專題03平行四邊形壓軸題（七大題型）目錄：題型1：平行四邊形在平面直角坐標系中的應用題型2：平行四邊形與一次函數題型3：平行四邊形與反比例函數題型4：旋轉問題題型5：存在性問題題型6：動點問題題型7：平行四邊形與三角形、特殊三角形的性質與判定綜合題型1：平行四邊形在平面直角坐標系中的應用1．如圖所示，在平面直角坐標系中，，，以，為鄰邊做平行四邊形，其中，，滿足．(1)直接寫出點坐標；(2)如圖2，線段的垂直平分線交軸于點，為的中點，試判斷的大小，并說明理由；(3)如圖3，點，為軸上的一點，，求點的坐標．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)點F的坐標為或【分析】（1）根據非負數的性質得到，得，得到，過C作軸于E點，根據平行四邊形的性質得到，根據全等三角形的性質得到，于是得到結論；（2）連接，過F作軸于G，軸于K，根據線段垂直平分線的性質得到，求得，設，根據勾股定理列方程得到，根據勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到結論；（3）分兩種情況：分F在點E的左側和右側，作輔助線，構建直角三角形，根據等腰直角三角形的性質，利用勾股定理建立方程求解可得結論．【解析】（1）解：∵．，∴，∴，∴，如圖，過C作軸于E點，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故答案為：；（2）解：如圖，連接，過F作軸于G，軸于K，∵線段的中垂線交y軸于點E，，∵F為的中點，，，，解得：，，，，，是直角三角形，；（3）解：分兩種情況：①當F在點E的左側時，如圖3，過F作于H，，，是等腰直角三角形，，，，設，則，，，，，即，整理得：，解得：或，或（舍去，不符合題意），，，；②當點在點E的右側時，如圖3，過作交延長線于點，，，是等腰直角三角形，，，，設，則，，，，，即，整理得：，解得：或，（舍去，不符合題意）或，，，，綜上所述，點F的坐標為或．【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，考查了圖形和坐標的性質、非負性、等腰直角三角形的性質和判定、勾股定理逆定理、等知識，解題的關鍵是恰當地作輔助線，構建直角三角形，并運用方程解決問題．2．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形中點的坐標為，點的坐標為，與軸交于點，點是射線上一動點，點是的中點，連接交軸于點，過點作交延長線于點，交于點，連接．

(1)若，求的長．(2)若，求的長．(3)①連接，問直線是否經過一定點，若經過，請求出該定點；若不經過，請說明理由；②連接，，若，求的長．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據，是的中點，寫出的坐標，設直線的解析式為，代入和的坐標求出完整解析式，代入，求出，根據勾股定理計算即可；（2）延長，過點作于點，根據，推理出平分，，設，，根據，得，推出，，則，根據，，計算即可；（3）①設直線的解析式為，把，代入解析式，得解析式為，則，設直線的解析式為：，把，代入解析式，得直線的解析式為，當，為定值，可得定點；②記，連接、，作關于的對稱圖形，過點作，點和點關于軸對稱，故，根據，得出，，設，則，，，根據的兩組底和高相乘，，代入求出的值，根據，，得，求出的值，根據即可得到答案．【解析】（1）∵，是的中點，∴設直線的解析式為：，將、代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，∵交延長線于點，∴當時，，∴，∴；（2）如下圖，延長，過點作于點，

∵，，∴，∵，∴，∴平分，即，∵，，∴，，，設，，則，，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，，，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，

，，∴，，∴；（3）①∵設直線的解析式為：，把，代入解析式，得：，得：，∴直線的解析式為：，∴，設直線的解析式為：，把，代入解析式，得：，得：，∴直線的解析式為：，∴，∴，∴當，即，時，等式成立，∴直線經過定點；②記，連接、，∴點和點關于軸對稱，∴，又∵，∴，如下圖，作關于的對稱圖形，過點作，

∴，設，則，∵，∴，∵，（的兩組底和高相乘）∴，解得：，∵，∴，∵，，∴，∴，解得：，∴．【點睛】本題考查了一次函數的圖象和性質，平行四邊形的性質，結合勾股定理計算、方程求解，綜合運用知識點、作出輔助線是解題的關鍵．題型2：平行四邊形與一次函數3．如圖，直線的解析表達式為，與軸交于點，直線經過定點，直線與交于點．(1)求直線的函數關系式；(2)若點的橫坐標是2，求的面積；(3)若存在點，使以四點為頂點的四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行且相等，試求出點的坐標．【答案】(1)(2)6(3)的坐標為或或【分析】此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定一次函數解析式，兩個一次函數的交點，平行四邊形的性質，熟練掌握性質是解本題的關鍵．（1）設直線的解析式為，把與的坐標代入求出與的值，即可確定出的解析式；（2）先求出點與坐標，再求出的長，最后求出三角形面積即可；（3）分三種情況討論，分別求出坐標即可．【解析】（1）設直線的解析式為，它經過兩點，，解得，直線的關系式為（2）當時，，即點的坐標為當時，，解得，即，（3）分三種情況討論：①以為對角線，為鄰邊構成平行四邊形，軸，且，而

②以為對角線，為鄰邊構成平行四邊形，軸，，而

③以為對角線，為鄰邊構成平行四邊形，且過，設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為；且過，設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為；相交于軸上的，綜上所述，點的坐標為或或4．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，過點的直線交軸于（點在左側），且面積為．(1)求點的坐標及直線的解析式；(2)如圖，設點為線段中點，點為軸上一動點，連接，以為邊向左側作等腰直角，其中，在點的運動過程中，當頂點落在直線上時，求點的坐標；(3)如圖，若為線段上一點，且滿足，點為直線上一動點，在軸上是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)或；(3)或或．【分析】（）利用三角形的面積公式求出點坐標，再利用待定系數法即可；（）分當時，如圖，點落在上時，過作直線平行于軸，過，作直線的垂線，垂足分別為，當時兩種情況討論即可；（）利用三角形的面積公式求出點的坐標，求出直線的解析式，作交直線于，此時，當時，即點或，當在第四象限時，由，根據對稱性可知，點關于點對稱的坐標為．【解析】（1）∵直線與軸交于點，與軸交于點，∴當時，，當時，，則點，，∴∵面積為，∴，∴，∴點，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為；（2）∵點為線段中點，∴，∵，，∴，設，當時，如圖，點落在上時，過作直線平行于軸，過，作直線的垂線，垂足分別為，∵是等腰直角三角形，易證，∴，，∴，∵點在圖象上，∴，解得：，∴點，當時，如圖，同理：，∵點在直線圖象上，∴，解得：∴點，此時與點重合；綜上可知，點或；（3）如圖，設，∵，∴，∴，解得：，∴點，∴同（）可得：直線解析式為，作交直線與，此時，∴，當時，即點或，∴或，當在第四象限時，由，根據對稱性可知，點關于點對稱的坐標為，綜上可知：或或．【點睛】本題屬于一次函數綜合題，考查了待定系數法，三角形的面積，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．題型3：平行四邊形與反比例函數5．如圖，在平面直角坐標系中，點，為的頂點，，點C在x軸上．將沿x軸水平向右平移a個單位得到，A，B兩點的對應點，恰好落在反比例函數的圖象上．

(1)求a和k的值；(2)作直線l平行于且與，分別交于M，N，若與四邊形的面積比為，求直線l的函數表達式；(3)在（2）問的條件下，是否存在x軸上的點P和直線l上的點Q，使得以，四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點P，Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，點P、Q的坐標分別為或、或、【分析】（1）由題意得，點的坐標分別為：，則，即可求解；（2）證明均為等腰直角三角形，得到點，即可求解；（3）當為對角線時，由中點坐標公式列出等式，即可求解；當或是對角線時，同理可解．【解析】（1）解：∵將沿x軸水平向右平移a個單位得到，點，，∴點的坐標為，點的坐標為，∵點，正好落在第一象限反比例函數的圖象上．∴，解得：，．（2）由（1）知點的坐標分別為：、，設的解析式為，把代入得，，解得，，∴的解析式為，即直線所在的直線為二四象限的角平分線，∵，則直線和x軸正半軸的夾角為，∵，故設直線l的表達式為：，∵直線，與四邊形的面積比為，則，過點作y軸的平行線交直線l于點T，連接，

則均為等腰直角三角形，∵，則，設，則,則，解得：，則，則點，將點M的坐標代入直線l的表達式得：；（3）解：設點P、Q的坐標分別為：，，當為對角線時，由中點坐標公式得：，解得：，則點P、Q的坐標分別為：；當或是對角線時，同理可得：或，解得：或，則點P、Q的坐標分別為：、或、；所以，點P、Q的坐標分別為或、或、【點睛】本題考查的是反比例函數綜合運用，涉及到三角形相似、平行四邊形的性質、等腰直角三角形的性質等，分類求解是解題的關鍵．6．如圖1，已知點，，且a、b滿足，平行四邊形的邊與y軸交于點E，且E為的中點，雙曲線上經過C、D兩點.

(1)求k的值；(2)點P在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點Q的坐標；(3)以線段為對角線作正方形（如圖3），點T是邊上一動點，M是的中點，，交于N，當T在上運動時，的值是否發生變化，若改變，請求出其變化范圍；若不改變，請求出其值.【答案】(1)(2)或或(3)不變，【分析】（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，得出A、B兩點的坐標，設，由，可知，再根據反比例函數的性質求出t，由D的坐標即可求出反比例函數表達式；（2）由點P在雙曲線上，點Q在y軸上，設，，再分以為邊和以為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標．（3）連接，易證，故，，，由此即可得出結論．【解析】（1）解：∵，且，，∴，∴，，∴，，∵E為中點，且橫坐標為，根據中點坐標的計算方法，∴，設，由平行四邊形的性質知，點A向右平移1個單位向下平移4個單位得到點B，則點D向右平移1個單位向下平移4個單位得到點C，則點，∴，∴，∴，，∵D點在反比例函數的圖象上，∴，∴；（2）解：由（1）知：，∴反比例函數的解析式為，∵點P在雙曲線上，點Q在y軸上，∴設，，①當為邊時：如圖1所示：若為平行四邊形，∵，，則，解得，此時，；如圖2所示，若為平行四邊形，∵，，則，解得，此時，；②如圖3所示，當為對角線時：，且；∵，，∴，解得，∴，；故點Q的坐標為：或或；（3）解：如圖4，連接，∵是線段的垂直平分線，∴，∵四邊形是正方形，∴，在與中，，∴，∴，∴，四邊形中，，而，∴，∵四邊形內角和為，∴，∴，∴．【點睛】此題是反比例函數綜合題，主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、正方形的性質、平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，中點坐標公式等知識，運用分類討論是解決第（2）小題的關鍵，當然除用中點坐標公式外，也可通過構造全等三角形來解決第（1）題和第（2）題．7．如圖1，已知點，且a、b滿足，平行四邊形的邊與y軸交于點E，且E為的中點，雙曲線經過C和D兩點

(1)求k的值；(2)點P在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點為頂點的四邊形是平行四邊形；試求滿足要求的所有點P的位置．(3)以線段為對角線作正方形（如圖3），點T是邊上一動點，是的中點，，交于N，當T在上運動時，的值是否發生改變？若改變，求出其范圍；若不改變，求出其值并給出你的證明．【答案】(1)8(2)點P的坐標為：或(3)不變，【分析】（1）由平行四邊形的性質知，點A向右平移1個單位向下平移4個單位得到點B，則點D向右平移1個單位向下平移4個單位得到點C，則點將點的坐標代入反比例函數表達式，即可求解；（2）分是邊和對角線兩種情況，利用數形結合的方法，即可求解；（3）連，易證，故，，由此即可得出結論．【解析】（1）由題意得：，解得：，則點A、B的坐標分別為：，設點D的坐標為：，由點E是的中點，由中點坐標公式得：，則點D的坐標為：，由平行四邊形的性質知，點A向右平移1個單位向下平移4個單位得到點B，則點D向右平移1個單位向下平移4個單位得到點C，則點將點C、D的坐標代入反比例函數表達式得：，解得：，則點的坐標分別為：；則；（2）∵由（1）知，∴反比例函數的解析式為，∵點雙曲線上，點在y軸上，∴設，①當為邊時：如圖1所示：若為平行四邊形，

∵，則，解得，此時；如圖2所示，若為平行四邊形，

∵，則，解得，此時；②如圖3所示，當為對角線時：，且；

∵，∴，解得，∴；故點P的坐標為：或；（3）如圖4，連接，

∵是線段的垂直平分線，∴，∵四邊形是正方形，∴，在與中，∵∴，∴，∴，四邊形中，，而所以，，因為四邊形內角和為，所以．∴，∴．【點睛】此題是反比例函數綜合題，主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、正方形的性質、平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，中點坐標公式等知識，運用分類討論是解決第（2）小題的關鍵，當然除用中點坐標公式外，也可通過構造全等三角形來解決第（1）題和第（2）題．題型4：旋轉問題8．如圖，在三角形中，，，點P為內一點，連接，，，將線段繞點A逆時針旋轉得到，連接，．

(1)用等式表示與的數量關系，并證明；(2)當時，①直接寫出的度數為________；②若M為的中點，連接，請用等式表示與的數量關系，并證明．【答案】(1)'，證明見解析(2)①；②，理由見解析【分析】本題考查旋轉的性質，三角形全等的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，等腰直角三角形的性質．（1）由得到，由旋轉可得，，從而，又，證得，得證；（2）①當時，，又，因此，再根據，得到，從而．②延長到N，使，連接、，易證四邊形為平行四邊形，因此且，從而，，因此，從而證得，故，在等腰直角中，，因此．【解析】（1），

證明：∵，，∴，∵將線段繞點A逆時針旋轉得到，∴，，∴，∴，∵∴，∴；（2）（2）①當時，則，∵，，∴∴，∴，∵，∴，又∵，∴．故答案為：②，理由如下：延長到N，使，連接、，∵M為的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴且，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，又∵'為等腰直角三角形，∴，∴，∴．9．如圖，在等邊中，點D是邊上且與A，B不重合的點，是由線段繞點D順時針旋轉得到的．

(1)如圖1，求的度數；(2)如圖2，過點A作分別交于點F，G，連接相交于點M，求證：與相互平分；(3)如圖3，在（2）的條件下，若N是的中點連接，求證：．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）由旋轉的性質可得，，，則是等邊三角形，證明，進而可求的度數；（2）如圖1，連接，則，由，可得，由，可得，證明，證明四邊形是平行四邊形，進而結論得證；（3）如圖2，延長至點H，使，證明，則，，，證明，則，進而結論得證．【解析】（1）解：∵是由線段繞點D順時針旋轉得到的，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∴；（2）證明：如圖1，連接，

∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴與相互平分；（3）證明：如圖2，延長至點H，使，

∵N是的中點，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質等知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．題型5：存在性問題10．如圖1，在平行四邊形中，，，，點P從點D出發沿向C勻速運動，速度為每秒3個單位長度；同時，點Q從點B出發沿向點A勻速運動，速度每秒2個單位長度．當點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．過點P作交于點M，連接，，設運動的時間為t秒．

(1)當時，求t的值．(2)如圖2，連接，是否存在t值，使得的面積是平行四邊形面積的？若存在，求出對應的t；若不存在，請說明理由．(3)如圖3，過點M作交于點N，是否存在t的值，使得點P在線段的垂直平分線上？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在值(3)【分析】（1）由題意得，，由平行四邊形的性質得出，，，，證出四邊形是平行四邊形，得出，得出方程，解方程即可；（2）作于，延長交延長線于，由直角三角形的性質得出，，求出平行四邊形的面積，由直角三角形的性質得出，，得出，得出的面積，由題意得出方程，解方程即可；（3）證出四邊形是平行四邊形，得出，由（2）得，，，，求出，由線段垂直平分線的性質得出，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）由題意得：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，解得：（秒；（2）不存在，理由如下：作于，延長交延長線于，如圖2所示：

則，，，平行四邊形的面積，，，，，，，，，，，的面積，若的面積是平行四邊形面積的，則，整理得：，，方程無解，不存在值，使得的面積是平行四邊形面積的；（3）存在，理由如下：延長交延長線于，如圖3所示：

，，，，四邊形是平行四邊形，，由（2）得：，，，，，點在線段的垂直平分線上，，，，解得：，存在的值，使得點在線段的垂直平分線上，秒．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與性質、含角的直角三角形的性質、三角形面積公式、線段垂直平分線的性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握平行四邊形的判定與性質和直角三角形的性質是解題的關鍵．題型6：動點問題11．如圖，在中，為對角線的中點，，，．動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿折線向終點勻速運動，連結并延長交折線于點，將線段繞著點逆時針旋轉得到線段，連結，設點的運動時間為（s）．

(1)用含的代數式表示的長．(2)當點在邊上運動時，求證：．(3)當點在內部時，求的取值范圍．(4)當與的重疊部分圖形是軸對稱的三角形時，直接寫出的值．【答案】(1)或；(2)見解析；(3)；(4)1或．【分析】（1）利用含角的直角三角形的性質，平行四邊形的性質解答即可；（2）連接，利用平行四邊形的性質和全等三角形的判定與性質解答即可；（3）利用平行四邊形的性質，等邊三角形的判定與性質求得點的臨界值時的值，從而得到的取值范圍；（4）畫出符合題意的圖形，利用的長度列出關于的方程解答即可．【解析】（1）解：，，，，，．四邊形為平行四邊形，．①當時，，②當時，（2）證明：連接，如圖，

在中，為對角線的中點，經過點，，四邊形為平行四邊形，，．在和中，，，（3）解：①當點與點重合時，如圖，

由題意得：為等邊三角形，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，②當點落在邊上時，如圖，

由題意得：為等邊三角形，，，，四邊形為平行四邊形，，，．．在和中，，，，，，，當點在內部時，的取值范圍為：（4）①當點在邊上運動時，經過點時，與的重疊部分圖形是軸對稱的三角形，

，，，，，，，，，．②當點在邊上運動時，如果，則，與的重疊部分圖形是軸對稱的三角形，如圖，

，，．綜上，當與的重疊部分圖形是軸對稱的三角形時，的值為1或．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，含角的直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，圖形旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，利用分類討論的思想方法解答是解題的關鍵．12．如圖：是邊長為6的等邊三角形，P是邊上一動點．由點A向點C運動（P與點不重合），點Q同時以點P相同的速度，由點B向延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作于點E，連接交于點D．(1)若設的長為x，則，．(2)當時，求的長；(3)過點Q作交延長線于點F，則有怎樣的數量關系？說明理由．(4)點在運動過程中，線段的長是否發生變化？如果不變，直接寫出線段的長；如果變化，請說明理由．【答案】(1)(2)2(3)(4)3【分析】本題考查的是等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質，熟練全等三角形判定是解答此題的關鍵．（1）由線段和差關系可求解；（2）由直角三角形的性質可列方程，即可求的長；（3）由""可證，可得；（4）連接，由全等三角形的性質可證，由題意可證四邊形是平行四邊形，可得．【解析】（1）解：是邊長為6的等邊三角形，設，則，故答案為∶；（2）當時，是等邊三角形，，解得∶，；（3），理由如下∶，，又，，；（4）的長度不變．連接，如圖：，，且四邊形是平行四邊形題型7：平行四邊形與三角形、特殊三角形的性質與判定綜合13．如圖，在四邊形中，．(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形(2)如圖2，點在，點在上，連接，若，，求證：(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，過點作分別交于兩點，過點作的延長線于點，交的延長線于點，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據平行線的判定和性質，得出，即可證明結論；（2）過點作交于點，根據等腰直角三角形的判定和性質，得出，，，再結合平行四邊形的性質，易證，得到，即可證明結論；（3）以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立直角坐標系，設與軸交于點，與軸交于點，由平行四邊形的性質，可證是等腰直角三角形，，由（2）可知，，進而得出，根據等腰三角形的性質和直角三角形的特征，設，則，可得，，由，得到，利用待定系數法求出直線和的解析式，從而得到，，然后根據坐標兩點的距離公式，求出的值，得到、的坐標，即可求出的長．【解析】（1）證明：，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：如圖，過點作交于點，，，，是等腰直角三角形，，，，，由（1）可知，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，在和中，，，，；（3）解：如圖，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立直角坐標系，設與軸交于點，與軸交于點，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，是等腰直角三角形，，由（2）可知，，，即，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，設，則，，，，，，，設直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，令，則，，設直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，聯立，解得：，，，，解得：，（舍），，，，的長為．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行線的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，坐標與圖形，坐標兩點距離公式，待定系數法求一次函數解析式，一次函數的交點問題等知識，利用數形結合的思想，正確建立直角坐標系，求出相關點坐標是解題關鍵．14．在中，是對角線，，是內一點，連接，，，(1)求證：(2)當時，，，，求的面積．(3)在（1）的條件下，當平分，，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）利用平行四邊形相鄰兩角互補的性質可得，然后用平行四邊形對邊相等即可得證．（2）由可得為等腰直角三角形，然后以為直角邊構造一個等腰直角三角形可求證即可求解．（3）延長邊構造即可得，過點D作形成以為直角邊的兩個直角三角形，通過兩直角三角形有公共直角邊即可用雙勾股定理，最后過點C作設，解直角三角形即可求解．【解析】（1）證明：在中，有，，，，，，（2），，，等腰直角三角形，過點B作且，連接，連接，如圖：為等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴，∴，∴、、共線，．（3）延長至，使，∵，，∴，∴，設，∴，，，∴，，，，連接，并延長，過點作于，使，，，∴，，設，，在中，，，，，，（雙勾股），∴，∴，（舍），作，，，，，（雙勾股），∴，∴，，∴，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，三角形全等，三角形的外角，等腰直角三角形的性質，解題關鍵是構造全等三角形，證明角度相等，線段數量關系．15．如圖，點P是平行四邊