下列各式一定成立的是(

)A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3)C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4)解析:∵f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數,∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),∴f(4)>f(-1).答案:D123452.已知x>0時,f(x)=x-2017,且知f(x)在定義域R上是奇函數,則當x<0時,f(x)的解析式是(

)A.f(x)=x+2017 B.f(x)=-x+2017C.f(x)=-x-2017 D.f(x)=x-2017解析:設x<0,則-x>0,所以f(-x)=-x-2

017.又因為f(x)是奇函數,所以f(x)=-f(-x)=x+2

017.故選A.答案:A123453.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=

.解析:∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,∴25+a·23+2b=-18.∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.答案:-26123454.若偶函數f(x)在(-∞,0]上是增函數,則