第1課時(shí)周期性與奇偶性第五章

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)1.理解周期函數(shù)的概念，能熟練地求出簡(jiǎn)單三角函數(shù)的周期.2.會(huì)根據(jù)之前所學(xué)和函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的奇偶性，能正確

判斷一些三角函數(shù)的變式的奇偶性.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，生活中，大家知道月亮圓了又缺，缺了又圓，這一周而復(fù)始的自然現(xiàn)象，有詩(shī)為證：“昨夜圓非今日?qǐng)A，卻疑圓處減嬋娟，一年十二度圓缺，能得幾多時(shí)少年”，從詩(shī)中，我們能領(lǐng)悟到光陰無(wú)情、歲月短暫的道理，告誡人們要珍惜時(shí)光，努力學(xué)習(xí).我們知道，從角到角的三角函數(shù)值都有周而復(fù)始的現(xiàn)象，你知道這一現(xiàn)象反映的是函數(shù)的什么性質(zhì)嗎？有了前面的三角函數(shù)的圖象，今天我們來(lái)一起探究三角函數(shù)的一些性質(zhì).導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期二、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性三、三角函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用內(nèi)容索引一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期問(wèn)題1

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)？提示能夠發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.我們可以從兩個(gè)方面來(lái)驗(yàn)證這種特點(diǎn)：①函數(shù)的圖象，回顧正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的畫法，我們是先畫出[0,2π]上的函數(shù)圖象，然后每次向左(右)平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度得到整個(gè)定義域上的函數(shù)圖象.②誘導(dǎo)公式一，sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，對(duì)任意的k∈Z都成立.知識(shí)梳理1.函數(shù)的周期性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)

，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且

，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).

叫做這個(gè)函數(shù)的周期.2.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)

，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.非零常數(shù)T非零常數(shù)T最小的正數(shù)f(x＋T)＝f(x)3.正弦函數(shù)是

，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

.4.余弦函數(shù)是

，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

.注意點(diǎn)：(1)關(guān)鍵詞“每一個(gè)x”體現(xiàn)了對(duì)定義域中每一個(gè)值都得成立；(2)周期函數(shù)的周期不唯一，任何T的非零整數(shù)倍都是函數(shù)的周期；(3)三角函數(shù)的周期是函數(shù)的整體性質(zhì)，我們?cè)谘芯亢瘮?shù)時(shí)，只需研究一個(gè)周期上的圖象和性質(zhì)即可；(4)若不加特殊說(shuō)明，一般求三角函數(shù)的周期的問(wèn)題，求的是函數(shù)的最小正周期.周期函數(shù)周期函數(shù)2π2π例1求下列三角函數(shù)的周期；(1)y＝7sinx，x∈R；解因?yàn)?sin(x＋2π)＝7sinx，由周期函數(shù)的定義知，y＝7sinx的周期為2π.(2)y＝sin2x，x∈R；解因?yàn)閟in2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin2x，由周期函數(shù)的定義知，y＝sin2x的周期為π.(4)y＝|cosx|，x∈R.解y＝|cosx|的圖象如圖(實(shí)線部分)所示.由圖象可知，y＝|cosx|的周期為π.反思感悟

求三角函數(shù)周期的方法(1)定義法：利用周期函數(shù)的定義求解.(2)公式法：對(duì)形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝(3)圖象法：畫出函數(shù)圖象，通過(guò)圖象直接觀察即可.跟蹤訓(xùn)練1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)·f(x)＝－1，則f(x)的周期為

A.2 B.4 C.6 D.1①若f(x－a)＝f(x)，則函數(shù)f(x)的周期為a；②若f(x－a)＝f(x＋a)，則函數(shù)f(x)的周期為2a；③若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)的周期為2a；√二、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性問(wèn)題2

繼續(xù)回顧正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，你還能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？提示正弦函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，余弦函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.知識(shí)梳理正弦函數(shù)是

，余弦函數(shù)是

.奇函數(shù)偶函數(shù)例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.因?yàn)?x∈R，都有－x∈R，(2)f(x)＝|sinx|＋cosx；解函數(shù)f(x)＝|sinx|＋cosx的定義域?yàn)镽，因?yàn)?x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝|sinx|＋cosx是偶函數(shù).因?yàn)?x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sinx＝－f(x)，反思感悟判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好的兩個(gè)方面：一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；二看f(x)與f(－x)的關(guān)系.(2)對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡(jiǎn)后再判斷.提醒：研究函數(shù)性質(zhì)應(yīng)遵循“定義域優(yōu)先”的原則.跟蹤訓(xùn)練2

判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)＝sinxcosx；解函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，∴f(x)＝sinxcosx為奇函數(shù).∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＝2kπ，k∈Z}，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x).三、三角函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用問(wèn)題3知道一個(gè)函數(shù)具有周期性和奇偶性，對(duì)研究它的圖象和性質(zhì)有什么幫助？提示通過(guò)研究一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象，可推導(dǎo)出整個(gè)函數(shù)具有相同的性質(zhì).√延伸探究1反思感悟

三角函數(shù)周期性與奇偶性的解題策略(1)探求三角函數(shù)的周期，常用方法是公式法，即將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解.(2)判斷函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω>0)是否具備奇偶性，關(guān)鍵是看它能否通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為y＝Asinωx(A≠0，ω>0)或y＝Acosωx(A≠0，ω>0)其中的一個(gè).偶函數(shù)±2∴f(x)為偶函數(shù)，1.知識(shí)清單：(1)周期函數(shù)的概念，三角函數(shù)的周期.(2)三角函數(shù)的奇偶性.(3)三角函數(shù)周期性、奇偶性的綜合應(yīng)用.2.方法歸納：定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū)：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω≠0)的周期為課堂小結(jié)隨堂演練1.函數(shù)f(x)＝sin(－x)的奇偶性是

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)1234√解析由于x∈R，且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).1234√解析y＝cos(－4x)＝cos4x.√12341234＝－cos2x，x∈R，∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù).12341課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415√162.函數(shù)y＝4sin(2x－π)的圖象關(guān)于

A.x軸對(duì)稱

B.原點(diǎn)對(duì)稱C.y軸對(duì)稱

D.直線x＝

對(duì)稱123456789101112131415√16解析因?yàn)閥＝4sin(2x－π)＝－4sin2x是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)12345678910111213141516√解析函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以f(x)是偶函數(shù).123456789101112131415√16√123456789101112131415165.函數(shù)y＝f(x)＝xsinx的部分圖象是

解析∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，∴函數(shù)是偶函數(shù)，排除B，D；當(dāng)x取趨近于0的正數(shù)時(shí)，f(x)>0，故選A.√√6.(多選)下列函數(shù)中周期為π，且為偶函數(shù)的是

解析A中，由y＝|cosx|的圖象知，y＝|cosx|是周期為π的偶函數(shù)，所以A正確；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，所以B不正確；1234567891011121314151612345678910111213141516解析令g(x)＝x3cosx，∴g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)，又f(x)＝g(x)＋1，∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.7.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，則f(－a)＝______.－91234567891011121314151612345678910111213141516解∵T＝π，且f(x)為偶函數(shù)，1234567891011121314151610.判斷下列函數(shù)的奇偶性：解f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)為奇函數(shù).12345678910111213141516(2)f(x)＝cosx－x3sinx.解f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cosx－x3sinx＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).綜合運(yùn)用1