第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省菏澤市成武縣伯樂高級中學高二（上）開學數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若向量a=(2,5)，b=(1?x,2+x)，a⊥b，則A.17 B.?17 C.42.在△ABC中，AB=6,sinB=33,C=120°，則A.8 B.12 C.16 D.43.設z=i2+i，則z的虛部是A.1 B.i C.?1 D.?i4.交通錐，又稱錐形交通路標，如圖1，常用于進行工程、發生事故時提醒行人或車輛，以保證安全.某數學課外興趣小組對一個去掉底座的圓錐形交通錐筒進行研究，發現將其放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上繞其頂點S滾動，當其首次轉回原位置時，交通錐筒恰好滾動了3周.若交通錐筒近似看成無底的圓錐，將地面近似看成平面，該圓錐的母線長為6cm，則該圓錐的體積為(

)A.12πcm3 B.16πcm3 C.5.已知三條不同的直線l，m，n和兩個不同的平面α，β，下列四個命題中正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若l//α，m?α，則l//m

C.若α⊥β，l?α，則l⊥β D.若l//α，l⊥β，則α⊥β6.某射擊運動員射擊5次的成績如下表：第1次第2次第3次第4次第5次9環9環10環8環9環下列結論正確的是(

)A.該射擊運動員5次射擊的平均環數為9.2 B.該射擊運動員5次射擊的平均環數為9.5

C.該射擊運動員5次射擊的環數的方差為1 D.該射擊運動員5次射擊的環數的方差為27.拋擲一枚質地均勻的硬幣n次，記事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B=“n次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是(

)A.當n=2時，P(A)=12 B.當n=2時，P(B)=34

C.當n=3時，P(A)=348.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相對的側棱交于一點(該點為所在棱的中點)若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為32的正四棱柱構成，則下列說法正確的是(

)A.一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線互相垂直

B.該“十字貫穿體”的表面積是322

C.該“十字貫穿體”的體積是5623

D.一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則由下列條件能得到△ABC為鈍角三角形的是(

)A.a=9，b=10，c=14 B.a=6，b=8，C=30°

C.cosC=35，4a=3c D.cosA=10.有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到的新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi=xi+t(其中i=1，2，A.兩組樣本數據的樣本平均數相同 B.兩組樣本數據的樣本方差相同

C.兩組樣本數據的樣本中位數相同 D.兩組樣本數據的樣本極差相同11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F分別是A1D1，C1DA.AC//平面EFG

B.存在點G使得EF⊥FG

C.存在點G使得異面直線AB與EG所成的角為60°

D.三棱錐G?EFD1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一組數據如下：13，7，9，10，8，15，21，12，該組數據的75%分位數是______．13.在三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC=2，AB=1，∠ACB=π6，若該三棱錐的所有頂點均在球O的表面上，則球O的表面積為______．14.甲、乙兩隊進行答題比賽，每隊3名選手，規定兩隊的每名選手都完成一次答題為一輪比賽，每名選手答對一題得1分，答錯一題得0分.已知甲隊中每名選手答對題的概率都為12，乙隊中3名選手答對題的概率分別為23,13,14.在第一輪比賽中，甲隊得x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知圓C：(x?1)2+y2=4．

(1)若直線l經過點A(?1,3)，且與圓C相切，求直線l的方程；

(2)若圓C1：16.(本小題15分)

如圖，AE⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2，F為CE中點．

(1)求證：DF//平面EAB；

(2)求點C到平面BDE的距離．17.(本小題15分)

△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bcosC+3bsinC?a?c=0．

(1)求B；

(2)若C=π4且△ABC的面積為18.(本小題15分)

某校高一年級開設有羽毛球訓練課，期末對學生進行羽毛球五項指標(正手發高遠球、定點高遠球、吊球、殺球以及半場計時往返跑)考核，滿分100分.參加考核的學生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中t的值，并估計考核得分的第60百分位數；

(2)為了提升同學們的羽毛球技能，校方準備招聘高水平的教練.現采用分層抽樣的方法(樣本量按比例分配)，從得分在[70,90)內的學生中抽取5人，再從中挑出兩人進行試課，求兩人得分分別來自[70,80)和[80,90)的概率；

(3)現已知直方圖中考核得分在[70,80)內的平均數為75，方差為6.25，在[80,90)內的平均數為85，方差為0.5，求得分在[70,90)內的平均數和方差．19.(本小題17分)

定義：如果在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，那么稱d(A,B)=|x1?x2|+|y1?y2|為A，B兩點間的曼哈頓距離．

(1)已知A，B兩個點的坐標為A(x,2)，B(1,x)，如果它們之間的曼哈頓距離不大于5，那么x的取值范圍是多少？

(2)已知A，B兩個點的坐標為A(a,x)答案解析1.D

【解析】解：因為a=(2,5)，b=(1?x,2+x)，a⊥b，

所以a?b=2(1?x)+5(2+x)=12+3x=0，

解得x=?4．

2.D

【解析】解：在△ABC中，AB=6,sinB=33,C=120°，

由正弦定理ABsinC=ACsinB，可得632=AC33.A

【解析】解：由于z=i2+i=?1+i，所以z的虛部為1．

故選：A．

根據i4.C

【解析】解：設圓錐的底面半徑為r，

則3×2πr=2π×6，

解得r=2，

所以圓錐的高為?=62?22=42，

所以圓錐的體積為15.D

【解析】解：三條不同的直線l，m，n和兩個不同的平面α，β，

對于A，若m//α，n/?/α，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；

對于B，若l//α，m?α，則l與m平行或異面，故B錯誤；

對于C，若α⊥β，l?α，則l不一定垂直β，故C錯誤；

對于D，若l//α，l⊥β，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正確．

故選：D．6.D

【解析】解：該射擊運動員5次射擊的平均環數為9+9+10+8+95=9，

5次射擊的環數的方差s2=15[(9?9)2+(9?9)2+(9?10)27.D

【解析】解：當n=2時，A表示一正一反，故P(A)=2×12×12=12，故A正確；

B?表示兩個正面，此時P(B)=1?P(B?)=1?12×12=34，故B正確；

當n=3時，A表示既有正面朝上又有反面朝上，

故P(A)=1?P(A?)=1?2×12×12×8.C

【解析】解：依題意，不妨設該幾何體中心對稱，

對于A：在梯形BDOG中，BD=32?222=22，BG=2，OG=322，

DC=22，則OC=OD=(322?22)2+22=6，所以OC2+OD2≠DC2，

即一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線不互相垂直，A錯誤；

對于B：該“十字貫穿體”由4個正方形和16個與梯形BDOG全等的梯形組成，

故表面積S=4×2×2+16×12×(22+322)×2=322+16，B錯誤；

對于C：兩個正四棱柱的重疊部分為多面體CDGOST，取CS的中點I，

則多面體CDGOST可以分成8個全等的三棱錐C?GOI，

則S△GOI=12×2×2=2，且CI⊥平面GOI，CI=2，則VC?GOI=13×2×2=223，

則該“十字貫穿體”的體積為V=2×2×2×32?8VC?GOI=242?1623=5629.ABD

【解析】解：A中，由題意可得角C為最大值，則cosC=a2+b2?c22ab=81+100?1962×9×10=?112<0，

可得角C為鈍角，所以A正確；

B中，由題意及余弦定理可得c=a2+b2?2abcosC=36+64?2×6×8×32=100?483<b，

所以角B為最大角，

且cosB=a2+c2?b22ac=36+100?483?642×6×100?483=72?48312100?483，

因為72?483=24(3?23)<0，

所以cosB<0，即B為鈍角，

所以該三角形為鈍角三角形，故B正確；

C中，cosC=35，在△ABC10.BD

【解析】解：樣本數據x1，x2，…，xn，新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi=xi+t；

對于A，第一組數據的平均數為x?，則第二組數據的平均數為x?+t，平均數不同；

對于B，第一組數據的方差為s2，則第二組數據的方差也是s2，方差相同；

對于C，第一組數據的中位數是x，則第二組數據的中位數是x+t，中位數不同；11.ABD

【解析】解：如圖，由三角形中位線定理可得EF//A1C1，再由正方體的結構特征得A1C1//AC，則F//AC，

∵EF?平面EFG，AC?平面EFG，∴AC//平面EFG，故A正確；

設CD的中點為M，若G為BC的中點，則有AC⊥MG，AC⊥MF，

∵MG∩MF=M，∴AC⊥平面MFG，則AC⊥FG，

∵EF//AC，∴EF⊥FG，故B正確；

設正方體的棱長為2，取B1C1的中點N，連接EN，由EN/?/AB，得異面直線AB與EG所成角為∠NEG=α，

在直角三角形NEG中，tanα=NGEN<NBEN=52<3，即α<60°，故C錯誤；

由圖可知G到平面EFD1的距離為定值，則三棱錐G?EFD1的體積為定值，故D正確．

故選：12.14

【解析】解：將數據從小到大排序：7，8，9，10，12，13，15，21，共8個，

8?75%=6，

故該組數據的75%分位數是13+152=14．

故答案為：14．

根據已知條件，結合百分位數的定義，即可求解．13.16π3【解析】解：∵在三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC=2，

∴點P在平面ABC上的射影為△ABC的外心，又AB=1，∠ACB=π6，

∴△ABC的外接圓的半徑r=12sinπ6=1，

∴三棱錐P?ABC的高為22?12=3，設該三棱錐外接球的半徑為R，

則(3?R)2+114.79288【解析】解：由題意得甲隊在一輪比賽中得2分的概率為P2=12×12×12×3=38，

甲隊在一輪比賽中得3分的概率為P3=12×12×12=18，

乙隊在一輪比賽中得1分的概率為：

P1′=23×(1?13)×(1?14)+13×(1?23)×(1?14)+14×(1?13)×(1?23)=1736，

乙隊在一輪比賽中得2分的概率為：

P2′=23×13×(1?14)+23×(1?13)×14+14×13×(1?15.解：(1)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=?1，與圓C相切，符合題意；

若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y?3=k(x+1)，即kx?y+k+3=0，

則|2k+3|k2+1=2，解得k=?512，所以直線l的方程為5x+12y?31=0．

綜上，直線l的方程為x=?1或5x+12y?31=0．

(2)圓C1的方程可化為(x?m)2+(y?1)2=9．

若圓C1與圓C外切，則(m?1)2+1=5【解析】(1)利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求直線，不要忘記討論斜率不存在的情況；

(2)分內切和外切，結合公式，列式求值．

本題主要考查直線和圓的位置關系，屬于中檔題．16.解：(1)取BE的中點G，連接AG、FG，因為F為CE中點，

所以GF//BC且GF=12BC，又AD//BC，AD=1，BC=2，

即AD//BC且AD=12BC，

所以AD//GF且AD=GF，

所以四邊形ADFG為平行四邊形，

所以AG//FD，

又AG?平面EAB，DF?平面EAB，所以DF/?/平面EAB．

(2)因為AD⊥AB，AD//BC，所以AB⊥BC，

所以S△BCD=12×2×1=1，

又AE⊥平面ABCD，所以VE?BCD=13×2×1=23，

因為AD⊥AB，AD=AB=1，所以BD=AD2+AB2=2，

由AE⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，

又【解析】(1)取BE的中點G，連接AG、FG，即可得到四邊形ADFG為平行四邊形，從而得到AG//FD，即可得證；

(2)利用等體積法求出點到平面的距離．

本題考查線面平行和線面垂直的判定與性質，以及點到平面的距離求法，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．17.解：(1)△ABC中，A=π?(B+C)?sinA=sin(B+C)，

∵bcosC+3bsinC?a?c=0，

∴由正弦定理得：sinBcosC+3sinBsinC?sin(B+C)?sinC=0，

即sinBcosC+3sinBsinC?(sinBcosC+cosBsinC)?sinC=3sinBsinC?cosBsinC?sinC=0，

又sinC>0，

∴3sinB?cosB=2sin(B?π6)=1?sin(B?π6)=12，又B∈(0,π)?B?π6∈(?π6,5π6)，

∴B?π6=π【解析】(1)利用正弦定理及兩角和與差的三角函數可求得B；

(2)依題意，可求得△ABC中BC邊上的高為?=32c，又18.解：(1)由題意得：10×(0.01+0.015+0.020+t+0.025)=1，

解得t=0.03，

設第60百分位數為x，

則0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×(x?80)=0.6，

解得x=85，

即第60百分位數為85；

(2)由題意知，抽出的5位同學中，得分在[70,80)的有5×820=2人，設為A、B，

在[80.90)的有5×1220=3人，設為a、b、c，

則樣本空間為Ω={(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B、a)，(B,b)，(B,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)}，n(Ω)=10，

設事件M=“C兩人分別來自[70,80)和[80,90)”，

則M=(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)}，n(M)=6，

因此P(M)=n(M)n(Ω)=610=35，

所以兩人得分分別來自[70,80)和[80,90)的概率為35；

(3)考核得分在[70,80)內的人數為0.02×10×40=8人，在【解析】(1)根據頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1，可求出t的值，再利用百分位數的定義求解；

(2)利用古典概型的概率公式求解；

(3)利用分層隨機抽樣的均值和方差公式求解．

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了古典概型的概率公式，以及分層隨機抽樣的均值和方差公式，屬于中檔題．19.解：(1)因為A(x,2)，B(1,x)，故d(A,B)=|x?1|+|2