專練33高考大題專練(三)數列的綜合運用

1.[2024?全國甲卷(理)]記S.為數列｛詼｝的前w項和，且4s,=3詼+4.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)設，=(—I)"'。",求數列｛父｝的前n項和Tn.

解析：(1)因為4S”=3a〃+4,所以4s〃+i=3a”+i+4,兩式相減得4a〃+i=3a〃+i—3a〃，即a”+i=-3a〃.

又因為4si=3m+4,所以m=4,故數列｛斯｝是首項為4,公比為一3的等比數列.

所以斯=4(—3)「i.

(2)方法一由⑴及題意得，-=(—1廣1〃斯=4〃-3"-1,所以。=4(1?3°+27+3―32+…+”3E)，

1—3"

37；=4(1-31+2-32+3-334-------兩式相減可得一2〃=4(1+3i+3?H----卜3"七一〃-3")=4(^y—

"?3”)=(2—4〃)3"—2,

所以7；=(2n-l)3"+l.

方法二由(1)及題意得小=(-1)"-%。"=4〃3廠1,所以當"22時，。=〃-1+4止3"-1,兩邊同時減去(2”

—1)3",得口一(2〃-1)3"=T“T—(2〃-3)3"3,故｛》一(2〃-1)3Q為常數列*

所以〃一(2w—l)3"=Ti—(2Xl—l).3=l,所以T“=(2w—1)3〃+1,.當w=l時，/=4=4,滿足

上式，所以〃=(2"—1)3"+1.

2.設等差數列｛斯｝的公差為d,且d>l.令d=~^,記S”7“分別為數列｛?,｝,2“｝的前”項和.

(1)若3a2=3.+的,S3+73=21,求｛斯｝的通項公式；

(2)若｛為｝為等差數列，且S99—799=99,求d.

解析：⑴因為3〃2=3。1+的,所以3(〃2—。1)=。1+24,

所以3d=m+2d,所以〃i=d,所以斯=〃].

e,n2+nn2+nn~\-1

因為bn=~^r'所以bn=~^~=~r-

—3(的+的)3(d+3d),?2.3,49

所以S3=2=—2—=6d,73=%+歷+優=行+z+行=r

因為8+73=21,

91

所以6d+/=21,解得d=3或d=],

因為d>l,所以d=3.

所以｛斯｝的通項公式為%=3n.

(2)因為兒=2三,且｛兒｝為等差數列，

所以262=61+63,即2義，=.+.,

〃2〃3

所以m+d=ax+2d)所以帚-3aM+2/=0,

解得ai=d或=2d.

?2+nH2+H〃+1

①當41=d時，a=nd,所以兒=

nnd~~d~

an

99(。1+。99)99(d+99d)

S99—2-----2-----=99X501,

99亭%99X51

99(Z?i+/?99)

T99—22—d

因為599-799=99,

99X51

所以99X50Q——2—=99,

即50/—d—51=0,

解得d=|^或d=—1（舍去）.

n2+?_n

②當〃i=2d時，an=(n+l)d9所以為=

an(n+1)dd'

99(〃l+〃99)99(2d+100d)

=99X51d,

899=n2

99出十為9)"()+萬)99X50

%>=2=2=F-

因為S99—799—99,

“、)99X50

所以99X51d——z—=99,

即51^-J-50=0,

解得d=一瑞(舍去)或d=l(舍去).

綜上，d=|^.

［斯+1，”為奇數，

3.已知數列｛斯｝滿足m=1,an+i=\I—斗/用火

〔斯+2,”為偶數.

⑴記仇=如，寫出"，歷，并求數列｛仇｝的通項公式；

（2）求｛斯｝的前20項和.

解析：（1）由題設可得匕1=。2=。1+1=2,岳=。4=俏+1=。2+2+1=5

又。2）1+2=。2k+1+1,。2左+1=。2左+2,（々GN*）

故。2/+2="2*+3,即b"+i=b”+3,即6"+i—3=3

所以｛60｝為等差數列，故6"=2+（〃-1）X3=3w—1.

(2)設｛〃〃｝的前20項和為S20,則S20=〃l+〃2+〃3+…+。20,

因為〃1=〃2—1,〃3=。4—1,…，〃19=。20-1,

所以S20=2(〃2+〃4H--------F〃18+〃20)—10

=2(加+歷+…+69+610)—10

(I9X101

=2X110X2+^—X3J-10=300.

4.[2022?新高考I卷]記a為數列｛斯｝的前，項和，已知勾=1,是公差為g的等差數歹U.

⑴求｛斯｝的通項公式；

(2)證明：—+~H----------1~工<2.

''a\。2an

解析：(l)*.*ai=l,=1.

又：榭是公差為3的等差數列,

?SnS\,1

??一=一十孑(

斯Ql3'n—1),

121

即s〃=q)斯=](幾+2)?！?，

當時，S〃—i=g(九+1)斯—1,

??斯=S〃S九-i=g(幾+2)斯,(幾+1)?！ā?,〃22,即(幾一1)&=(〃+1)斯—],〃22,

飆n+1

,心2,

〃八一1n~1

aa-\的。2■+143n(n+1)n(〃+l)

???當2時,---n.---n-.???.—.—Q〃=2

〃12T=2-

an-\an-i2n~1n~2

n(〃+1)

當n=l時，a\=l滿足上式，.\a

n2

、-I1,幾(n+1)

(2)證明：由(1)知斯=2?

?1—=2(』一,)，

Clnn(〃+1)H〃+1

+~~\------=2(1-]+]—7H-------------^7)=2(1—).

v

a\a2an223nn+1n+1

?.,〃￡N*,???0V=7W、,「.I一一7<1,

n-r12n-r1

2(1—-77)<2,+~T-------1--<2.

〃

'n+1a\2an

5.[2023?全國甲卷（理）]記與為數列｛斯｝的前〃項和，已知〃2=1，2Sn=nan.

⑴求｛斯｝的通項公式;

(2)求數歹U｛羅｝的前〃項和Tn.

解析：(1)當〃=1時，2si=ai,即2ai=ai,所以的=0.

當時，由2sH=na〃,得2S〃—1=(〃一1)an-\?

兩式相減得2an—nan—(n—1)tzn-1,

即(九一1)斯—i=(〃-2)an，

當〃=2時，可得〃i=0,

故當心3時，巫=二，則①?—?…?竽A

an-in-2'、an-\an-i"2n—2n-3

整理得廣=九一1,因為〃2=1,所以斯=〃一1(〃23).

0-2

當〃=1,〃=2時，均滿足上式，所以詼=〃一1.

(2)方法一令為二等1=生,

12H—1YI

則Tn=bi+b2-\-----\-bn-l+bn=2+分----卜2G+師①，

由①一②得；Tn=2+今+*T----卜、n2

=

即Tn2-2(

方法二設瓦=

所以打=等1=號=(2〃+0/g

故4=],b=0,q=/.

故人=亡=至=一1'

=—2,C=—B=2.

小〃2+n

故G=(A〃+8)q"+C=(一〃一2)團+2,整理得Tn=2~—.

21

6.記a為數列｛出｝的前見項和，瓦為數列⑸｝的前〃項積，已知2+=2.

°n

(1)證明：數列仍“｝是等差數列；

(2)求｛斯｝的通項公式.

解析：(1)因為兒是數列｛8｝的前〃項積,

h

所以〃22時，S〃=U,

bn-l

212bLi

代入不+v~=2可得,+b=2,

bnn

整理可得2bn-l+l=2bn,即bn—bn-i=^(〃22).

2133

又而+而=5=2,所以加=],

故電｝是以3當為首項，\1為公差的等差數列.

⑵由⑴可知,兒=<,則]+熹=2,所以斗=鬻,

3

當n—1時，ai=Si=2，

〃、,〃+2〃+11

當"12時'an=Sn-Sn-1=-^=~n(；1+1)

心，"=1

故""=j]>?-

In(w+1)-2

an—6,〃為奇數

7.[2023?新課標H卷]已知｛%｝為等差數列，b=c在佃翔?記5"，T"分別為數列｛斯｝，｛d｝的前

n2斯，〃為偶數

”項和，S4=32,73=16.

(1)求｛如｝的通項公式；

(2)證明：當〃>5時，Tn>S?.

解析：(1)設等差數列｛斯｝的公差為d

、fa—6,w為奇數

因為d=[n,〃為偶數，

所以仇=〃1—6,岳=2。2=2〃1+2",/?3=的—6=〃i+2d—6.

因為S4=32,A=16,

4〃i+6d=32

所以

(ai—6)+(2〃i+2d)+(。1+2d—6)=16

得I12防-+3d7=16=5

整理,,解得

d=2

所以｛?！ǎ耐椆綖?。〃=2幾+3.

(2)由(1)知〃〃=2幾+3,

底5+(2〃+3)]

所以S—=層+4〃.

n2

當〃為奇數時，

4=(—l+14)+(3+22)+(7+30)H——4(2九一7)+(4幾+2)]+2九一3=[—l+3+7H——F(2H-7)+(2H-

n-\-1n—1

2(-1+2H-3)亍(14+4n+2)3層+5〃-10

〃

3)]+[14+22+30H——F(4+2)]=------2+2—2

3層+5幾一10層一3九一10(〃一5)(〃+2)

當〃時，T~S=一("+4〃)=

>5nn22----------9------------>0,

所以Tn>S〃.

當n為偶數時，7；=(—1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2〃-5)+(4〃+6)]=[—l+3+7H——H(2H-5)]

nn

2(—1+2〃-5)2(14+4〃+6)3/+7〃

+[14+22+30+,,?+(4n+6)]=.

3n2ltl

當心5時，Tn-Sn=^一(層+4〃)=^^二