江蘇省泰興市洋思中學2024-2025學年高三下學期九月月考數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為（）A． B． C．8 D．62．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（）A． B． C． D．3．在正方體中，點、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A． B． C． D．4．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．5．如圖是函數在區間上的圖象，為了得到這個函數的圖象，只需將的圖象上的所有的點()A．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變B．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變C．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變D．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變6．在區間上隨機取一個數，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．7．已知命題，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知中，角、所對的邊分別是，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分必要條件9．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數的最大值為()A．7 B．15 C．31 D．6310．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．是虛數單位，則（）A．1 B．2 C． D．12．已知等差數列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．24二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點的游客數量情況，隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數，得到如下莖葉圖：由此可估計，全年（按360天計算）中，游客人數在內時，甲景點比乙景點多______天.14．已知函數f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在點（e，f（e））處的切線方程為y=3x﹣e，則a+b=_____.15．在四棱錐中，是邊長為的正三角形，為矩形，，.若四棱錐的頂點均在球的球面上，則球的表面積為_____．16．已知在等差數列中，，，前n項和為，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統紙質媒體遭受到了強烈的沖擊．某雜志社近9年來的紙質廣告收入如下表所示：根據這9年的數據，對和作線性相關性檢驗，求得樣本相關系數的絕對值為0.243；根據后5年的數據，對和作線性相關性檢驗，求得樣本相關系數的絕對值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預測該雜志社2019年的紙質廣告收入，現在有兩個方案，方案一：選取這9年數據進行預測，方案二：選取后5年數據進行預測．從實際生活背景以及線性相關性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？附：相關性檢驗的臨界值表：（2）某購物網站同時銷售某本暢銷書籍的紙質版本和電子書，據統計，在該網站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質版本和電子書同時購買的讀者比例為，現用此統計結果作為概率，若從上述讀者中隨機調查了3位，求購買電子書人數多于只購買紙質版本人數的概率．18．（12分）設等差數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求的前項和及使得最小的的值.19．（12分）如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）設橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線．21．（12分）設實數滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若，，求證：.22．（10分）某調查機構對某校學生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調查，該調查機構從該校隨機抽查了100名不同性別的學生，調查統計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”，現已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統計情況如下表：同意不同意合計男生a5女生40d合計100（1）求a，d的值，根據以上數據，能否有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與性別有關?請說明理由；（2）將上述調查所得的頻率視為概率，現在從所有學生中，采用隨機抽樣的方法抽取4位學生進行長期跟蹤調查，記被抽取的4位學生中持“同意”態度的人數為X，求X的分布列及數學期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡，結合基本不等式即可求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，半焦距為，則，，設由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則當且僅當時，取等號.故選：C．本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.2．D【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選：D本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.3．B【解析】

作出圖形，設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，推導出，由線面平行的性質定理可得出，可得出點為的中點，同理可得出點為的中點，結合中位線的性質可求得的值.【詳解】如下圖所示：設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方形，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點，同理可證為的中點，，，因此，.故選：B.本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質的應用，解答的關鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.4．B【解析】

根據，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據真值表，可得結果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用，識記真值表，屬基礎題.5．A【解析】

由函數的最大值求出，根據周期求出，由五點畫法中的點坐標求出，進而求出的解析式，與對比結合坐標變換關系，即可求出結論.【詳解】由圖可知，，又，，又，，，為了得到這個函數的圖象，只需將的圖象上的所有向左平移個長度單位，得到的圖象，再將的圖象上各點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變）即可.故選:A本題考查函數的圖象求解析式，考查函數圖象間的變換關系，屬于中檔題.6．C【解析】

根據直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.本題主要考查了直線與圓的位置關系，幾何概型，屬于中檔題.7．D【解析】

求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即:，是的必要不充分條件，，，解得．實數的取值范圍為．故選：．本題考查根據充分、必要條件求參數范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間關系列出關于參數的不等式(組)求解．(2)求解參數的取值范圍時，一定要注意區間端點值的檢驗．8．D【解析】

由大邊對大角定理結合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中，角、所對的邊分別是、，由大邊對大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：D.本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質等基礎知識，考查邏輯推理能力，是基礎題．9．B【解析】試題分析：由程序框圖可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后輸出，此時，則的最大值為15，故選B.考點：程序框圖.10．C【解析】

設，則的幾何意義為點到點的斜率，利用數形結合即可得到結論.【詳解】解：設，則的幾何意義為點到點的斜率，作出不等式組對應的平面區域如圖：由圖可知當過點的直線平行于軸時，此時成立；取所有負值都成立；當過點時，取正值中的最小值，，此時；故的取值范圍為；故選：C.本題考查簡單線性規劃的非線性目標函數函數問題，解題時作出可行域，利用目標函數的幾何意義求解是解題關鍵．對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在．11．C【解析】

由復數除法的運算法則求出，再由模長公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.本題考查復數的除法和模，屬于基礎題.12．C【解析】

根據等差數列性質得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數列中，故答案選C本題考查了等差數列的性質，是數列的常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．72【解析】

根據給定的莖葉圖，得到游客人數在內時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，進而求得全年中，甲景點比乙景點多的天數，得到答案.【詳解】由題意，根據給定的莖葉圖可得，在隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數中，游客人數在內時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，所以在全年）中，游客人數在內時，甲景點比乙景點多天.故答案為：.本題主要考查了莖葉圖的應用，其中解答中熟記莖葉圖的基本知識，合理推算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14．0【解析】

由題意，列方程組可求，即求.【詳解】∵在點處的切線方程為，，代入得①.又②.聯立①②解得：..故答案為：0.本題考查導數的幾何意義，屬于基礎題.15．【解析】

做中點，的中點，連接，由已知條件可求出，運用余弦定理可求，從而在平面中建立坐標系，則以及的外接圓圓心為和長方形的外接圓圓心為在該平面坐標系的坐標可求，通過球心滿足，即可求出的坐標，從而可求球的半徑，進而能求出球的表面積.【詳解】解：如圖做中點，的中點，連接，由題意知，則設的外接圓圓心為，則在直線上且設長方形的外接圓圓心為，則在上且.設外接球的球心為在中，由余弦定理可知，.在平面中，以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點垂直于軸的直線為軸，如圖建立坐標系，由題意知，在平面中且設，則，因為，所以解得.則所以球的表面積為.故答案為:.本題考查了幾何體外接球的問題，考查了球的表面積.關于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過將幾何體補充到長方體中，將幾何體的外接球等同于長方體的外接球，求出體對角線即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過球的球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直，設半徑列方程求解；三是通過空間、平面坐標系進行求解.16．39【解析】

設等差數列公差為d,首項為,再利用基本量法列式求解公差與首項,進而求得即可.【詳解】設等差數列公差為d,首項為,根據題意可得,解得,所以.故答案為：39本題考查等差數列的基本量計算以及前n項和的公式,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）選取方案二更合適；（2）【解析】

(1)可以預見，2019年的紙質廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經不能作為預測后續數據的依據，而后5年的數據得到的相關系數的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關關系，從而可得結論；(2)求得購買電子書的概率為,只購買紙質書的概率為,購買電子書人數多于只購買紙質書人數有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質書，由此能求出購買電子書人數多于只購買紙質版本人數的概率.【詳解】（1）選取方案二更合適，理由如下：①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統紙媒受到了強烈的沖擊，從表格中的數據中可以看出從2014年開始，廣告收入呈現逐年下降的趨勢，可以預見，2019年的紙質廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經不能作為預測后續數據的依據.②相關系數越接近1，線性相關性越強，因為根據9年的數據得到的相關系數的絕對值，我們沒有理由認為與具有線性相關關系；而后5年的數據得到的相關系數的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關關系.(2)因為在該網站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質版本和電子書同時購買的讀者比例為，所以從該網站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為，只購買紙質書的概率為，購買電子書人數多于只購買紙質書人數有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質書.概率為：.本題主要考查最優方案的選擇，考查了相關關系的定義以及互斥事件的概率與獨立事件概率公式的應用，考查閱讀能力與運算求解能力，屬于中檔題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.18．（1）（2）；時，取得最小值【解析】

（1）設等差數列的公差為，由，結合已知，聯立方程組，即可求得答案.（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由及，得解得數列的通項公式為（2）由（1）知時，取得最小值.本題解題關鍵是掌握等差數列通項公式和前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）解法一：作的中點，連接，.利用三角形的中位線證得，利用梯形中位線證得，由此證得平面平面，進而證得平面.解法二：建立空間直角坐標系，通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證得平面.（2）利用平面和平面法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）法一：作的中點，連接，.又為的中點，∴為的中位線，∴，又為的中點，∴為梯形的中位線，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.另解：（法二）∵在長方體中，，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，，，，，，.（1）設平面的一個法向量為，則，令，則，.∴，又，∵，，又平面，平面.（2）設平面的一個法向量為，則，令，則，.∴.同理可算得平面的一個法向量為∴，又由圖可知二面角的平面角為一個鈍