專題15.2分式的運算【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知分式恒等式確定分子或分母】 ②運算順序中，加減運算等級較低。若混合運算種有乘除或乘方運算，先算乘除、乘方運算，最后算加減運算。【題型1已知分式恒等式確定分子或分母】【例1】（2023上·湖南長沙·八年級校聯考階段練習）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx【答案】6【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)【詳解】解：∵6x3∴6∴6x∴當x=0時，B+D=0①當x=1時，A+B+3C+D=16當x=?1時，3B?A∵6x即6∴A+C=6④聯立①②③④解之得A=C=3、B=?2、D=2，∴A+B+C+D=6．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了部分分式的計算，題目比較復雜，解題時首先正確理解題意，然后根據題意列出關于A、B、C、D的方程組即可解決問題．【變式1-1】（2023·山東煙臺·八年級統考期末）若3x?4(x?1)(x?2)=K【答案】1【分析】根據分式的加減和恒等關系即可求解．【詳解】解：原式變形，得3x?4(x?1)(x?2)＝3k∴3K＝3，4K＝4，解得K＝1．故答案為1．【點睛】本題考查了分式的加減，解決本題的關鍵是恒等關系變形．【變式1-2】（2023上·上海黃浦·八年級上海市民辦立達中學校考期中）已如3x2?7x+2x?1x+1【答案】a=?1【分析】先把分式恒等式去分母可得3x【詳解】解：3x∴去分母可得：3x∴3x由恒等式可得：a+b=?7a?b?3=2解得：a=?1b=?6【點睛】本題考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含義”是解本題的關鍵．【變式1-3】（2023上·云南昆明·八年級昆明市第三中學校考階段練習）閱讀下列材料：若1?3xx2?1=A解：等式右邊通分，得A根據題意，得A+B=?3?A+B=1，解之得A=?2仿照以上解法，解答下題．(1)已知x+6x+12x?3=Mx+1?N2x?3（其中(2)若12n?12n+1=a2n?1?b(3)計算：11×3【答案】(1)M=?1(2)12，(3)1010【分析】（1）根據閱讀材料中的方法計算即可求出M與N的值；（2）根據閱讀材料中的方法計算即可求出a與b的值；（3）由11×3=12×【詳解】（1）解：等式右邊通分，得Mx+1根據題意，得2M?N=1?3M?N=6，解之得M=?1（2）解：等式右邊通分，得a2n?1根據題意，得2a?2b=0a+b=1，解之得a=b=故答案為：12，1（3）解：1=====故答案為：10102021【點睛】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【題型2比較分式的大小】【例2】（2023下·江蘇南京·八年級南師附中樹人學校校考期中）比較兩個數的大小時，我們常常用到“作差法”：如果a?b>0，那么a>b；如果a?b=0，那么a=b；如果a?b<0，那么a<b．（1）已知2x>y>0，且A=xy，B=x+1y+2，試用“作差法”比較（2）比較兩數1999199820212020和19991999（3）對于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，則【答案】(1)A>B；(2)1999199820212020>【分析】用作差法求解．【詳解】(1)A?B=x∵y>0，∴y+2>0，∴yy+2∵2x>y，∴2x?y>0，∴2x?yyy+2>0故答案為：A>B．（2）令19991998=t，20212020=m，1999199820212020∵2t>m，∴2t?m>0，∵m>0，則m+2>0，∴m(m+2)>0，∴1999199820212020（3）A?B=0，xy?x+1y為正數，所以分母不為0∴2x?y=0，y=2x．故答案為：y=2x．【點睛】本題考查了作差法比較大小：如果A-B＞0，那么A＞B；如果A-B=0，那么A=B；如果A-B＜0，那么A＜B．【變式2-1】（2023上·福建福州·八年級統考期末）已知：P=x+1，Q=4xx+1(1)當x>0時，判斷P-Q與0的大小關系，并說明理由；(2)設y=3P?Q2【答案】(1)P-Q≥0，理由見解析；(2)y的整數值為：-7，-3，-1，3．【分析】（1）先求差，再比較差與0的大小關系；（2）先表示y，再求y的整數值．【詳解】（1）解：P-Q≥0，理由如下：P-Q=x+1?==(x?1)∵x＞0，∴x+1＞0，（x-1）2≥0．∴P-Q≥0；（2）解：y==?2+5∵x，y是整數，∴x+1是5的因數．∴x+1=±1，±5．對應的y值為：∴y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3．∴y的整數值為：-7，-3，-1，3．【點睛】本題考查分式運算和比較大小，正確進行分式的加減運算是求解本題的關鍵．【變式2-2】（2023上·湖南常德·八年級常德市第七中學校考期中）(1)若a、b為正數，且a<b，直接判斷1a與1(2)若a、b為正數，且a≠b，試比較ba(3)若1a+1b=1【答案】(1)1(2)ba(3)ba【分析】（1）計算出1a?1b=b?aab，再根據a（2）計算出ba+ab?2=(b?a)2ab，再根據（3）計算出ba+ab?ab=【詳解】（1）1a理由如下：1a∵a、b為正數，∴ab＞0，∵a＜b，∴b-a＞0，∴1a即有：1a（2）ba理由如下：ba∵a、b為正數，∴ab＞0，∵a≠b，∴(b?a)2∴ba∴ba（3）ba理由如下：ba∵1a∴1a∴a+b=ab，∴ba∴ba【點睛】本題考查了分式的混合運算、完全平方公式等知識，掌握分式的混合運算是解答本題的關鍵．【變式2-3】（2023下·江蘇南京·八年級統考期中）已知b＞a＞0．(1)比較大小：aba+1(2)若c＞0，比較ab與a+c(3)下列結論正確的是（寫出所有正確結論的序號）．①若n＞m＞0，則m+2n+2②若n＞m＞2，則m?2n?2③若n＞m＞2，則m?2n?2④若n＞m＞2021，則m+2022n+2022【答案】(1)＜(2)a+c(3)②④【分析】（1）利用作差法判斷大小即可．（2）利用作差法比較大小即可．（3）利用作差法逐項進行比較判斷即可．【詳解】（1）解：a+1b+1?ab∵b>a>0，∴b?a>0，b(b+1)>0，∴b?ab(b+1)∴a+1b+1即ab故答案為：<．（2）a+cb+c?ab=b(a+c)b(b+c)?∵b>a>0，c>0，∴c(b?a)>0，b(b+c)>0，∴c(b?a)b(b+c)即a+cb+c（3）①m+2n+2?mn=n(m+2)?m(n+2)∵n>m>0，∴2(n?m)>0，n(n+2)>0，∴2(n?m)n(n+2)則m+2n+2②m?2n?2?mn=n(m?2)?m(n?2)∵n>m>2，∴2(m?n)<0，n(n?2)>0，∴2(m?n)n(n?2)則m?2n?2③m?2n?2?m+1n+1=(m?2)(n+1)?(m+1)(n?2)∵n>m>2，∴3(m?n)<0，(n?2)(n+1)>0，∴3(m?n)(n?2)(n+1)則m?2n?2④m+2022===4043(n?m)∵n>m>2021，∴4043(n?m)>0，(n+2022)(n?2021)>0，∴4043(n?m)(n+2022)(n?2021)則m+2022n+2022故答案為：②④．【點睛】本題考查分式的混合運算，熟練掌握作差法以及分式混合運算的運算法則是解答本題的關鍵．【知識點2整數指數冪的運算】1.整數負指數冪：a?n2.若am=an，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則am【題型3負整數指數冪】【例3】（2023下·浙江寧波·八年級校考期末）已知x=1+7n，y=1+7?n，則用x表示A．x+1x?1 B．x+1x+1 C．xx?1【答案】C【分析】將y變形為y=1+17n，再將x=1+【詳解】解：y=1+7∵x=1+7∴7n∴y=1+1故選：C．【點睛】本題考查了負整數指數冪，以及分式的化簡，熟練掌握負整數指數冪的運算是解題的關鍵．【變式3-1】（2023下·遼寧阜新·八年級阜新實驗中學校考期中）若a=0.32，b=?3?2，c=?13?2，則【答案】b【分析】根據a=0.32=0.09，b=?【詳解】∵a=0.32=0.09，b=?∴?1故b＜故答案為：b＜【點睛】本題考查了冪的計算，負整數指數冪，實數大小比較，熟練掌握公式和大小比較的原則是解題的關鍵．【變式3-2】（2023上·陜西·八年級校考階段練習）已知x=3?q，y?1=21?p，z=4p27【答案】4x3y2．【分析】由于z=4p?27-q=（22）p?（33）-q=（2p）2?（3-q）3，題目要求用x，y表示z，又x=3-q，那么關鍵是用y的代數式表示2p．由y-1=21-p，根據負整指數冪的意義，可知2p=2y．【詳解】由y-1=21-p，得y＝2p?1＝2p所以2p=2y．z=4p?27-q=（22）p?（33）-q=（2p）2?（3-q）3=（2y）2?x3=4x3y2．【點睛】本題綜合考查了冪的運算性質、負整指數冪的意義及代數式的恒等變形．本題能夠由已知條件y-1=21-p，得出2p=2y是解題的關鍵．【變式3-3】（2023上·浙江寧波·八年級統考期末）若x2?12x+1=0，則x4【答案】2【分析】根據已知可得x+x?1=12，進而根據完全平方公式的得出x【詳解】解：

由題設知x≠0，于是有x+x于是x2x4故x4+x【點睛】本題考查了負整數指數冪，完全平方公式，將已知等式變形是解題的關鍵．【題型4利用科學記數法表示小數】【例4】（2023·河北邯鄲·校考一模）把0.00258寫成a×10n（1≤a<10，n為整數）的形式，則a+n為（A．2.58 B．5.58 C．?0.58 D．?0.42【答案】D【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10-n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】解：將0.00258用科學記數法表示為：2.58×10-3．故a=2.58，n=-3，則a+n=-0.42．故選：D．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式4-1】（2023下·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達中學校校考期末）某種細胞的直徑是5×10－4毫米，這個數是（）A．0.05毫米 B．0.005毫米 C．0.0005毫米 D．0.00005毫米【答案】C【詳解】科學記數法a×10n，n=-4，所以小數點向前移動4位．5×10-4=0.0005，故選C.【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10?n，其中1≤a【變式4-2】（2023上·重慶渝中·八年級統考期末）人類進入5G時代，科技競爭日趨激烈．據報道，我國某種芯片的制作工藝已達到28納米，居世界前列．已知1納米＝1×10﹣9米，則28納米等于多少米？將其結果用科學記數法表示為．【答案】2.8×10-8米【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】解：將28納米用科學記數法表示為2.8×10-8米，故答案為：2.8×10-8米．【點睛】本題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式4-3】（2023下·江蘇鎮江·八年級校考期末）去年11月，在巴黎舉行的第27屆國際計量大會中宣布引進4個新單位詞頭，新增的4個詞頭分別是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto?10?27，此前，國際單位制最小單位詞頭為“幺”（1幺?10?24．一個光子的質量約為1.1×10?23【答案】1.1×【分析】運用科學記數法的運算法則解答即可．【詳解】一個光子的質量約為1.1×10?23幺克．換算后約為1.1×故答案為1.1×10【點睛】本題考查了用科學記數法表示的數的除法運算，解題的關鍵是掌握用科學計數法表示數的運算方法．【題型5分式的混合運算】【例5】（2023上·山東菏澤·八年級統考期中）計算：(1)3(2)x?y【答案】(1)8(2)1【分析】（1）先對各個分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加減運算法則運算后約分即可得到答案；（2）先對各個分式分子分母因式分解，根據分式混合運算順序，先計算乘除，再利用分式加減運算法則運算后約分即可得到答案．【詳解】（1）解：3=3===8（2）解：x?y=x?y=x+3y==1．【點睛】本題考查分式混合運算，涉及通分、約分、因式分解等知識．掌握分式混合運算法則及運算順序，熟記因式分解的方法，準確找到最簡公分母通分是解決分式混合運算的關鍵．【變式5-1】（2023下·河南南陽·八年級統考期中）計算a2a?b?a?b【答案】b【分析】根據分式的加減運算法則，先通分，再加減．【詳解】解：原式====b故答案為：b2【點睛】本題考查了分式的加減運算，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序．【變式5-2】（2023上·湖南岳陽·八年級校考階段練習）當x分別取?2023，?2022，?2021，…，?2，?1，0，1，12，1A．?1 B．1 C．0 D．2023【答案】A【分析】先求出x=?a和x=1aa≠0【詳解】解：當x=?a和x=1?a==0當x=0時，x2則所求的和為0+0+0+?+0+?1故選A．【點睛】本題考查了分式的求值，熟練掌握分式的運算法則和歸納出一般規律是解題關鍵．【變式5-3】（2023上·廣西貴港·八年級統考期中）下面是小明同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．x2=x+3=x?3=2x?6=2x?6?=2x?6?2x+1=?5任務一：填空：以上化簡步驟中，第步是進行分式的通分，通分的依據是或填為：；第步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是；任務二：請直接寫出該分式化簡后的正確結果是；任務三：根據小明同學進行分式化簡的過程：完成下列分式的計算：1a+1【答案】任務一：①三，分式的基本性（分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為零的數，分式的值不變）；②五，去括號時，括號前面是“?”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號；任務二：?72x+6【分析】任務一：本題考查的是分式的基本性質的應用，去括號法則的應用；①根據通分的概念及分式的基本性質進行填空；②根據去括號法則進行分析判斷；任務二：本題考查的是分式的混合運算；先將能進行因式分解的分子分母進行因式分解，然后進行通分，再計算即可；任務三：本題考查的是分式的混合運算；先將能進行因式分解的分子分母進行因式分解，先計算乘法運算，再通分進行分式加減法運算即可．【詳解】解：任務一：①化簡步驟中，第三步進行分式的通分，通分的依據是分式的基本性質或填為分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為零的數，分式的值不變，②第五步開始出現錯誤，錯誤原因是去括號時，括號前面是“?”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號，任務二：x2======?任務三：1====3【題型6分式的化簡求值】【例6】（2023上·湖南岳陽·八年級統考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b【答案】?【分析】先根據完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，進一步推出ab+bc+ac=?6，由ca+3b+3=c?3a?3，由此代入所求式子中并化簡得到【詳解】解：∵a+b+c=2，∴a+b+c2∴a2∵a2∴ab+bc+ac=?6，∵a+b+c=2，∴c=2?a?b，∴3c+3=9?3a?3b，∴ab+3c+3=ab+9?3a?3b==a=a?3同理可得：bc+3a+3=b?3ca+3b+3=c?3∴=======?7【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值問題，完全平方公式，因式分解的應用，解題的關鍵是根據已知條件的結構特點，靈活運用有關公式將所給的代數式恒等變形，準確化簡．【變式6-1】（2023上·河北唐山·八年級統考期中）已知x2?x?2=0求代數式【答案】?1【分析】本題考查了分式的運算化簡求值，先對分子和分母因式分解，將除式的分子、分母交換位置將除法轉化為乘法，然后約分、化簡，再通分化簡，把已知變形為x2【詳解】解：3x?3=3===x?1?x=?1∵x2∴x∴原式=?1【變式6-2】（2023下·浙江寧波·八年級校考期末）若abc=1，a+b+c=2，a2+b2【答案】?【分析】首先求出ab+ac+bc=12，將原代數式的分母變形為【詳解】解：∵a+b+c=2，∴a∵a∴ab+bc+ac=1∵a+b+c=2，∴c?1=1?a?b，∴ab+c?1=ab+1?a?b=a?1同理可得：bc+a?1=b?1c?1，∴原式======?2故答案為：?2【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是根據已知條件的結構特點，靈活運用有關公式將所給的代數式恒等變形，準確化簡，對綜合的分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求．【變式6-3】（2023·全國·八年級假期作業）已知正實數x，y，z滿足：xy+yz+zx≠1，且(x2?1)(y2【答案】1【分析】先把(x2?1)(y2?1)xy+(y2?1)(z2?1)yz+(z2?1)(x2?1)zx=4去分母、移項，根據因式分解法變形為[xyz﹣（x+y【詳解】解：∵(x∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，整理，得xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0．∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）=0，∴xyz=x+y+z，∴1yz即1xy故答案為：1．【點睛】本題考查了分式化簡求值，熟練掌握因式分解的方法是解題關鍵．【題型7分式加減的應用】【例7】（2023上·湖北武漢·八年級統考期末）如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為m米m>1的正方形去掉一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為m?1米的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了n千克．設“豐收1號”小麥和“豐收2號”小麥的單位面積產量分別為P千克/米2和Q千克/米2．下列說法：①P>Q；②P=Q；③P<Q；④P是Q的m?1m+1倍．其中正確的個數有（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】分別表示出P=nm2?1，Q=n【詳解】解：由題意可得：P=nm2∵P?Q====?2n∵n>0，∴?2nm+1m?12∵P==故③④正確，共2個，故選B．【點睛】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確分式混合運算的計算方法．【變式7-1】（2023下·四川遂寧·八年級統考期末）一輛貨車送貨上山，并按原路下山．上山速度為a千米/小時，下山速度為b千米/小時，則貨車上、下山的平均速度為（

）A．a+b2 B．ab2 C．a+b2ab【答案】D【分析】平均速度=總路程÷總時間，設單程的路程為x，表示出上山下山的總時間，把相關數值代入化簡即可；【詳解】設上山的路程為x千米則上山的時間xa小時，下山的時間為x則上、下山的平均速度2xx故選：D【點睛】本題考查了列代數式，得到平均速度的等量關系是解決本題的關鍵，得到總時間的代數式是解決本題的突破點．【變式7-2】（2023下·江蘇揚州·八年級統考期中）數學來源于生活，生活中處處有數學，用我們平時喝的糖水做“糖水實驗”也能驗證發現一些數學結論．現有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，則糖水的濃度（即糖的質量與糖水的質量比）為ba(1)糖水實驗一：加入m克水，則糖水的濃度為_____________．生活經驗告訴我們，糖水加水后會變淡，由此可以寫出一個不等式_____________，我們趣稱為“糖水不等式”．(2)糖水實驗二：將“糖水實驗一”中的“加入m克水”改為“加入m克糖”，則糖水的濃度為____________．根據生活經驗，請你寫出一個新的“糖水不等式”____________．(3)請結合（2）探究得到的結論嘗試證明：設a、b、c為△ABC三邊的長，求證：ca+b【答案】(1)b(2)b+m(3)見解析【分析】（1）根據題意寫出新的分式和不等式即可；（2）加入m克糖后，分子分母都變化，此時需要證明不等式的正確性，利用做差法即可；（3）利用（2）的結論來證明即可．【詳解】（1）解：由題意得，加入m克水，糖水為a+m克，∴糖水的濃度為ba+m∵糖水加水后會變淡，即糖水的濃度變小，∴ba+m故答案為：ba+m；b（2）解：由題意得，加入m克糖，糖水為a+m克，糖為b+m克，∴糖水的濃度為b+ma+m假設新的“糖水不等式”為baba?b+m∴b?a<0,a+m>0，∴m(b?a)a(a+m)<0，即故答案為：b+ma+m；b+m（3）證明：由（2）可知c+c∴∴∵∴c【點睛】本題考查了分式的混合運算，掌握分式的混合運算法則和不等式的性質是解題的關鍵．【變式7-3】（2023上·福建廈門·八年級統考期末）某海灣城市有A，B兩個港口、有兩條航線能夠連接A，B兩個港口，兩條航線的路程都是150km，已知貨輪在靜水中的最大航速為vv>5(1)若該貨輪在水流速度為5km/h的航線上航行，用含v的式子表示貨輪順流航行和逆流航行的最大速度；(2)航運公司計劃用該貨輪將一批貨物以最大航速從A港送往B港，再從B港返回A港．根據海流預報：航線1位于外灣，受潮汐影響，水流速度為5km/h，且從A港到B港為順流航行；航線2位于內灣，水流速度忽略不計．為了使送貨的往返的總時間更短，請通過計算說明航運公司應當選擇哪一條航線．【答案】(1)順流航行的最大速度為v+5km/h(2)航運公司應當選擇航線2．【分析】（1）根據v順=v（2）航線1：從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行，得到t總=300vv+5v?5；航線2：從A港到B港和從B港返回A【詳解】（1）解：∵貨輪在靜水中的最大航速為vv>5∴水流速度為5km/h，∴順流航行的最大速度為v+5km逆流航行的最大速度為v?5km（2）解：航線1：從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行，依題意得t總航線2：從A港到B港和從B港返回A港的速度相同，同為v，依題意得t總t總∴t總∴航運公司應當選擇航線2．【點睛】本題考查了分式加減的應用、列代數式，要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列式再求解，解題關鍵是理解順水航行速度和逆水航行速度．【題型8分式運算的規律探究】【例8】（2023上·遼寧大連·八年級期末）觀察下列式子：11?3+55?3=2，4按照上面式子的規律，完成下列問題：(1)再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規律的式子：①，②；(2)設第一個數為x，則這個規律可用字母x表示為x()(3)驗證這個規律．【答案】(1)?1?1?3+7(2)x-3，6-x，6-x-3(3)見解析【分析】（1）根據所給式子，寫出符合條件的即可；（2）第一個數為x，第一個數的分母為x-3，第二個數的分子為6-x,分母為6-x-3，由此可得結論；（3）利用分式的運算方法驗證即可．【詳解】（1）①?1?1?3②1010?3故答案為：?1?1?3+7（2）通過觀察可得規律：xx?3故答案為：x-3，6-x，6-x-3；（3）x====2，∴xx?3【點睛】本題考查數字的變化規律以及分式的加減運算，通過觀察式子的特點，找到各式子分子、分母之間的聯系是解題的關鍵．【變式8-1】（2023·安徽·校聯考三模）觀察以下等式：第1個等式：23第2個等式：44第3個等式：65第4個等式：86第5個等式：107按照以上規律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：___________；(2)寫出你猜想的第n個等式：__________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)12(2)2n(n+2)【分析】（1）根據題目中前5個等式，可以發現式子的變化特點，從而可以寫出第6個等式；（2）把上面發現的規律用字母n表示出來，并運用分式的混合運算法則計算等號的右邊的值，進而得到左右相等便可．【詳解】（1）解：128（2）解：2n(n+2)左邊=2n∴等式成立．【點睛】本題考查數字的變化類，明確題意，發現式子的變化特點，寫出相應的等式，并證明猜想的正確性是解答本題的關鍵．【變式8-2】（2023下·湖南永州·八年級校考期中）閱讀理解：閱讀下列過程因為2×21=4，因為3×32=9因為4×43=16因為5×54=25…………………．．(1)根據上面規律填空，8×8(2)根據你觀察的特點，用含n的公式表示上面的規律為______________(3)證明你得到的公式是否正確．【答案】(1)8+(2)(n+1)×(3)見詳解【分析】（1）由已知算式的規律直接把乘改為加即可；（2）利用以上規律得出答案即可；（3）利用分式的運算方法得出答案即可．【詳解】（1）解：8×8（2）解：(n+1)×n+1（3）證明：∵左邊=(n+1)2n∴左邊=右邊，∴(n+1)×n+1【點睛】此題考查數字的變化規律，找出數字之間的運算規律，利用規律解決問題．【變式8-3】（2023·安徽合肥·統考三模）觀察以下等式：第1個等式：12第2－個等式：12第3個等式：12第4個等式：12……按照以上規律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：__________________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)1(2)12【分析】（1）根據前4個等式得出第五個等式即可；（2）通過觀察減號后面的數字規律，再結合每個式子找到規律，最后寫出即可．【詳解】（1）解：1（2）1左邊=右邊=∴左邊=右邊．【點睛】本題主要考查數字類變化規律，仔細觀察每個式子中對應位置的數字，并找到相關系數關系是解題的關鍵．【題型9分式中的新定義問題】【例9】（2023下·江蘇揚州·八年級統考期末）定義：若分式A與分式B的差等于它們的積，即A?B=AB，則稱分式B是分式A“友好分式”．如1x+1與1x+2，因為1x+1所以1x+2是1(1)分式22y+5______2(2)小明在求分式1x設1x2+y2∴1x∴N=1請你仿照小明的方法求分式xx?3(3)①觀察（1）（2）的結果，尋找規律，直接寫出分式bax+b②若n+2mx+m2+n是【答案】(1)是(2)x(3)①bax+2b；②【分析】（1）根據友好分式的定義進行判斷；（2）仿照題目中給到的方法進行求解；（3）①根據（1）（2）找規律求解；②由①推出的結論，類比形式求解即可.【詳解】（1）解：∵22y+3?∴22y+3與2故答案為：是（2）解：設xx?3的“關聯分式”為N，則x∴xx?3∴N=x（3）解：①設bax+b的“關聯分式”為N，則b∴bax+b∴N=b規律是：將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”.故答案為：bax+2b②將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”.據此可得n+2=m?1mx+整理得m?n=3∴m+n=m故答案為：2【點睛】本題是創新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運算是解決本題的關鍵.【變式9-1】（2023下·浙江湖州·八年級校考期末）新定義：若兩個分式A與B的差為n（n為正整數），則稱A是B的“n分式”．例如：xx?1?1x?1=1，則稱分式xx?1是分式1A．4x+3x+2是x?3x+2的“3B．若a的值為?3，則12+x3+2x是ax+63+2x的“2C．若2aba2?4b2是D．若a與b互為倒數，則5aa+b2是?5ba【答案】C【分析】根據新定義運算逐個驗證正確與否即可．【詳解】A、4x+3x+2B、12+x3+2xC、由已知條件得：2aba2?4D、由已知得：ab=1，5aa+故選：C．【點睛】本題考查了新定義運算，解題的關鍵是正確運用新定義的運算規則．【變式9-2】（2023下·浙江紹興·八年級統考期末）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱分式N是分式M的“互聯分式”．如1x+1與1x+2，因為1x+1?1x+2=(1)判斷分式3x+2與分式3(2)小紅在求分式1x設1x2+y2∴1x2請你仿照小紅的方法求分式x+2x+5(3)解決問題：仔細觀察第（1）（2）小題的規律，請直接寫出實數a，b的值，使4a?2bx+b是4b+2【答案】(1)是，理由見解析；(2)x+2(3)a=14【分析】（1）根據關聯分式的定義進行判斷；（2）仿照題目中給到的方法進行求解；（3）仿照題目中給到的方法進行求解．【詳解】（1）分式3x+2與分式3∵3x+2?3∴分式3x+2是分式3（2）解：設x+2x+5的“互聯分式”為N，則x+2∴x+2x+5∴N=x+2（3）解：由（1）（2）可得，yx的“互聯分式”是y∵4a?2bx+b是4b+2∴4b+2=4a?2bx+b=bx+a+4b+2整理得a?b=1解得a=1【點睛】本題考查了分式的混合運算，分式有意義的條件，理解新定義是解題的關鍵．【變式9-3】（2023下·江蘇南京·八年級南京五十中校聯考期中）定義：若兩個分式A與B滿足：A?B=3，則稱A與B(1)下列三組分式：①1a+1與4a+1；②4aa+1與a?3a+1；③a2a?1(2)求分式a2a+1(3)若分式4a2a2?b2與aa+b互為“美妙分式”，且【答案】(1)②③(2)7a+32a+1或(3)?173【分析】（1）根據給出的“美妙分式”定義把每一組的分式相減求絕對值看結果來判斷；（2）根據給出的“美妙分式”定義求分式a2a+1（3）根據分式4a2a2?b2與aa+b互為“美妙分式”，得到【詳解】（1）解：①1a+1②4aa+1③a2a?1故答案為：②③；（2）設分式a2a+1的“美妙分式”為A則A?a∴A?a2a+1=3①當A?aA=a②當A?aA=a綜上：分式a2a+1的“美妙分式”為7a+32a+1或（3）∵4a2∴4∵4∴3a2∴3a2+ab=3∵a、b均為不等于0的實數，∴①a=?3b，②ab=3b把①代入2a把②代入2a綜上：分式2a2?b2【點睛】本題考查了分式的加減法和實數的性質，絕對值的意義，熟練掌握分式加減法的法則，對新定義的理解是解題關鍵．【題型10分式中的閱讀理解類問題】【例10】（2023下·江蘇徐州·八年級統考期中）【閱讀】在處理分式問題時，由于分子的次數不低于分母的次數，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以將分式拆分成一個整式與一個分式的和（差）的形式，通過對簡單式子的分析來解決問題，我們稱之為分離整式法．例：將分式x2解：設x+2=t，則x=t?2．原式=∴x2這樣，分式x2?3x?1x+2就拆分成一個整式(x?5)【應用】(1)使用分離整式法將分式2x+4x+1(2)將分式x2【拓展】(3)已知分式x2?x+7x?3【答案】(1)2+(2)x?1+(3)4或2或16【分析】（1）根據題意將2x+4x+1（2）設x?1=t，則x=t+1，根據例題將分式轉化為一個整式和一個分式的和的形式；（3）設x