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文檔簡介

安徽省合肥市第三十五中學2024年高三第一次高考模擬試卷數學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.新聞出版業不斷推進供給側結構性改革,深入推動優化升級和融合發展,持續提高優質出口產品供給,實現了行業的良性發展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業和數字出版業營收增長情況,則下列說法錯誤的是()A.2012年至2016年我國新聞出版業和數字出版業營收均逐年增加B.2016年我國數字出版業營收超過2012年我國數字出版業營收的2倍C.2016年我國新聞出版業營收超過2012年我國新聞出版業營收的1.5倍D.2016年我國數字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一2.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,P是雙曲線E上的一點,且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點M,且M為的中點,則雙曲線E的漸近線方程為()A. B. C. D.3.以下三個命題:①在勻速傳遞的產品生產流水線上,質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測,這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個變量的線性相關性越強,則相關系數的絕對值越接近于1;③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說,越小,判斷“與有關系”的把握越大;其中真命題的個數為()A.3 B.2 C.1 D.04.設橢圓:的右頂點為A,右焦點為F,B、C為橢圓上關于原點對稱的兩點,直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點,則橢圓E的離心率是()A. B. C. D.5.若2m>2n>1,則()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.6.《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數的序列:列出“全步”(整數部分)及諸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去約其分子,將所得能通分之分數進行通分約簡,又用最下面的分母去遍乘諸(未通者)分子和以通之數,逐個照此同樣方法,直至全部為整數,例如:及時,如圖:記為每個序列中最后一列數之和,則為()A.147 B.294 C.882 D.17647.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點F的坐標為(c,0),點A是第一象限內雙曲線漸近線上的一點,O為坐標原點,滿足|OA|=A.2 B.2 C.2338.已知復數滿足,則的最大值為()A. B. C. D.69.設是虛數單位,則()A. B. C. D.10.若P是的充分不必要條件,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11.已知函數,,若對任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.12.設i為數單位,為z的共軛復數,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為__________.14.我國著名的數學家秦九韶在《數書九章》提出了“三斜求積術”.他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相減后余數的一半,自乘而得一個數,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個數,相減后余數被4除,所得的數作為“實”,1作為“隅”,開平方后即得面積.所謂“實”、“隅”指的是在方程中,p為“隅”,q為“實”.即若的大斜、中斜、小斜分別為a,b,c,則.已知點D是邊AB上一點,,,,,則的面積為________.15.等邊的邊長為2,則在方向上的投影為________.16.已知關于的方程在區間上恰有兩個解,則實數的取值范圍是________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數,.(1)求的值;(2)令在上最小值為,證明:.18.(12分)選修4-5:不等式選講設函數f(x)=|x-a|,a<0.(1)證明:f(x)+f(-1(2)若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空,求19.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.20.(12分)在直角坐標系中,點的坐標為,直線的參數方程為(為參數,為常數,且).以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相等的長度單位,建立極坐標系,圓的極坐標方程為.設點在圓外.(1)求的取值范圍.(2)設直線與圓相交于兩點,若,求的值.21.(12分)某中學準備組建“文科”興趣特長社團,由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績(單位:分)進行統計,將數據按照,,,,分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為“文科方向”學生,低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計(1)根據已知條件完成下面列聯表,并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關?(2)將頻率視為概率,現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數為,若每次抽取的結果是相互獨立的,求的分布列、期望和方差.參考公式:,其中.參考臨界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)已知(1)若,且函數在區間上單調遞增,求實數a的范圍;(2)若函數有兩個極值點,且存在滿足,令函數,試判斷零點的個數并證明.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

通過圖表所給數據,逐個選項驗證.【詳解】根據圖示數據可知選項A正確;對于選項B:,正確;對于選項C:,故C不正確;對于選項D:,正確.選C.【點睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數據分析,題目較為簡單.2、C【解析】

由雙曲線定義得,,OM是的中位線,可得,在中,利用余弦定理即可建立關系,從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據題意,點P一定在左支上.由及,得,,再結合M為的中點,得,又因為OM是的中位線,又,且,從而直線與雙曲線的左支只有一個交點.在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,則漸近線方程為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線漸近線方程,涉及到雙曲線的定義、焦點三角形等知識,是一道中檔題.3、C【解析】

根據抽樣方式的特征,可判斷①;根據相關系數的性質,可判斷②;根據獨立性檢驗的方法和步驟,可判斷③.【詳解】①根據抽樣是間隔相同,且樣本間無明顯差異,故①應是系統抽樣,即①為假命題;②兩個隨機變量相關性越強,則相關系數的絕對值越接近于1;兩個隨機變量相關性越弱,則相關系數的絕對值越接近于0;故②為真命題;③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說,越小,“與有關系”的把握程度越小,故③為假命題.故選:.【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關系數、獨立性檢驗等知識點,屬于基礎題.4、C【解析】

連接,為的中位線,從而,且,進而,由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,連接,橢圓:的右頂點為A,右焦點為F,B、C為橢圓上關于原點對稱的兩點,不妨設B在第二象限,直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點為的中位線,,且,,解得橢圓的離心率.故選:C【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質,考查了運算求解能力,屬于基礎題.5、B【解析】

根據指數函數的單調性,結合特殊值進行辨析.【詳解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正確;而當m,n時,檢驗可得,A、C、D都不正確,故選:B.【點睛】此題考查根據指數冪的大小關系判斷參數的大小,根據參數的大小判定指數冪或對數的大小關系,需要熟練掌握指數函數和對數函數的性質,結合特值法得出選項.6、A【解析】

根據題目所給的步驟進行計算,由此求得的值.【詳解】依題意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選:A【點睛】本小題主要考查合情推理,考查中國古代數學文化,屬于基礎題.7、C【解析】

計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故選:C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.8、B【解析】

設,,利用復數幾何意義計算.【詳解】設,由已知,,所以點在單位圓上,而,表示點到的距離,故.故選:B.【點睛】本題考查求復數模的最大值,其實本題可以利用不等式來解決.9、A【解析】

利用復數的乘法運算可求得結果.【詳解】由復數的乘法法則得.故選:A.【點睛】本題考查復數的乘法運算,考查計算能力,屬于基礎題.10、B【解析】

試題分析:通過逆否命題的同真同假,結合充要條件的判斷方法判定即可.由p是的充分不必要條件知“若p則”為真,“若則p”為假,根據互為逆否命題的等價性知,“若q則”為真,“若則q”為假,故選B.考點:邏輯命題11、C【解析】

對任意的總有恒成立,因為,對恒成立,可得,令,可得,結合已知,即可求得答案.【詳解】對任意的總有恒成立,對恒成立,令,可得令,得當,當,,故令,得當時,當,當時,故選:C.【點睛】本題主要考查了根據不等式恒成立求最值問題,解題關鍵是掌握不等式恒成立的解法和導數求函數單調性的解法,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.12、A【解析】

由復數的除法求出,然后計算.【詳解】,∴.故選:A.【點睛】本題考查復數的乘除法運算,考查共軛復數的概念,掌握復數的運算法則是解題關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:根據題意,記白球為A,紅球為B,黃球為,則一次取出2只球,基本事件為、、、、、共6種,其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種;所以所求的概率是.考點:古典概型概率14、.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術”公式即可求得答案.【詳解】,所以,由余弦定理可知,得.根據“三斜求積術”可得,所以.【點睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數的基本關系式,余弦定理的應用,考查學生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.15、【解析】

建立直角坐標系,結合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系,由題意可知:,,,則:,,且,,據此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數量積的坐標運算,向量投影的定義與計算等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.16、【解析】

先換元,令,將原方程轉化為,利用參變分離法轉化為研究兩函數的圖像交點,觀察圖像,即可求出.【詳解】因為關于的方程在區間上恰有兩個解,令,所以方程在上只有一解,即有,直線與在的圖像有一個交點,由圖可知,實數的取值范圍是,但是當時,還有一個根,所以此時共有3個根.綜上實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查學生運用轉化與化歸思想的能力,方程有解問題轉化成兩函數的圖像有交點問題,是常見的轉化方式.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】

(1)將轉化為對任意恒成立,令,故只需,即可求出的值;(2)由(1)知,可得,令,可證,使得,從而可確定在上單調遞減,在上單調遞增,進而可得,即,即可證出.【詳解】函數的定義域為,因為對任意恒成立,即對任意恒成立,令,則,當時,,故在上單調遞增,又,所以當時,,不符合題意;當時,令得,當時,;當時,,所以在上單調遞增,在上單調遞減,所以,所以要使在時恒成立,則只需,即,令,,所以,當時,;當時,,所以在單調遞減,在上單調遞增,所以,即,又,所以,故滿足條件的的值只有(2)由(1)知,所以,令,則,當,時,即在上單調遞增;又,,所以,使得,當時,;當時,,即在上單調遞減,在上單調遞增,且所以,即,所以,即.【點睛】本題主要考查利用導數法求函數的最值及恒成立問題處理方法,第(2)問通過最值問題深化對函數的單調性的考查,同時考查轉化與化歸的思想,屬于中檔題.18、(1)見解析.(1)(-1,0).【解析】試題分析:(1)直接計算f(x)+f(-1(1)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,分區間討論去絕對值符號分別解不等式即可.試題解析:(1)證明:函數f(x)=|x﹣a|,a<2,則f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥1=1.(1)f(x)+f(1x)=|x﹣a|+|1x﹣a|,a<2.當x≤a時,f(x)=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x,則f(x)≥﹣a;當a<x<時,f(x)=x﹣a+a﹣1x=﹣x,則﹣<f(x)<﹣a;當x時,f(x)=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a,則f(x)≥﹣.則f(x)的值域為[﹣,+∞).不等式f(x)+f(1x)<的解集非空,即為>﹣,解得,a>﹣1,由于a<2,則a的取值范圍是(-1,0).考點:1.含絕對值不等式的證明與解法.1.基本不等式.19、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用平行四邊形的方法,證明平面.(2)通過證明平面,由此證得.【詳解】(1)設是中點,連接,由于是中點,所以且,而且,所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)連接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四邊形是矩形且,所以四邊形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】

(1)首先將曲線化為直角坐標方程,由點在圓外,則解得即可;(2)將直線的參數方程代入圓的普通方程,設、對應的參數分別為,列出韋達定理,由及在圓的上方,得,即即可解得;【詳解】解:(1)曲線的直角坐標方程為.由點在圓外,得點的坐標為,結合,解得.故的取值范圍是.(2)由直線的參數方程,得直線過點,傾斜角為,將直線的參數方程代入,并整理得,其中.設、對應的參數分別為,則,.由及在圓的上方,得,即,代入①,得,,消去,得,結合,解得.故的值是.【點睛】本題考查極坐標方程化為直角坐標方程,直線的參數方程的幾何意義的應用,屬于中檔題.21、(1)列聯表見解析,有;(2)分布列見解析,,

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