第1課時簡單的三角恒等變換(一)第五章

5.5.2簡單的三角恒等變換1.通過二倍角公式的變形公式推導出半角的正弦、余弦、正切

公式.2.了解半角公式的結構形式，并能利用半角公式解決簡單的求

值問題.3.掌握兩角和、差的正、余弦公式，通過積化和差、和差化積

進行簡單的化簡、求值、證明.學習目標同學們，前面我們學習了三角函數中的很多公式，有同角的三角函數的基本關系、誘導公式、兩角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切，它們都屬于三角變換.對于三角變換，我們不僅要考慮三角函數式結構形式方面的差異，還要考慮三角函數式包含的角，以及這些角的三角函數種類方面的差異，它是一種立體的綜合性變換，在實際操作中，我們要從函數式的結構、種類、角與角之間的聯系等方面找一個切入點，從而選擇一個合適的公式進行化簡、求值、證明等，這就是我們今天要講的三角恒等變換.導語隨堂演練課時對點練一、半角公式二、和差化積、積化和差三、三角函數式的化簡、證明內容索引一、半角公式問題1

余弦的二倍角展開有幾種形式？請寫出.提示三種形式：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.知識梳理半角公式反思感悟

利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函數式中的角是待求三角函數式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解.(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必依據角的范圍，求出相應半角的范圍.二、和差化積、積化和差問題2

請寫出兩角和、差的正弦、余弦公式.提示sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.①將前兩個公式、后兩個公式的左右兩邊分別相加、相減，可以得到什么？2sinαcosβ＝sin(α＋β)＋sin(α－β)，2cosαsinβ＝sin(α＋β)－sin(α－β)；2cosαcosβ＝cos(α＋β)＋cos(α－β)，2sinαsinβ＝cos(α－β)－cos(α＋β).我們把上述四個公式稱為“積化和差公式”.知識梳理1.積化和差sinαcosβ＝

；cosαsinβ＝

；cosαcosβ＝

；sinαsinβ＝

.2.和差化積sinθ＋sinφ＝

；sinθ－sinφ＝

；cosθ＋cosφ＝

；cosθ－cosφ＝

.例2

求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.解方法一

sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°方法二

sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°方法三

令A＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°，B＝cos220°＋sin250°＋cos20°sin50°.則A＋B＝2＋sin70°，反思感悟

積化和差、和差化積的轉換用到了換元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，從而把包含α，β的三角函數式轉化為θ，φ的三角函數式.或者把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，則原問題轉化為解方程(組)求x，它們都體現了化歸思想.跟蹤訓練2

求下列各式的值：三、三角函數式的化簡、證明所以原式成立.反思感悟三角恒等式證明的常用方法(1)執因索果法：證明的形式一般是化繁為簡.(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子.(3)拼湊法：針對題設和結論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同.(4)比較法：設法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”.(5)分析法：從被證明的等式出發，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立.∴sin4<0，cos4<0，sin4＋cos4<0，∴原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4.1.知識清單：(1)半角公式.(2)積化和差、和差化積.(3)三角函數式的化簡、證明.2.方法歸納：轉化與化歸.3.常見誤區：半角公式符號的判斷.課堂小結隨堂演練√12341234√√12341234課時對點練1.下列各式與tanα相等的是基礎鞏固12345678910111213141516√√1234567891011121314151612345678910111213141516A.c<b<a

B.a<b<c

C.a<c<b

D.b<c<a√12345678910111213141516解析a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝2sin13°·cos13°＝sin26°，c＝sin25°，y＝sinx在0°≤x≤90°時上單調遞增，∴a<c<b.123456789101112131415√1612345678910111213141516√5.設直角三角形中兩銳角為A和B，則cosAcosB的取值范圍是12345678910111213141516√√12345678910111213141516123456789101112131415167.tan20°＋4sin20°＝_____.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516所以原等式成立.綜合運用√11.sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值為解析sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究12345678910111213141516√123456789101112131415161234567