解直角三角形及其應用（第3課時）人教版九年級數學下冊解直角三角形的依據有哪些？（1）三邊之間的關系：a2＋b2＝c2（勾股定理）．（2）兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°．（3）邊角之間的關系：，，．ACBabc如圖所示，某探險者某天到達點A

處時，所在地的海拔為0

m，他準備估算出自己與海拔為3

500

m

的山峰頂點B

處之間的水平距離．他能想出一個可行的辦法嗎？ABC如圖，BC＝3

500

m，如果測量出此時他看向點B

的視線AB

與水平線AC的夾角（∠A）的度數，根據即可求出他與山峰頂點B

處之間的水平距離AC．觀察物體時，我們的視線相對于水平線來說有幾種情況？眼睛視線水平線視線三種：重疊、向上和向下．在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方時，視線與水平線所成的角叫做仰角；視線在水平線下方時，視線與水平線所成的角叫做俯角．仰角俯角例1

2012

年6

月18

日，“神州”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現交會對接．“神州”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343

km

的圓形軌道上運行，如圖，當組合體運行到地球表面P

點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與

P

點的距離是多少？（地球半徑約為6

400

km，π

取3.142，結果取整數．）求的長，要先求α

的度數FQ

是☉O

的切線，∠FQO

為直角分析：最遠點解此題時，需要綜合利用圓和解直角三角形的知識．解：設∠POQ＝α，在圖中，FQ是☉O

的切線，△FOQ

是直角三角形．∵，∴α≈18.36°．∴的長為（km）．由此可知，當組合體在P

點正上方時，從中觀測地球表面時的最遠點距離

P

點約2

051

km．利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟（1）將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）；（2）根據問題中的條件，選用合適的銳角三角函數解直角三角形；（3）得到數學問題的答案；（4）得到實際問題的答案．例2熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120

m，這棟樓有多高（結果取整數）？分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角．因此，在圖中，α＝30°，β＝60°．

在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出CD，進而求出BC．解：如圖，α＝30°，β＝60°，AD＝120．∵

，

．∴BD＝AD·tanα＝120×tan

30°＝120×＝，CD＝AD·tanβ＝120×tan

60°＝120×＝

．∴BC＝BD＋CD＝＋

＝≈277（m）．因此，這棟樓高約為277

m．求解有關仰角與俯角的問題，關鍵是根據仰角、俯角的定義畫出水平線，找準視角，建立數學模型后構造直角三角形，并結合圖形利用銳角三角函數解直角三角形．例3如圖（示意圖），小明想測量塔AB

的高度．他在D

處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50

m

至C

處，測得仰角為60°，已知小明的身高為1.5

m，那么該塔有多高（結果取整數）？解：如圖，∠AD′B′＝30°，∠AC′B′＝60°，CD＝50

m，∴∠D′AB′＝60°，∠C′AB′＝30°，C′D′＝50

m．設AB′＝x

m，∵tan∠D′AB′＝

，tan∠C′AB′＝

．D′AB′BDC′C∴D′B′＝x·tan

60°，C′B′＝x·tan

30°，又∵D′B′－C′B′＝D′C′，∴x·tan

60°－x·tan

30°＝50，∴，即AB′＝43.3

m．由題意知，DD′＝BB′＝1.5

m，∴AB＝AB′＋BB′＝43.3＋1.5＝44.8≈