專題5.2實際問題與二元一次方程組【十一大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1行程問題】 1【題型2工程問題】 2【題型3配套問題】 3【題型4年齡問題】 4【題型5銷售問題】 4【題型6分配問題】 5【題型7幾何圖形問題】 7【題型8數字問題】 8【題型9古代問題】 9【題型10方案問題】 10【題型11圖表問題】 11【題型1行程問題】【例1】（2023春·山東臨沂·七年級統考期末）甲、乙兩人在400米的環形跑道上練習賽跑，如果兩人同時同地反向跑，經過25秒第一次相遇；如果兩人同時同地同向跑，經過200秒甲第一次追上乙，求甲、乙兩人的平均速度．【變式1-1】（2023春·江蘇連云港·七年級統考期末）我縣境內的某段鐵路橋長2200m，現有一列高鐵列車從橋上通過，測得此列高鐵從開始上橋到完全過橋共用30s，整列高鐵在橋上的時間是25s，試求此列高鐵的車速和車長．【變式1-2】（2023春·河北廊坊·七年級廊坊市第四中學校考期中）琪琪沿街勻速行走，發現每隔12min從背后駛過一輛7路公交車，每隔6問：（1）7路公交車行駛速度是琪琪行走速度的倍．（2）7路公交車總站每間隔min發一輛車．【變式1-3】（2023春·湖南婁底·七年級統考期末）小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路．假設他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，則他從家里到學校需10分鐘，從學校到家里需15分鐘．

(1)小華家離學校多遠？(2)小華從家里到學校到達中點的時間與小華從學校到家里到達中點的時間會一樣嗎？如果不一樣，哪種情況所花的時間更多？請通過計算說明理由．【題型2工程問題】【例2】（2023春·安徽蕪湖·七年級校考期末）自來水廠的供水池有7個進出水口，每天早晨6點開始進出水，且此時水池中有水15%，在每個進出水口是勻速進出的情況下，如果開放3個進口和4個出口，5小時將水池注滿；如果開放4個進口和3個出口，2小時將水池注滿．若某一天早晨6點時水池中有水24%，又因為水管改造，只能開放3個進口和2個出口，則從早晨6點開始經過小時水池的水剛好注滿．【變式2-1】（2023春·四川瀘州·七年級瀘縣五中校考期中）制造某種產品，1人用機器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用機器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用機器，1人靠手工，每天可制造多少件產品？【變式2-2】（2023春·湖南常德·七年級統考期末）玲玲家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作，需要6周完成，共需裝修費5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修費4.8萬元，玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個公司單獨完成．(1)設工作總量為1，甲公司的每周工作效率為m，乙公司每周的工作效率為n，根據題意列出關于m、n的二元一次方程組．(2)如果從節約時間的角度考慮，應選哪家公司？請說明理由．(3)如果從節約開支的角度考慮，應選哪家公司？請說明理由．【變式2-3】（2023春·河北邯鄲·七年級統考期中）有一塊面積為180畝的荒地需要綠化，甲工程隊綠化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程隊完成，已知甲工程隊每天綠化8畝，乙工程隊每天綠化12畝，一共用20天完成．(1)設甲工程隊綠化m天，乙工程隊綠化n天，依題意可列方程組：______．(2)設甲工程隊綠化荒地x畝，乙工程隊綠化荒地y畝，請列方程組求甲、乙兩工程隊分別綠化荒地的畝數．【題型3配套問題】【例3】（2023春·全國·七年級期末）張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務，用如圖①所示的長方形和正方形紙板作側面和底面，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種上面無蓋的長方體紙盒（加工時接縫材料不計）．(1)做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，需正方形紙板___________張（直接填空），需長方形紙板___________張（直接填空）．(2)若該廠購進正方形紙板162張，長方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完？（要求列二元一次方程組解決此問題）3．（2023秋·山東濟南·七年級校考期末）列方程組解應題某校為7年級寄宿學生安排宿舍，每間宿舍住5人，則有4人住不下；若每間住6人，則有一間只住4人，求該年級寄宿的學生人數和宿舍間數？【變式3-1】（2023春·山東菏澤·七年級統考期中）一套餐桌有一張桌子和六把椅子組成．如果1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子．現有15立方米的木料，請你設計一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【變式3-2】（2023春·廣東江門·七年級統考期末）用鐵皮材料做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身30個，或制盒底50個，一個盒身與兩個盒底配成一套．現有33張鐵皮材料，分別用多少張制盒身、盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【變式3-3】（2023秋·安徽滁州·七年級校考開學考試）一工廠有60名工人，要完成1200套產品的生產任務，每套產品由4個A型零件和3個B型零件配套組成，每個工人每天能加工6個A型零件或者3個B型零件．現將工人分成兩組，每組分別加工一種零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工廠每天應安排多少名工人生產A型零件?每天能生產多少套產品?(2)現工廠要在20天內完成1200套產品的生產，決定補充一些新工人，這些新工人只能獨立進行A型零件的加工，且每人每天只能加工4個A型零件．①設每天安排x名熟練工人和m名新工人生產A型零件，求x的值（用含m的代數式表示）②請問至少需要補充多少名新工人才能在規定期限完成生產任務?【題型4年齡問題】【例4】（2023春·全國·七年級專題練習）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現在這對母女的年齡分別是多少？【變式4-1】（2023春·七年級課時練習）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（

）A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲【變式4-2】（2023秋·湖南永州·七年級校考開學考試）甲對乙說：“我像你這樣大歲數的那年，你的歲數等于我今年的歲數的一半；當你到我這樣大歲數的時候，我的歲數是你今年歲數的二倍少7歲．”則今年甲的年齡為歲，乙的年齡為歲．【變式4-3】（2023春·福建泉州·七年級統考期末）南安英都拔拔燈是國家級非物質文化遺產之一，因疫情原因停辦了好幾年，今年正月又重新舉行，吸引了眾多的海內外游客參與．其中一位34歲的男子帶著他的兩個孩子參與了拔拔燈活動，下面是記者與兩個孩子的對話：記者：兩位小朋友，你們幾歲了？這么小就來拔拔燈了．妹妹：我比哥哥少4歲；哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加．恰好等于爸爸的年齡；根據對話內容，請你用方程（組）的知識幫記者求出今年哥哥和妹妹的年齡．【題型5銷售問題】【例5】（2023春·山東泰安·七年級統考期末）2020年1月底，武漢爆發“新冠”疫情，并開始向全國蔓延，出于防疫的需求，醫用口罩迅速成為緊俏物資．某藥店為解市民的燃眉之急，先后兩次采購了A、B兩種型號的醫用口罩進行銷售．已知這兩種型號的醫用口罩進貨情況如表：第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累計采購款(元)5100072000（1）問A，B兩種型號的口罩的進貨單價各是多少元？（2）銷售中發現B型口罩的銷量明顯好于A型，藥店在計劃第三次采購時，決定購進B型口罩的箱數比A型口罩的箱數的2倍還多10箱，在采購總價不超過90000元的情況下，最多能購進多少箱B型口罩？【變式5-1】（2023春·重慶·七年級重慶市育才中學校考期中）向日葵水果店推出甲乙兩種禮盒，甲禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知櫻桃每千克30元，甲禮盒每盒100元，乙禮盒每盒98元，當然，顧客也可根據需要自由搭配，小陶用1100元買乙禮盒和自由搭配禮盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，則小陶一共可買禮盒個．【變式5-2】（2023春·黑龍江大慶·七年級校考期末）某商店分兩次購進A，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲30%，20購進的臺數購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進A，B型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為1000元，求有哪幾種購進方案？【變式5-3】（2023秋·全國·七年級統考期末）為了解決農民工子女入學難的問題，我市建立了一套進城農民工子女就學的保障機制，其中一項就是免交“借讀費”．據統計，2004年秋季有5000名農民工子女進入主城區中小學學習，預計2005年秋季進入主城區中小學學習的農民工子女比2004年有所增加，其中小學增加20%，中學增加30%，這樣，2005年秋季將新增1160名農民工子女在主城區中小學學習．（1）如果按小學每生每年收“借讀費”500元，中學每生每年收“借讀費”1000元計算，求2005年新增加的1160名中小學學生共免收多少“借讀費”？（2）如果小學每增加40名學生需配備2名教師，中學每增加40名學生需配備3名教師，若按2005年秋季入學后，農民工子女在主城區中小學就讀的學生增加的人數計算，一共需要配備多少名中小學教師？【題型6分配問題】【例6】（2023春·北京海淀·七年級北京育英中學校考期末）為迎接2008年奧運會，某工藝廠準備生產奧運會標志“中國印”和奧運會吉祥物“福娃”.該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產一套奧運會標志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒．該廠購進甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進原料全部用完，求該廠能生產奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套？【變式6-1】（2023春·廣西桂林·七年級校考期中）某汽車制造廠生產一款電動汽車，計劃一個月生產200輛．由于抽調不出足夠的熟練工來完成電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人，也能獨立進行電動汽車的安裝．生產開始后，調研部門發現：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車，2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？（2）若工廠現在有熟練工人30人，求還需要招聘多少新工人才能完成一個月的生產計劃？【變式6-2】（2023春·浙江·七年級期末）杭州某公司準備安裝完成6000輛如圖所示款共享單車投入市場．由于抽調不出足夠熟練工人，公司準備招聘一批新工人．生產開始后發現：1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數與3名新工人每天安裝的共享單車數一樣多．（1）求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車?（2）若公司原有熟練工a人，現招聘n名新工人a>n，使得最后能剛好一個月（30天）完成安裝任務，求a的值．【變式6-3】（2023春·吉林長春·七年級統考期末）問題解決：糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，現將一些山楂分別串在若干個竹簽上，如果每根竹簽串4個山楂，還剩余3個山楂；如果每根竹簽串7個山楂，還剩余6根竹簽，求竹簽有多少根？山楂有多少個？反思歸納：現有m根竹簽，n個山楂，若每根竹簽串a個山楂，還剩b個山楂，則m、n、a、b滿足的等量關系為（用含m、n、a、b的代數式表示）．【題型7幾何圖形問題】【例7】（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯考階段練習）把長都是寬的兩倍的1個大長方形紙片和4個相同的小長方形紙片按圖①、圖②方式擺放，則圖②中的大長方形紙片未被4個小長方形紙片覆蓋部分的面積為cm2．【變式7-1】（2023春·江蘇常州·七年級統考期末）在長為18m，寬為15m的長方形空地上，沿平行于長方形各邊的方向分別割出三個大小完全一樣的小長方形花圃，其示意圖如圖所示，則其中一個小長方形花圃的面積為（

）

A．10m2 B．12m2 C．【變式7-2】（2023春·河南新鄉·七年級校考階段練習）如圖，在長方形ABCD中，放入6個形狀、大小都相同的小長方形，所標尺寸如圖所示.

(1)小長方形的長和寬各是多少？(2)求陰影部分的面積.【變式7-3】（2023春·山西·七年級統考期中）小敏通過觀察發現，生活中很多產品的包裝都是長方體，她從家里找了一個長方體包裝盒，將其展開后，得到如圖所示的示意圖，根據示意圖中的數據可得原長方體的體積為cm【題型8數字問題】【例8】（2023春·河北唐山·七年級統考期中）某兩位數，兩個數位上的數之和為11．這個兩位數加上45，得到的兩位數恰好等于原兩位數的兩個數字交換位置所表示的數，求原兩位數．(1)列一元一次方程求解．(2)如果設原兩位數的十位數字為x，個位數字為y，列二元一次方程組．(3)檢驗（1）中求得的結果是否滿足（2）中的方程組．【變式8-1】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶市第七中學校校考期末）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．三階幻方的填寫規則是將9個不同的整數填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等．

(1)如圖1所示幻方，求x的值；(2)如圖2所示幻方，求a，b的值；(3)如圖3所示幻方，若m，n為正整數，直接寫出一共有多少種填法，并把其中一種幻方填寫完整．【變式8-2】（2023秋·遼寧鐵嶺·七年級統考階段練習）在《最強大腦》節目中，有很多具有挑戰性的比賽項目，其中《幻圖圓》這個項目充分體現了數學的魅力．如圖是一個最簡單的二階幻圓的模型，要求：①內、外兩個圓周上的四個數字之和相等；②外圓兩直徑上的四個數字之和相等；則圖中外圓周上空白圓圈內填，內圓周上空白圓圈內填內應填．【變式8-3】（2023春·山東濰坊·七年級校考階段練習）小明和小華在一起玩數字游戲，他們每人取了一張數字卡片，拼成了一個兩位數，小明說：“哇！這個兩位數的十位數字與個位數字之和恰好是9．”他們又把這兩張卡片對調，得到了一個新的兩位數，小華說：“這個兩位數恰好也比原來的兩位數大9．”那么，你能回答以下問題嗎？(1)他們取出的兩張卡片上的數字分別是幾？(2)第一次，他們拼出的兩位數是多少？(3)第二次，他們拼成的兩位數又是多少呢？請你好好動動腦筋喲！【題型9古代問題】【例9】（2023秋·安徽滁州·七年級校聯考期中）被歷代數學家尊為“算經之首”的《九章算術》是中國古代算法的扛鼎之作．《九章算術》中記載：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問燕、雀一枚各重幾何？”譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤．問雀、燕每1只各重多少斤？”請列方程組解答上面的問題．【變式9-1】（2023春·湖北武漢·七年級校考階段練習）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，若將繩四折測之，繩多一尺，井深幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺，井深幾尺？則該問題的井深是（

）尺．A．5 B．8 C．32 D．36【變式9-2】（2023春·江西南昌·七年級統考期末）《九章算術》是我國古代第一部數學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉．下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉．問上、下禾實一秉各幾何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，與下等水稻10捆相當．下等水稻5捆，加稻谷1斗，與上等水稻2捆相當．問上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？【變式9-3】（2023秋·安徽·七年級校聯考階段練習）《九章算術》中有這樣一道題，原文如下：今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾一十秉．下禾十五秉，損實五升，當上禾五秉．問：上、下禾實一秉各幾何？大意為：今有上禾6束，減損其中之“實”1斗8升，與下禾10束之“實”相當；下禾15束，減損其中之“實”5升，與上禾5束之“實”相當．問上、下禾每1束之實各為多少?（10升為1斗）【題型10方案問題】【例10】（2023春·湖南株洲·七年級校考期末）某電器超市銷售每臺進價為200元，170元的A、B兩種型號的電風扇．如表所示是近2周的銷售情況：（進價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入－進貨成本）銷售時段銷售數量銷售收入A種型號B種型號第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號電風扇的銷售單價；(2)超市銷售完A、B兩種型號的電風扇共25臺，能否實現利潤為1200元的目標？請說明理由．(3)一家公司打算花費4000元同時購買A、B兩種型號的電風扇若干臺，請你為該公司設計不同的購買方案．【變式10-1】（2023秋·福建漳州·七年級校考階段練習）某公司接到240臺空調的安裝任務．由于時間緊，該公司沒有足夠的熟練工人，故決定招聘一批新工人．根據以往安裝經驗可知，1名熟練工人和2名新工人每天一共可以安裝8臺空調；2名熟練工人和3名新工人每天一共可以安裝14臺空調．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少臺空調？(2)若該公司原有m名熟練工人，現計劃招聘n名新工人（m，n均為正整數），為保證剛好用12天完成安裝任務，你認為該公司有哪幾種招聘方案？【變式10-2】（2023春·湖北荊州·七年級統考期末）荊州作為荊楚文化根脈所在，是楚文化發祥地．首屆楚文化節于2023年3月至4月在荊州舉辦．為更好展現荊州，荊州市特推出A、B兩種不同明信片套盒和單張明信片．已知一種A套盒和一種B套盒總價13元，2種A套盒和3種B套盒總價31元；單張明信片1元/張．(1)請求出A、B兩種套盒的單價各是多少元？(2)某顧客計劃用200元購買這三種商品共127件，如果資金剛好全部用完，問有幾種購買方案？【變式10-3】（2023春·廣東廣州·七年級執信中學校考期中）雜交水稻的發展對解決世界糧食不足問題有著重大的貢獻，某超市購進A、B兩種大米銷售，其中兩種大米的進價、售價如下表：類型進價（元/袋）售價（元/袋）A種大米2030B種大米3045(1)該超市在3月份購進A、B兩種大米共70袋，進貨款恰好為1800元．①求這兩種大米各購進多少袋；②據3月份的銷售統計，兩種大米的銷售總額為900元，求該超市3月份已售出大米的進貨款為多少元．(2)超市決定在4月份銷售A、B兩種大米共盈利100元（A，B兩種品種都有購進），請你幫助設計一下進貨方案，并寫出來．【題型11圖表問題】【例11】（2023春·浙江嘉興·七年級校聯考階段練習）流感期間，小李家購買防護用品的收據如表，有部分數據因污染無法識別，根據表格，解決下列問題：商品名單價（元）數量（件）金額（元）溫度計1901190消毒水

2100酒棈噴劑30

消毒紙巾205

醫用口罩50

合計14650(1)小李家此次購買的酒精噴劑和醫用口罩各多少件?(2)小李家計劃再次購買消毒水和酒精噴劑共15件，且總價剛好490元，則消毒水購買多少件?(3)小李家準備用270元再次購買消毒紙巾和醫用口罩，在270元剛好用完的條件下，有哪些購買方案?【變式11-1】（2023春·河南新鄉·七年級統考期末）如圖，2個塑料凳子疊放在一起的高度為60cm，4個塑料凳子疊放在一起的高度為80cm，塑料凳子相同且疊放時均忽略縫隙，則11個塑料凳子疊放在一起時的高度為(

)

A．120cm B．130cm C．140cm【變式11-2】（2023秋·甘肅武威·七年級校考開學考試）課余活動中，小杰、小明和小麗一起玩飛鏢游戲，飛鏢盤上A區域所得分值和B區域所得分值不同，每人投5次飛鏢，其落點如圖所示，已知小杰和小明的5次飛鏢總分分別為39分和43分，小麗的5次飛鏢總分為分．

專題5.2實際問題與二元一次方程組【十一大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1行程問題】 1【題型2工程問題】 4【題型3配套問題】 6【題型4年齡問題】 10【題型5銷售問題】 12【題型6分配問題】 16【題型7幾何圖形問題】 20【題型8數字問題】 22【題型9古代問題】 26【題型10方案問題】 28【題型11圖表問題】 33【題型1行程問題】【例1】（2023春·山東臨沂·七年級統考期末）甲、乙兩人在400米的環形跑道上練習賽跑，如果兩人同時同地反向跑，經過25秒第一次相遇；如果兩人同時同地同向跑，經過200秒甲第一次追上乙，求甲、乙兩人的平均速度．【答案】甲的速度為9米/秒，乙的速度為7米/秒【分析】設甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，根據“如果兩人同時同地反向跑，經過25秒第一次相遇；如果兩人同時同地同向跑，經過200秒甲第一次追上乙”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【詳解】解：設甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，依題意，得：25x+25y=400解得：x=9答：甲的速度為9米/秒，乙的速度為7米/秒．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇連云港·七年級統考期末）我縣境內的某段鐵路橋長2200m，現有一列高鐵列車從橋上通過，測得此列高鐵從開始上橋到完全過橋共用30s，整列高鐵在橋上的時間是25s，試求此列高鐵的車速和車長．【答案】此列高鐵的車速為80m/s，車長為200m【分析】設此列高鐵的車長為xm，車速為ym/s，利用路程＝速度×時間，結合題意即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【詳解】解：設此列高鐵的車長為xm，車速為ym/s，依題意得：30y=2200+x25y=2200?x解得：x=200y=80答：此列高鐵的車速為80m/s，車長為200m．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式1-2】（2023春·河北廊坊·七年級廊坊市第四中學校考期中）琪琪沿街勻速行走，發現每隔12min從背后駛過一輛7路公交車，每隔6問：（1）7路公交車行駛速度是琪琪行走速度的倍．（2）7路公交車總站每間隔min發一輛車．【答案】38【分析】設7路公交車行駛速度x米/分鐘，琪琪勻速行走的速度y米/分鐘，7路公交車發出時間間隔為t分鐘，等量關系式：12分鐘公交車行駛的路程?12分鐘琪琪走的路程=兩站之間的距離，5分鐘公交車行駛的路程+5分鐘琪琪走的路程=兩站之間的距離；據此列出方程組，即可求解．【詳解】解：設7路公交車行駛速度x米/分鐘，琪琪勻速行走的速度y米/分鐘，7路公交車發出時間間隔為t分鐘，由題意得12x?12y=xt6x+6y=xt解得：x=3yt=8故答案：（1）3（2）8．【點睛】本題主要考查了含參數的二元一次方程組的應用，找出等量關系式是解題的關鍵．【變式1-3】（2023春·湖南婁底·七年級統考期末）小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路．假設他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，則他從家里到學校需10分鐘，從學校到家里需15分鐘．

(1)小華家離學校多遠？(2)小華從家里到學校到達中點的時間與小華從學校到家里到達中點的時間會一樣嗎？如果不一樣，哪種情況所花的時間更多？請通過計算說明理由．【答案】(1)小華家離學校700米(2)小華從學校到家里到達中點的時間比小華從家里到學校到達中點的時間要多一些【分析】（1）設小華從家里到學校的路是一段平路長為x米，小華從家里到學校的下坡路長為y米，根據小華從家里到學校和從學校到家里的時間列二元一次方程組，求出x與y，并求和即可；（2）先求出中點位置與學校和家里的距離，再分別求出所需時間，比較即可得解．【詳解】（1）解：設小華從家里到學校的路是一段平路長為x米，小華從家里到學校的下坡路長為y米．由題意得：x60解得：x=300y=400∴x+y=700．答：小華家離學校700米；（2）中點距離小華家和學校的距離為：700÷2=350(米)．小華從家里到學校到達中點所需的時間為：300÷60+350?300小華從學校到家里到達中點所需的時間為：350÷40=8.75(分鐘)；8.75>5.625∴小華從學校到家里到達中點的時間比小華從家里到學校到達中點的時間要多一些．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，有理數的混合運算的應用，根據題意列方程組和列算式是解題的關鍵．【題型2工程問題】【例2】（2023春·安徽蕪湖·七年級校考期末）自來水廠的供水池有7個進出水口，每天早晨6點開始進出水，且此時水池中有水15%，在每個進出水口是勻速進出的情況下，如果開放3個進口和4個出口，5小時將水池注滿；如果開放4個進口和3個出口，2小時將水池注滿．若某一天早晨6點時水池中有水24%，又因為水管改造，只能開放3個進口和2個出口，則從早晨6點開始經過小時水池的水剛好注滿．【答案】3817【分析】設每個進水口每小時進水量為x，每個出水口每小時出水量為y，根據題意，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入1?24%3x?2y【詳解】設每個進水口每小時進水量為x，每個出水口每小時出水量為y，依題意，得：53x?4y解得：x=0.17y=0.085∴1?24%3x?2y故答案為：3817【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式2-1】（2023春·四川瀘州·七年級瀘縣五中校考期中）制造某種產品，1人用機器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用機器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用機器，1人靠手工，每天可制造多少件產品？【答案】3人用機器，1人靠手工，每天可制造100件產品【分析】設利用機器每人每天可制造x件產品，手工每人每天可制造y件產品，根據“1人用機器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用機器，2人靠手工，每天可制造80件”列出二元一次方程組，解方程即可得到答案．【詳解】解：設利用機器每人每天可制造x件產品，手工每人每天可制造y件產品，根據題意得，x+3y=602x+2y=80解得：x=30y=10∴3人用機器，1人靠手工，每天可制造的產品件數為：3×30+1×10=100（件），答：3人用機器，1人靠手工，每天可制造100件產品．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，讀懂題意，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式2-2】（2023春·湖南常德·七年級統考期末）玲玲家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作，需要6周完成，共需裝修費5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修費4.8萬元，玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個公司單獨完成．(1)設工作總量為1，甲公司的每周工作效率為m，乙公司每周的工作效率為n，根據題意列出關于m、n的二元一次方程組．(2)如果從節約時間的角度考慮，應選哪家公司？請說明理由．(3)如果從節約開支的角度考慮，應選哪家公司？請說明理由．【答案】(1)6(m+n)=1(2)甲公司，理由見解析(3)乙公司，理由見解析【分析】（1）利用時間×工作效率=工作量，建立等式，構造方程組即可．（2）比較工作效率的大小，選擇工作效率高的公司即可．（3）設設甲公司每周費用為a萬元，乙公司每周費用為b萬元，計算兩個公司完成工作任務后的總費用，比較大小決定即可．【詳解】（1）設工作總量為1，甲公司的每周工作效率為m，乙公司每周的工作效率為n，根據題意，得6(m+n)=14m+9n=1（2）由（1）解得方程組的解為：m=因為110所以從時間上考慮，應選擇甲公司．（3）解：設甲公司每周費用為a萬元，乙公司每周費用為b萬元，根據題意得：6a+6b=5.2解得：a=甲公司共需35×10=30因為4萬元＜6萬元，所以從節約開支上考慮，應選擇乙公司．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，正確找到等量關系，列出方程組是解題的關鍵．【變式2-3】（2023春·河北邯鄲·七年級統考期中）有一塊面積為180畝的荒地需要綠化，甲工程隊綠化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程隊完成，已知甲工程隊每天綠化8畝，乙工程隊每天綠化12畝，一共用20天完成．(1)設甲工程隊綠化m天，乙工程隊綠化n天，依題意可列方程組：______．(2)設甲工程隊綠化荒地x畝，乙工程隊綠化荒地y畝，請列方程組求甲、乙兩工程隊分別綠化荒地的畝數．【答案】(1)8m+12n=180(2)甲、乙兩工程隊分別綠化荒地120畝，60畝．【分析】（1）設甲工程隊綠化m天，乙工程隊綠化n天，再由工作總量為180畝，工作總時間為20天列方程組即可；（2）設甲工程隊綠化荒地x畝，乙工程隊綠化荒地y畝，再由工作總量為180畝，工作總時間為20天列方程組，再解方程組即可；【詳解】（1）解：設甲工程隊綠化m天，乙工程隊綠化n天，則8m+12n=180m+n=20（2）設甲工程隊綠化荒地x畝，乙工程隊綠化荒地y畝，則x+y=180x8+解得：x=120y=60答：甲、乙兩工程隊分別綠化荒地120畝，60畝．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的關鍵．【題型3配套問題】【例3】（2023春·全國·七年級期末）張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務，用如圖①所示的長方形和正方形紙板作側面和底面，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種上面無蓋的長方體紙盒（加工時接縫材料不計）．(1)做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，需正方形紙板___________張（直接填空），需長方形紙板___________張（直接填空）．(2)若該廠購進正方形紙板162張，長方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完？（要求列二元一次方程組解決此問題）【答案】(1)5；10(2)制作豎式紙盒38個、橫式紙盒62個，恰好能將購進的紙板全部用完【分析】（1）根據1個豎式紙盒需要長方形紙板4張，正方形紙板1張，1個橫式紙盒需要長方形紙板3張，正方形紙板2張，求出做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒需要的正方形紙板和長方形紙片的張數即可；（2）設制作豎式紙盒x個、橫式紙盒y個，根據制作豎式紙盒和橫式紙盒需要的正方形和長方形紙板數列出方程組，解方程即可．【詳解】（1）解：需正方形紙板：1+2×2=5（張），長方形紙板：4+3×2=10（張），故答案為：5；10．（2）解：設制作豎式紙盒x個、橫式紙盒y個，根據題意得：4x+3y=338x+2y=162解得：x=38y=62答：制作豎式紙盒38個、橫式紙盒62個，恰好能將購進的紙板全部用完．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是根據正方形和長方形張數列出方程組．3．（2023秋·山東濟南·七年級校考期末）列方程組解應題某校為7年級寄宿學生安排宿舍，每間宿舍住5人，則有4人住不下；若每間住6人，則有一間只住4人，求該年級寄宿的學生人數和宿舍間數？【答案】寄宿生人數為34人，宿舍間數為6間．【分析】設寄宿生人數為x人，宿舍間數為y間，根據學生的人數與房間的數量之間的關系建立方程組求出其解即可．【詳解】解：設寄宿生人數為x人，宿舍間數為y間，由題意，得x?5y=4x?6解得：x=34y=6答：寄宿生人數為34人，宿舍間數為6間．【點睛】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，解答時根據學生的人數與房間的數量之間的關系建立方程組是關鍵．【變式3-1】（2023春·山東菏澤·七年級統考期中）一套餐桌有一張桌子和六把椅子組成．如果1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子．現有15立方米的木料，請你設計一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【分析】根據題意找出等量關系：1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子和總共15立方米的木料，設出未知量列方程組計算即可．【詳解】解：設用x立方米的木料做桌子，用y立方米的木料做椅子，根據題意，得x+y=156×(10x)=15y解這個方程組，得x=3y=12經檢驗，方程組的解符合題意．所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【點睛】此題考查二元一次方程的應用，難度一般，找準等量關系是關鍵．【變式3-2】（2023春·廣東江門·七年級統考期末）用鐵皮材料做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身30個，或制盒底50個，一個盒身與兩個盒底配成一套．現有33張鐵皮材料，分別用多少張制盒身、盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【答案】用15張制盒身，用18張制盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套【分析】設用x張制盒身，用y張制盒底，根據題中等量關系列出x、y的方程組，然后解方程組可求解．【詳解】解：設用x張制盒身，用y張制盒底，根據題意，得x+y=332×30x=50y解得x=15y=18答：用15張制盒身，用18張制盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，理解題意，找準等量關系并正確列出方程組是解答的關鍵．【變式3-3】（2023秋·安徽滁州·七年級校考開學考試）一工廠有60名工人，要完成1200套產品的生產任務，每套產品由4個A型零件和3個B型零件配套組成，每個工人每天能加工6個A型零件或者3個B型零件．現將工人分成兩組，每組分別加工一種零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工廠每天應安排多少名工人生產A型零件?每天能生產多少套產品?(2)現工廠要在20天內完成1200套產品的生產，決定補充一些新工人，這些新工人只能獨立進行A型零件的加工，且每人每天只能加工4個A型零件．①設每天安排x名熟練工人和m名新工人生產A型零件，求x的值（用含m的代數式表示）②請問至少需要補充多少名新工人才能在規定期限完成生產任務?【答案】(1)工廠每天應安排24名工人生產A型零件，每天能生產36套產品(2)①x=?2【分析】（1）設工廠每天安排x名工人生產A型零件，則工廠每天安排(60?x)名工人生產B型零件，根據“每套產品由4個A型零件和3個B型零件配套組成”列方程求解即可；（2）①根據“x名熟練工人和m名新工人生產的A型零件等于1200套產品的A型零件總數”可列方程，進行整理即可；②設需要補充m名新工人才能在規定期限完成生產任務，安排n名熟練工人生產A型零件，則安排(60?n)名熟練工人生產B型零件，根據題意，可得關于m、n的方程組，求解即可．【詳解】（1）解：設工廠每天安排a名工人生產A型零件，則工廠每天安排(60?a)名工人生產B型零件，由題意得：6a4解得a=24，6a4所以，工廠每天應安排24名工人生產A型零件，每天能生產36套產品．（2）①設每天安排x名熟練工人和m名新工人生產A型零件，則安排(60?x)名熟練工人生產B型零件，由題意得，3×(6x+4m)=4×3(60?x)，整理得x=?2②設需要補充m名新工人才能在規定期限完成生產任務，安排n名熟練工人生產A型零件，則安排(60?n)名熟練工人生產B型零件，由題意得20(6n+4m)4解得m=60n=0所以，至少需要補充60名新工人才能在規定期限完成生產任務．【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應用，二元一次方程組的實際應用，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【題型4年齡問題】【例4】（2023春·全國·七年級專題練習）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現在這對母女的年齡分別是多少？【答案】母親現在年齡35歲，女兒現在7歲【分析】設母親現在年齡x歲，女兒現在y歲，然后根據5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲，列出方程組求解即可．【詳解】解：設母親現在年齡x歲，女兒現在y歲，則x?5=15(y?5)解得x=35答：母親現在年齡35歲，女兒現在7歲．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵在于正確理解題意列出方程求解．【變式4-1】（2023春·七年級課時練習）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（

）A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲【答案】A【分析】由題意得：妹妹今年的年齡為8歲，我今年的年齡為14歲，設媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，再由題意：一家四口人的年齡加在一起是101歲，爸爸比媽媽大1歲，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：現在一家四口人的年齡之和應該比十年前全家人年齡之和多40歲，但實際上101?63=38（歲），說明十年前妹妹沒出生，則妹妹今年的年齡為10?(40?38)=8（歲），我的年齡為6+8=14（歲），設媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，由題意得：x+y+8+14=101y=x+1解得：x=39y=40即爸爸今年的年齡為40歲，【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式4-2】（2023秋·湖南永州·七年級校考開學考試）甲對乙說：“我像你這樣大歲數的那年，你的歲數等于我今年的歲數的一半；當你到我這樣大歲數的時候，我的歲數是你今年歲數的二倍少7歲．”則今年甲的年齡為歲，乙的年齡為歲．【答案】2821【分析】設今年甲的年齡為x歲，乙的年齡為y歲，則甲比乙大x?y歲，然后根據題意列出方程組求解即可．【詳解】解：設今年甲的年齡為x歲，乙的年齡為y歲，則甲比乙大x?y歲，由題意得：x2解得：x=28y=21即今年甲的年齡為28歲，乙的年齡為21歲，故答案為：28，21．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找出合適的等量關系列出方程組是解題的關鍵．【變式4-3】（2023春·福建泉州·七年級統考期末）南安英都拔拔燈是國家級非物質文化遺產之一，因疫情原因停辦了好幾年，今年正月又重新舉行，吸引了眾多的海內外游客參與．其中一位34歲的男子帶著他的兩個孩子參與了拔拔燈活動，下面是記者與兩個孩子的對話：記者：兩位小朋友，你們幾歲了？這么小就來拔拔燈了．妹妹：我比哥哥少4歲；哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加．恰好等于爸爸的年齡；根據對話內容，請你用方程（組）的知識幫記者求出今年哥哥和妹妹的年齡．【答案】今年妹妹6歲，哥哥10歲．【分析】設今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據兩個孩子的對話，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【詳解】解：設今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據題意得：x+4=y3(x+2)+(y+2)=34+2解得：x=6y=10答：今年妹妹6歲，哥哥10歲．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，列出二元一次方程組是解題的關鍵．【題型5銷售問題】【例5】（2023春·山東泰安·七年級統考期末）2020年1月底，武漢爆發“新冠”疫情，并開始向全國蔓延，出于防疫的需求，醫用口罩迅速成為緊俏物資．某藥店為解市民的燃眉之急，先后兩次采購了A、B兩種型號的醫用口罩進行銷售．已知這兩種型號的醫用口罩進貨情況如表：第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累計采購款(元)5100072000（1）問A，B兩種型號的口罩的進貨單價各是多少元？（2）銷售中發現B型口罩的銷量明顯好于A型，藥店在計劃第三次采購時，決定購進B型口罩的箱數比A型口罩的箱數的2倍還多10箱，在采購總價不超過90000元的情況下，最多能購進多少箱B型口罩？【答案】（1）A種型號的口罩的進貨單價是1200元，B種型號的口罩的進貨單價是900元；（2）最多能購進64箱B型口罩．【分析】（1）設A種型號的口罩的進貨單價是x元，B種型號的口罩的進貨單價是y元，根據題意列出關于x和y的二元一次方程組，進而求出A，B兩型口罩的進貨單價．（2）設購進m箱A型口罩，購進(2m+10)箱B型口罩，列出不等式1200m+900(2m+10)≤90000求解即可．【詳解】（1）設A種型號的口罩的進貨單價是x元，B種型號的口罩的進貨單價是y元，根據題意可得：20x+30y=5100030x+40y=72000解得：x=1200y=900答：A種型號的口罩的進貨單價是1200元，B種型號的口罩的進貨單價是900元．（2）設購進m箱A型口罩，購進(2m+10)箱B型口罩，由題意可得：1200m+900(2m+10)≤90000；解得：m≤27，又∵m為正整數∴m的最大值為27．此時2m+10=64．答：最多能購進64箱B型口罩．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用；在求解的過程中二元一次方程組可用加減消元法和代入消元法兩種消元的方法，而一元一次不等式的解集求出以后，還要根據題意對于未知數進行正確的取值．【變式5-1】（2023春·重慶·七年級重慶市育才中學校考期中）向日葵水果店推出甲乙兩種禮盒，甲禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知櫻桃每千克30元，甲禮盒每盒100元，乙禮盒每盒98元，當然，顧客也可根據需要自由搭配，小陶用1100元買乙禮盒和自由搭配禮盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，則小陶一共可買禮盒個．【答案】10【分析】設枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，列出方程組，得到自由搭配禮盒每盒138元，設乙禮盒m個，自由搭配禮盒n個，得到98m+138n=1100，根據m，n為非負整數，得到m，n的值即可．【詳解】解：設枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，則30+0.5x+y=100①30+0.5x+a=98②由①+②得：x+y+a=138，即自由搭配禮盒每盒138元，設乙禮盒m個，自由搭配禮盒n個，則98m+138n=1100，∵m，n為非負整數，當且僅當m=7，n=3時，等式成立，∴一共可以買禮盒7+3=10（個），故答案為：10．【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，確定自由搭配禮盒每盒138元．【變式5-2】（2023春·黑龍江大慶·七年級校考期末）某商店分兩次購進A，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲30%，20購進的臺數購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進A，B型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為1000元，求有哪幾種購進方案？【答案】(1)第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元(2)①A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②有4種購進方案：①購進A型臺燈2臺，B型臺燈14臺；②購進A型臺燈5臺，B型臺燈10臺；③購進A型臺燈8臺，B型臺燈6臺；④購進A型臺燈11臺，B型臺燈2臺【分析】（1）根據等量關系式：第一次購買10臺A型臺燈的費用+第一次購買20臺B型臺燈的費用=3000元，第二次購買15臺A型臺燈的費用+第二次購買10臺B型臺燈的費用=4500元，列出方程組，接可求解；（2）①根據等量關系式：第一次的10臺A型臺燈的利潤+第一次的20臺B型臺燈的利潤=2800元，第二次的15臺A型臺燈的利潤+第二次購買10臺B型臺燈的利潤=1000元，列出方程組，接可求解；②設再購進A型臺燈a臺，B型臺燈b臺，由按第二次購買的價格購買，a臺A型臺燈售出獲得利潤+b臺B型臺燈售出獲得利潤=1000元，列方程即可求解．【詳解】（1）解：設第一次購進A型臺燈每臺進價為x元，B型臺燈每臺進價為y元，由題意得：10x+20y=300015解得：x=200y=50答：第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元．（2）解：①設A型臺燈每臺售價為m元，B型臺燈每臺售價為n元，由題意得：10m?200解得，m=340n=120答：A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②第二次購進的A型臺燈的價格為：2001+30%=260（元），B設購進A型臺燈a臺，B型臺燈b臺，由題意得：340?260a+整理得：4a+3b=50，∴b=∵a、b為自然數，∴a=2b=14或a=5b=10或a=8∴有4種購進方案：①購進A型臺燈2臺，B型臺燈14臺；②購進A型臺燈5臺，B型臺燈10臺；③購進A型臺燈8臺，B型臺燈6臺；④購進A型臺燈11臺，B型臺燈2臺．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找出等量關系式，正確列出方程（組）是解題的關鍵．【變式5-3】（2023秋·全國·七年級統考期末）為了解決農民工子女入學難的問題，我市建立了一套進城農民工子女就學的保障機制，其中一項就是免交“借讀費”．據統計，2004年秋季有5000名農民工子女進入主城區中小學學習，預計2005年秋季進入主城區中小學學習的農民工子女比2004年有所增加，其中小學增加20%，中學增加30%，這樣，2005年秋季將新增1160名農民工子女在主城區中小學學習．（1）如果按小學每生每年收“借讀費”500元，中學每生每年收“借讀費”1000元計算，求2005年新增加的1160名中小學學生共免收多少“借讀費”？（2）如果小學每增加40名學生需配備2名教師，中學每增加40名學生需配備3名教師，若按2005年秋季入學后，農民工子女在主城區中小學就讀的學生增加的人數計算，一共需要配備多少名中小學教師？【答案】(1)820000元；(2)480人.【詳解】本題考查的是方程組的應用（1）根據題意可知本題的等量關系有，2005年進入小學學習的人數=（1+20%）×2004年進入小學學習的人數，2005年進入中學學習的人數=（1+30%）×2004進入中學學習的人數．2005年進入中小學學習的總人數=5000+1160．依此列方程組再求解．（2）先算出秋季入學后，在小學就讀的學生人數及在中學就讀的學生人數，再根據師生比例即得結果．（1）設2004年秋季在主城區小學學習的農民工子女有x人，在主城區中學學習的農民工子女有人，由題意可得：解得{∴，30%y=30%×1600=480∴500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（萬元）答：共免收82萬元（或820000元）“借讀費”.（2）2005年秋季入學后，在小學就讀的學生有（名），在中學就讀的學生有（名）.∴（名）答：一共需要配備360名中小學教師.【題型6分配問題】【例6】（2023春·北京海淀·七年級北京育英中學校考期末）為迎接2008年奧運會，某工藝廠準備生產奧運會標志“中國印”和奧運會吉祥物“福娃”.該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產一套奧運會標志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒．該廠購進甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進原料全部用完，求該廠能生產奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套？【答案】生產奧運會標志2000套，生產奧運會吉祥物2400套【分析】設生產奧運會標志x套，生產奧運會吉祥物y套．兩個等量關系為：4×奧運會標志套數+5×奧運會吉祥物套數=20000；3×奧運會標志套數+10×奧運會吉祥物套數=30000．再列方程求解即可．【詳解】解：設生產奧運會標志x套，生產奧運會吉祥物y套．根據題意得4x+5y=20000①①×2?②得∴x=2000．把x=2000代入①得5y=12000．∴y=2400．答：該廠能生產奧運會標志2000套，生產奧運會吉祥物2400套．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系：4×奧運會標志套數+5×奧運會吉祥物套數=20000；3×奧運會標志套數+10×奧運會吉祥物套數=30000，列出方程組，再求解．本題需注意應根據用的原料種類分類判斷得到等量關系．【變式6-1】（2023春·廣西桂林·七年級校考期中）某汽車制造廠生產一款電動汽車，計劃一個月生產200輛．由于抽調不出足夠的熟練工來完成電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人，也能獨立進行電動汽車的安裝．生產開始后，調研部門發現：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車，2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？（2）若工廠現在有熟練工人30人，求還需要招聘多少新工人才能完成一個月的生產計劃？【答案】（1）每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車；（2）40名【分析】（1）設每名熟練工每月可以按裝x輛電動汽車，每名新工人每月可以按裝y輛電動汽車，根據“1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設還需要招聘m名新工人才能完成一個月的生產計劃，根據工作總量＝工作效率×人數結合計劃一個月生產200輛，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：（1）設每名熟練工每月可以安裝x輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝y輛電動汽車，依題意，得：x+2y=82x+3y=14解得：x=4y=2答：每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車．（2）設還需要招聘m名新工人才能完成一個月的生產計劃，依題意，得：4×30+2m＝200，解得：m＝40．答：還需要招聘40名新工人才能完成一個月的生產計劃．【點睛】本題考查的是用二元一次方程組解決問題中的工程問題，理解題意，找準數量關系列出方程組是解答關鍵.【變式6-2】（2023春·浙江·七年級期末）杭州某公司準備安裝完成6000輛如圖所示款共享單車投入市場．由于抽調不出足夠熟練工人，公司準備招聘一批新工人．生產開始后發現：1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數與3名新工人每天安裝的共享單車數一樣多．（1）求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車?（2）若公司原有熟練工a人，現招聘n名新工人a>n，使得最后能剛好一個月（30天）完成安裝任務，求a的值．【答案】（1）每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車；（2）a的值為16或14或12．【分析】（1）設每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據“1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天安裝的共享單車數與3名新工人每天安裝的共享單車數一樣多”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設抽調a名熟練工人，由工作總量＝工作效率×工作時間，即可得出關于n，a的二元一次方程，再根據n，a均為正整數且n＜a，即可求出n的值．【詳解】解：（1）設每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據題意得：x+2y=282x=3y解得：x=12y=8答：每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車．（2）根據題意得：30×（8n+12a）＝6000，整理得：n＝25﹣32a∵n，a均為正整數，且n＜a，∴n=1a=16，n=4a=14，∴a的值為16或14或12．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程．【變式6-3】（2023春·吉林長春·七年級統考期末）問題解決：糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，現將一些山楂分別串在若干個竹簽上，如果每根竹簽串4個山楂，還剩余3個山楂；如果每根竹簽串7個山楂，還剩余6根竹簽，求竹簽有多少根？山楂有多少個？反思歸納：現有m根竹簽，n個山楂，若每根竹簽串a個山楂，還剩b個山楂，則m、n、a、b滿足的等量關系為（用含m、n、a、b的代數式表示）．【答案】竹簽有15根，山楂有63個；am+b＝n．【分析】設竹簽有x根，山楂有y個，根據“如果每根竹簽串4個山楂，還剩余3個山楂；如果每根竹簽串7個山楂，還剩余6根竹簽”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出竹簽及山楂的數量；利用山楂的個數＝每根竹簽串的山楂個數×竹簽數量+剩余山楂的數量，即可找出m、n、a、b之間的等量關系．【詳解】問題解決：設竹簽有x根，山楂有y個，依題意得：4x+3=y7(x?6)=y解得：x=15y=63答：竹簽有15根，山楂有63個．∵山楂的個數＝每根竹簽串的山楂個數×竹簽數量+剩余山楂的數量∴am+b＝n．故答案為：am+b＝n．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意列出方程組是解題的關鍵．【題型7幾何圖形問題】【例7】（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯考階段練習）把長都是寬的兩倍的1個大長方形紙片和4個相同的小長方形紙片按圖①、圖②方式擺放，則圖②中的大長方形紙片未被4個小長方形紙片覆蓋部分的面積為cm2．【答案】24【分析】根據題意中的等量關系大長方形的長+2倍小長方形的長=12，大長方形的長-2倍小長方形的長=4列出方程組進行求解.【詳解】解：設大長方形長為x,小長方形長為y.根據題意，得{x+2y=12,x?2y=4,∴大長方形的寬為4，小長方形的寬為1.4×8?1×2×4=24.所以被覆蓋部分的面積為24【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，再列出方程．【變式7-1】（2023春·江蘇常州·七年級統考期末）在長為18m，寬為15m的長方形空地上，沿平行于長方形各邊的方向分別割出三個大小完全一樣的小長方形花圃，其示意圖如圖所示，則其中一個小長方形花圃的面積為（

）

A．10m2 B．12m2 C．【答案】D【分析】設小長方形花圃的長為xm，寬為y【詳解】解：設小長方形花圃的長為xm，寬為y根據題意可得：2x+y=18x+2y=15解得：x=7y=4∴xy=7×4=28m∴一個小長方形花圃的面積為：28m故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式7-2】（2023春·河南新鄉·七年級校考階段練習）如圖，在長方形ABCD中，放入6個形狀、大小都相同的小長方形，所標尺寸如圖所示.

(1)小長方形的長和寬各是多少？(2)求陰影部分的面積.【答案】(1)小長方形的長為10cm，寬為3cm；(2)67cm【分析】（1）設小長方形的長為xcm，寬為ycm，觀察圖形即可列出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、（2）根據陰影部分的面積=大長方形的面積?6個小長方形的面積，即可求出結論．【詳解】（1）設小長方形的長為xcm，寬為y根據圖形可知：x+3y=19x+y=2y+7解得：x=10y=3答：小長方形的長為10cm，寬為3cm；（2）由（1）得：小長方形的長為10cm，寬為3cm，∴長方形ABCD的寬為13cm，則陰影部分的面積=大長方形的面積?6個小長方形的面積，=13×19?6×3×10，=67(cm答：陰影部分的面積為67cm【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，觀察圖形列出關于x、y的二元一次方程組是解題的關鍵．【變式7-3】（2023春·山西·七年級統考期中）小敏通過觀察發現，生活中很多產品的包裝都是長方體，她從家里找了一個長方體包裝盒，將其展開后，得到如圖所示的示意圖，根據示意圖中的數據可得原長方體的體積為cm【答案】192【分析】根據圖形分析得到長方體的長是8cm，設寬是xcm，高是ycm，列方程組求解即可得到寬和高，再根據長方體體積公式計算體積.【詳解】設長方體的寬是xcm，高是ycm，由題意得2×8+x+y=26x+2y=14解得x=6y=4∴長方體的體積是8×6×4=192（cm故答案為：192.【點睛】此題考查二元一次方程組的實際應用，正確觀察圖形理解長、寬、高之間的數量關系是解題的關鍵.【題型8數字問題】【例8】（2023春·河北唐山·七年級統考期中）某兩位數，兩個數位上的數之和為11．這個兩位數加上45，得到的兩位數恰好等于原兩位數的兩個數字交換位置所表示的數，求原兩位數．(1)列一元一次方程求解．(2)如果設原兩位數的十位數字為x，個位數字為y，列二元一次方程組．(3)檢驗（1）中求得的結果是否滿足（2）中的方程組．【答案】(1)原兩位數為38(2)x+y=11(3)（1）中求得的結果滿足（2）中的方程組【分析】（1）設原兩位數的個位數字為m，則十位數字為11?m，根據題意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）設原兩位數的十位數字為x，個位數字為y，根據題意，列出方程組即可求解；（3）結合（1），可知：x=3，y=8，進而即可求解．【詳解】（1）解：設原兩位數的個位數字為m，則十位數字為11?m，依題意，得：10×11?m解得：m=8，∴11?m=3．答：原兩位數為38；（2）設原兩位數的十位數字為x，個位數字為y，依題意，得：x+y=1110x+y+45=10y+x（3）結合（1）可知，x=3，y=8，∴x+y=11，10x+y+45=83=10y+x，∴（1）中求得的結果滿足（2）中的方程組．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，二元一次方程組的應用，根據題意列出方程（組）是解題的關鍵．【變式8-1】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶市第七中學校校考期末）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．三階幻方的填寫規則是將9個不同的整數填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等．

(1)如圖1所示幻方，求x的值；(2)如圖2所示幻方，求a，b的值；(3)如圖3所示幻方，若m，n為正整數，直接寫出一共有多少種填法，并把其中一種幻方填寫完整．【答案】(1)x=5(2)a=4(3)一共有3種填法；填寫見解析【分析】（1）根據題意列出關于x的方程，解方程即可；（2）根據題意列出關于a、b的方程組，解方程組即可；（3）根據題意列出關于m、n的二元一次方程，求出整數解即可．【詳解】（1）解：根據題意得：9+x+1=x+3+1+2x?4，解得：x=5；（2）解：根據題意得：12+2a+1+3b?3=12+7+2a4b?2+2a+1+2a=12+7+2a解得：a=4b=3（3）解：根據題意得：13+12+11=13+2m+2+3n，即2m+3n=21，∵m，n為正整數，∴m=3n=5，m=6n=3，∴共有3種填法；

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和一元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，根據表格列出方程或方程組．【變式8-2】（2023秋·遼寧鐵嶺·七年級統考階段練習）在《最強大腦》節目中，有很多具有挑戰性的比賽項目，其中《幻圖圓》這個項目充分體現了數學的魅力．如圖是一個最簡單的二階幻圓的模型，要求：①內、外兩個圓周上的四個數字之和相等；②外圓兩直徑上的四個數字之和相等；則圖中外圓周上空白圓圈內填，內圓周上空白圓圈內填內應填．【答案】?1?7【分析】設外圓空白數字為x,內圓空白數據為y,根據題意可列出關于x、y的方程組求解即可．【詳解】解：設外圓空白數字為x，內圓空白數據為y，根據題意得：?3+9?5+x=6?1+2+y；整理得：x?y=6x+y=?8，解得：故答案為?1,?7．【點睛】本題考查了有理數的加法運算、二元一次方程組等知識點，根據題意列出一元二次方程組是解答本題的關鍵．【變式8-3】（2023春·山東濰坊·七年級校考階段練習）小明和小華在一起玩數字游戲，他們每人取了一張數字卡片，拼成了一個兩位數，小明說：“哇！這個兩位數的十位數字與個位數字之和恰好是9．”他們又把這兩張卡片對調，得到了一個新的兩位數，小華說：“這個兩位數恰好也比原來的兩位數大9．”那么，你能回答以下問題嗎？(1)他們取出的兩張卡片上的數字分別是幾？(2)第一次，他們拼出的兩位數是多少？(3)第二次，他們拼成的兩位數又是多少呢？請你好好動動腦筋喲！【答案】(1)他們取出的兩張卡片上的數字分別是4、5(2)第一次他們拼成的兩位數為45(3)第二次拼成的兩位數是54【詳解】（1）解：設他們取出的兩個數字分別為x、y．第一次拼成的兩位數為10x+y，第二次拼成的兩位數為10y+x．根據題意得：x+y=9①10y+x?9=10x+y②由②，得：y?x=1③，①+③得：把y=5代入①得：x=4，∴他們取出的兩張卡片上的數字分別是4、5．（2）解：根據（1）得：十位數字是4，個位數字是5，所以第一次他們拼成的兩位數為45．（3）解：根據（1）得，x，y的位置調換，所以十位數字是5，個位數字是，所以第二次拼成的兩位數是54．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，找出合適的等量關系是解題的關鍵．【題型9古代問題】【例9】（2023秋·安徽滁州·七年級校聯考期中）被歷代數學家尊為“算經之首”的《九章算術》是中國古代算法的扛鼎之作．《九章算術》中記載：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問燕、雀一枚各重幾何？”譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤．問雀、燕每1只各重多少斤？”請列方程組解答上面的問題．【答案】雀、燕每一只各重219斤、3【分析】設雀、燕每1只各重x斤、y斤，根據等量關系：今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤，列出方程組求解即可．【詳解】解：設雀、燕每1只各重x斤、y斤．根據題意，得4x+y=5y+x整理，得3x?4y=0解得x=答：雀、燕每1只各重219斤、3【點睛】考查二元一次方程組得應用，解題的關鍵是分析題意，找出題中的等量關系．【變式9-1】（2023春·湖北武漢·七年級校考階段練習）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，若將繩四折測之，繩多一尺，井深幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺，井深幾尺？則該問題的井深是（

）尺．A．5 B．8 C．32 D．36【答案】B【分析】設繩長為x尺，井深為y尺，根據等量關系“把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺”列出方程組求解即可．【詳解】解：設繩長是x尺，井深是y尺，由題意可得：13x?y=41所以井深是8尺．故選B．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的應用．要讀懂題目的意思、根據題目給出的條件、找出合適的等量關系列出方程（組）是解題關鍵．【變式9-2】（2023春·江西南昌·七年級統考期末）《九章算術》是我國古代第一部數學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉．下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉．問上、下禾實一秉各幾何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，與下等水稻10捆相當．下等水稻5捆，加稻谷1斗，與上等水稻2捆相當．問上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？【答案】上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有