第19講導數的概念及其運算1.導數的幾何意義(1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝．(2)曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為.2.基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝c(c為常數)f(x)＝xα(α是實數)f(x)＝sinxf(x)＝cosxf(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f(x)＝lnxf(x)＝logax(a＞0，a≠1)3.導數的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則：(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝(g(x)≠0)．4.復合函數的求導：復合函數y＝f(g(x))的導數y′＝.5.設s＝s(t)是位移函數，則s′(t0)表示物體在t＝t0時刻的;設v＝v(t)是速度函數，則v′(t0)表示物體在t＝t0時刻的.1、【2022年新高考1卷】若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線，則2、【2022年新高考2卷】曲線y=ln3、【2021年甲卷理科】曲線在點處的切線方程為__________．4、【2020年新課標1卷理科】函數的圖像在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．5、【2020年新課標3卷理科】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+6、【2019年新課標3卷理科】已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．1、下列求導結果正確的是（）A． B．C． D．2、若，則（）A． B． C． D．3、(2022·珠海高三期末)若函數f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)的圖象在x＝1處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則a＝________．4、函數y＝xsinx－cosx的導數為______________________．5、（2022·福建·莆田二中模擬預測）曲線在點處的切線方程為______．6、（2022·湖北·襄陽五中模擬預測）曲線在點處的切線方程為______．考向一基本函數的導數例1、求下列函數的導數.(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋eq\f(1,x)；(3)y＝eq\f(cosx,ex)；(4)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).變式1已知定義在R上的可導函數f(x)滿足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的導數，寫出滿足上述條件的一個函數.變式2求下列函數的導數：(1)f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；(2)f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1).變式3、求下列函數的導數：(1)f(x)＝x3＋xsinx；(2)f(x)＝xlnx＋2x;(3)f(x)＝excosx；(4)f(x)＝eq\f(1－sinx,cosx).方法總結：求函數導數的總原則：先化簡解析式，再求導．注意以下幾點：連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導；三角形式，先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導；分式形式，先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導；復合函數，先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元考向二求導數的切線方程例2、（1）（2022·河北衡水中學一模）已知為偶函數，且當時，，則在處的切線方程為______．（2）（2022·福建·三模）已知是定義在上的函數，且函數是奇函數，當時，，則曲線在處的切線方程是（

）A． B． C． D．變式1、(1)若函數f(x)＝2eq\r(x)的圖象在點(a，f(a))處的切線與直線2x＋y－4＝0垂直，求該切線的方程；(2)求過點P(2，5)與曲線f(x)＝x3－x＋3相切的直線方程；(3)若存在過點(1，0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，求實數a的值．變式2、（2022·廣東深圳·二模）已知，若過點可以作曲線的三條切線，則（

）A． B． C． D．方法總結：利用導數研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：(1)函數在切點處的導數值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標．(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點．(3)曲線y＝f(x)“在”點P(x0，y0)處的切線與“過”點P(x0，y0)的切線的區別：曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為k＝f′(x0)，是唯一的一條切線；曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．考向三導數幾何意義的應用例3、（1）已知函數是的導函數，則過曲線上一點的切線方程為__________________．（2）：若直線是曲線的切線，則實數的值為________．變式1、（2022·福建省福州格致中學模擬預測）已知函數，則函數___________.變式2、（2022·湖北武漢·模擬預測）已知函數，則__________.方法總結：1．利用導數的幾何意義求參數的基本方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組)，進而求出參數的值或取值范圍．2．求解與導數的幾何意義有關問題時應注意的兩點(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．1、（2022·湖南·模擬預測）已知P是曲線上的一動點，曲線C在P點處的切線的傾斜角為，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2、（2022·湖南·雅禮中學二模）已知的一條切線與f（x）有且僅有一個交點，則（

）A． B．C． D．3、（2022·湖北·武漢二中模擬預測）已知函數，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4、（2022·廣東汕頭·二模）已知函數，若過點存在3條直線與曲線相切，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．5、（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）已知f(x)=cosx，g(x)=x，則關于x的不等式的解集為__________.6、（2022·山東·模擬預測）已知直線與曲線相切，則___________.第19講導數的概念及其運算1.導數的幾何意義(1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)．(2)曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2.基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是實數)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3.導數的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．4.復合函數的求導：復合函數y＝f(g(x))的導數y′＝f′(g(x))·g′(x).5.設s＝s(t)是位移函數，則s′(t0)表示物體在t＝t0時刻的瞬時速度;設v＝v(t)是速度函數，則v′(t0)表示物體在t＝t0時刻的瞬時加速度.1、【2022年新高考1卷】若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線，則【答案】(?【解析】∵y=(x+a)ex，∴設切點為(x0,y0切線方程為：y?x∵切線過原點，∴?x整理得：x0∵切線有兩條，∴?=a2+4a>0,解得a<?4∴a的取值范圍是(?∞故答案為：(?∞,?4)∪(0,+∞)

【答案】

y=1e【解析】解：因為y=ln當x>0時y=lnx，設切點為x0,lnx0又切線過坐標原點，所以?lnx0=1x0當x<0時y=ln?x，設切點為x1,ln?x又切線過坐標原點，所以?ln?x1=1x故答案為：y=1ex；y=?1ex

【答案】【解析】由題，當時，，故點在曲線上．求導得：，所以．故切線方程為．故答案為：．4、【2020年新課標1卷理科】函數的圖像在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.

5、【2020年新課標3卷理科】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】設直線在曲線上的切點為，則，函數的導數為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.6、【2019年新課標3卷理科】已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】：，將代入得，故選D．1、下列求導結果正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：D．2、若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】．故選：C．3、(2022·珠海高三期末)若函數f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)的圖象在x＝1處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則a＝________．【答案】－1【解析】由題意，得f′(x)＝eq\f(x－a,x2)，則f′(1)＝1－a，所以(1－a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，解得a＝－1.4、函數y＝xsinx－cosx的導數為______________________．【答案】y′＝2sinx＋xcosx【解析】y′＝sinx＋xcosx＋sinx＝2sinx＋xcosx.5、（2022·福建·莆田二中模擬預測）曲線在點處的切線方程為______．【答案】【解析】由，得，所以切線的斜率為，所以所求的切線方程為，即，故答案為:6、（2022·湖北·襄陽五中模擬預測）曲線在點處的切線方程為______．【答案】【解析】，則曲線在處的切線斜率，∴切線方程為，即．故答案為：．考向一基本函數的導數例1、求下列函數的導數.(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋eq\f(1,x)；(3)y＝eq\f(cosx,ex)；(4)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).【解析】(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))′＝(lnx)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2).(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq\f(（cosx）′ex－cosx（ex）′,（ex）2)＝－eq\f(sinx＋cosx,ex).(4)∵y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq\f(1,2)xsin4x，∴y′＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(1,2)x·4cos4x＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x.變式1已知定義在R上的可導函數f(x)滿足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的導數，寫出滿足上述條件的一個函數.【答案】f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x－eq\f(4,3)(答案不唯一)【解析】可令f′(x)＝x2＋2，滿足f′(x)＋2x>0，則f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋C，f(1)＝eq\f(1,3)＋2＋C＝1，故C＝－eq\f(4,3)，f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x－eq\f(4,3).變式2求下列函數的導數：(1)f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；(2)f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1).【解析】（1）f′(x)＝(x2＋2x－1)′e1－x＋(x2＋2x－1)(e1－x)′＝(2x＋2)e1－x＋(x2＋2x－1)(－e1－x)＝(－x2＋3)e1－x.【解析】（2）因為f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)，所以f′(x)＝[ln(x－1)－ln(x＋1)]′＝eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(2,x2－1).變式3、求下列函數的導數：(1)f(x)＝x3＋xsinx；(2)f(x)＝xlnx＋2x;(3)f(x)＝excosx；(4)f(x)＝eq\f(1－sinx,cosx).【答案】(1)f′(x)＝3x2＋sinx＋xcosx.(2)f′(x)＝lnx＋3.(3)f′(x)＝excosx－exsinx.(4)f′(x)＝eq\f(sinx－1,cos2x).方法總結：求函數導數的總原則：先化簡解析式，再求導．注意以下幾點：連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導；三角形式，先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導；分式形式，先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導；復合函數，先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元考向二求導數的切線方程例2、（1）（2022·河北衡水中學一模）已知為偶函數，且當時，，則在處的切線方程為______．（2）（2022·福建·三模）已知是定義在上的函數，且函數是奇函數，當時，，則曲線在處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】（1）；（2）【答案】D【詳解】（1）設，，因為函數是偶函數，所以，當時，，，，所以在處的切線方程為，即.故答案為：（2）令，因為為奇函數，故，故即.即，當時，，故，故時，，此時，故，而故切線方程為：，故選：D.變式1、(1)若函數f(x)＝2eq\r(x)的圖象在點(a，f(a))處的切線與直線2x＋y－4＝0垂直，求該切線的方程；(2)求過點P(2，5)與曲線f(x)＝x3－x＋3相切的直線方程；(3)若存在過點(1，0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，求實數a的值．【解析】(1)因為f(x)＝2eq\r(x)，x≥0，所以f′(x)＝eq\f(1,\r(x)).因為f(x)＝2eq\r(x)的圖象在點(a，f(a))處的切線與2x＋y－4＝0垂直，所以f′(a)＝eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝4，所以f(a)＝2×eq\r(4)＝4，所以切線的方程為y＝eq\f(1,2)(x－4)＋4，即x－2y＋4＝0.(2)因為f(x)＝x3－x＋3，所以f′(x)＝3x2－1.因為f(2)＝9，所以點P不在曲線f(x)上，設切點為(x0，f(x0))，則切線方程為y＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)－x0＋3.因為切線過點P(2，5)，所以5＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(2－x0)＋xeq\o\al(3,0)－x0＋3，即2xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋4＝0，解得x0＝1±eq\r(3)或x0＝1，所以切線方程為y＝2x＋1或y＝(11－6eq\r(3))x＋12eq\r(3)－17或y＝(11＋6eq\r(3))x－17－12eq\r(3).(3)因為y＝x3，所以y′＝3x2.因為y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9，所以y′＝2ax＋eq\f(15,4).因為過點(1，0)的直線與曲線y＝x3相切，設切點為(x0，xeq\o\al(3,0))，所以切線方程為y＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0).代入(1，0)，得3xeq\o\al(2,0)(1－x0)＋xeq\o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝eq\f(3,2)，所以切線方程為y＝0或y＝eq\f(27,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＋eq\f(27,8).設直線與曲線y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切于點(x1，axeq\o\al(2,1)＋eq\f(15,4)x1－9)，則切線方程為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax1＋\f(15,4)))(x－x1)＋axeq\o\al(2,1)＋eq\f(15,4)x1－9＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax1＋\f(15,4)))x－axeq\o\al(2,1)－9.①若切線方程為y＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax1＝－\f(15,4)，,－axeq\o\al(2,1)－9＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(24,5)，,a＝－\f(25,64)．))②若切線方程為y＝eq\f(27,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＋eq\f(27,8)，即y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax1＋\f(15,4)＝\f(27,4)，,－axeq\o\al(2,1)－9＝－\f(27,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)，,a＝－1.))綜上所述，實數a的值為－eq\f(25,64)或－1.變式2、（2022·廣東深圳·二模）已知，若過點可以作曲線的三條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：設切點為，切線方程為，由，所以，所以，則，所以，令，則，因為，所以當或時，當時，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時取得極大值，當時取得極小值，即，，依題意有三個零點，所以且，即；故選：B方法總結：利用導數研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：(1)函數在切點處的導數值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標．(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點．(3)曲線y＝f(x)“在”點P(x0，y0)處的切線與“過”點P(x0，y0)的切線的區別：曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為k＝f′(x0)，是唯一的一條切線；曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．考向三導數幾何意義的應用例3、（1）已知函數是的導函數，則過曲線上一點的切線方程為__________________．（2）：若直線是曲線的切線，則實數的值為________．【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0(2)－e【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，則a＝f′(eq\f(π,4))＝3－2sineq\f(π,2)＋2coseq\f(π,2)＝1.由y＝x3得y′＝3x2，當P點為切點時，切線的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，則b＝1，所以切點P的坐標為(1,1)．故過曲線y＝x3上的點P的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.當P點不是切點時，設切點為(x0，xeq\o\al(3,0))，∴切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，∵P(a，b)在曲線y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(1－x0)，∴2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴2xeq\o\al(3,0)－2xeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切點為，∴此時的切線方程為，綜上，滿足題意的切線方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.(2)設切點為(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，得切線的斜率k＝lnx0＋1，故切線方程為y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，與y＝2x＋m比較得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx0＋1＝2，,－x0＝m，))解得x0＝e，故m＝－e.變式1、（2022·福建省福州格致中